Đến nội dung

Hình ảnh

$ \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {\sin ^2 x + \dfrac{1}{2}} dx} $

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
caheo1234

caheo1234

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
Tính tích phấn tử pi/6 đến pi/2 của sinx sqrt((sinx)^2+1/2)

#2
SLNA

SLNA

    Bảo Duyên

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Gõ Latex đi bạn

#3
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Tính tích phấn tử pi/6 đến pi/2 của sinx sqrt((sinx)^2+1/2)

$ \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {\sin ^2 x + \dfrac{1}{2}} dx} $

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
$ \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {\sin ^2 x + \dfrac{1}{2}} dx} = -\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {\dfrac{3}{2} - \cos ^2 x} d\left( {\cos x} \right)} = -\int\limits_{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 {\sqrt {\dfrac{3}{2} - t^2 } } dt $

Đặt
$ t = \sqrt {\dfrac{3}{2}} \sin u $
$ - \int\limits_{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 {\sqrt {\dfrac{3}{2} - t^2 } } dt = \sqrt {\dfrac{3}{2}}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\cos ^2 udu} $
$ =\sqrt {\dfrac{3}{2}}.\dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\cos 2u + 1} \right)du = \sqrt {\dfrac{3}{2}}(\left. {\dfrac{1}{4}\sin 2x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{4}) = \sqrt {\dfrac{3}{2}}(\dfrac{1}{4} + \dfrac{\pi }{8}}) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-03-2011 - 21:43

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#5
yaossu

yaossu

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Tính tích phấn tử pi/6 đến pi/2 của sinx sqrt((sinx)^2+1/2)

Để tính tích phân này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt:

u = sin x

v = sqrt(u^2 + 1/2)

Theo đó:

dv/du = u/sqrt(u^2 + 1/2)

dx = du / cos x

Chúng ta có thể tính toán đạo hàm của v theo u bằng cách sử dụng quy tắc tích của đạo hàm:

dv/du = dv/dx * dx/du

= (dv/dx) * (1/cos x)

= u/sqrt(u^2 + 1/2) * (1/cos x)

= u / (sqrt(u^2 + 1/2) * cos x)

Thay u và v vào tích phân ban đầu, ta được:

∫(pi/6)^(pi/2) sin x * sqrt((sin x)^2 + 1/2) dx

= ∫(1/2)^(sqrt(3)/2) v^2 / sqrt(v^2 - 1/2) * (1/v) * du

= ∫(1/2)^(sqrt(3)/2) v / sqrt(v^2 - 1/2) du

Đặt t = v^2 - 1/2, ta có:

dt/dv = 2v

dv = dt/2v

Thay đổi biến số, tích phân trở thành:

∫(1/2)^(sqrt(3)/2) dt / (2v * sqrt(t))

= (1/2) * ∫(1/2)^(sqrt(3)/2) t^(-1/2) dt

= [t^(1/2)]_(1/2)^(sqrt(3)/2)

= [sqrt(v^2 - 1/2)]_(1/2)^(sqrt(3)/2)

= sqrt[(sqrt(3)^2/2 - 1/2)] - sqrt[(1^2/2 - 1/2)]

= sqrt(2)

Vậy kết quả tích phân ban đầu là sqrt(2).

 
 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yaossu: 16-02-2023 - 19:46





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh