Đến nội dung

Hình ảnh

Vẻ đẹp của thế giới toán học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
BOM2005

BOM2005

    Vẻ đẹp Toán học

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
Vẻ đẹp của thế giới toán học


Chừng nào bạn còn có thể nhận ra sự tồn tại của thế giới toán học xung quanh mình thì chừng đó bạn còn có thể cảm nhận được vẻ đẹp của toán học . Vẻ đẹp của toán học là sự kết hợp của hai vẻ đẹp: thứ nhất là vẻ đẹp mĩ quan và thứ hai là vẻ đẹp của sự sáng tạo, của tư tưởng và tư duy toán học. Dù cho bạn không hiểu gì về toán thì vẫn có thể cảm nhận được loại vẻ đẹp thứ nhất, còn nếu muốn cảm nhận được loại vẻ đẹp thứ hai, và nhờ đó có thể cảm nhận một cách sâu sắc và trọn vẹn nhất vẻ đẹp toán học, thì bạn buộc phải tiếp cận với toán học một cách nghiêm túc, cũng có nghĩa là bạn phải trở thành một thành viên chính thức của thế giới toán học đầy màu sắc .......

Trong vòng xoáy mưu sinh của cuộc đời, đã có biết bao tình huống phức tạp nảy sinh. Mỗi tình huống đều cần tới một phương án giải quyết tối ưu, sao cho vẹn cả trăm bề. Chúng ta: bạn và tôi luôn phải đứng trước những thử thách như vậy. Nhưng dù thế nào thì vẫn cứ phải vượt qua chúng để tiếp tục sống, và sống tốt hơn. Vô hình chung, chúng ta đã đứng trước những bài toán thực sự khó khăn, thế rồi đều đã phải giải quyết chúng một cách triệt để. Đôi khi công việc đó còn khó hơn là giải những câu đố hạng nhất.

Bạn có hiểu được cảm giác của một nhà toán học chân chính khi có người hỏi anh ta rằng:"anh làm toàn là vì niềm đam mê hay là vì thói quen". Nếu như bạn thực sự không phải một nhà toán học, hay chí ít là một người đam mê làm toán, thì tôi tin chắc bạn không thể hiểu được. Không hề gì. Bầy giờ tôi giả sử bạn, vâng-chính bạn, là một người không biết gì và không quan tâm gì tới toán học. Với ngầm định như vậy tôi xin phép hỏi bạn:"bạn không nhận ra sự hiện hữu của toán học trong cuộc sống của bản thân là do vô tình hay hữu ý". Từ từ đã, đừng vội trả lời, có thể bạn có định kiến quá lớn khi cho rằng:"toán học, nói chung là nhàm chán, khô khan, và chả liên quan gì tới tôi".

Vâng, tôi không dám khẳng định rằng toán học có mối quan hệ mật thiết với con người tới mức nào, chỉ bởi vì thực sự tôi cũng chưa hiểu rõ về mối quan hệ đó.Cho nên trong bài viết nhỏ này tôi chỉ mạn phép trình bày một số lý do khiến cho tôi, nói chung rất yêu toán, tôi có thể cảm nhận phần nào vẻ đẹp của nó và do đó hiểu được một số điều về sự gắn kết của bản thân với toán học.

Phải chăng thế giới toán học thực sự tồn tại?!

Trước hết, tôi phải nói luôn rằng: không chỉ tôi mà còn rất nhiều người khác nữa cũng đang sống trong thế giới kép: thứ nhất là thé giới vật chất thông thường và thứ hai là thế giới của tinh thần toán học. Cũng chính bới vậy mà tôi có thể nhìn thấy sự hiện diện của toán học ở mọi lúc, mọi nơi. Nói một cách chính xác nhất: tôi đang tồn tại trong một thế giới đặc biệt, ít thân quen với nhiều người,đó chính là thế giới toán học.Thế giới này nói chung rất đặc biệt. Tự bản thân bạn có lẽ sẽ rất khó tiếp cận được với nó. Vì vậy chúng ta sẽ cùng nhau lần tìm dấu vết của thế giới này qua một vài ví dụ nhỏ. Và từ đây may chăng bạn sẽ có những hình dung nhất định về một thế giới phi vật chất đang tồn tại xung quang chúng ta.

Dấu hiệu đặc trưng nhất của toán học mà ai cũng có thể nhận thấy chính là những con số. Thật khó tưởng tượng cuộc sống sẽ phát triển như thế nào nếu không dựa trên cơ sở vững chắc là những con số. Hãy giả thiết rằng bạn đang nói chuyện với bạn của mình. Vậy là có tất cả bao nhiêu người trong cuộc nói chuyện đó. Dĩ nhiên bạn trả lời:"2". 1 câu trả lời rất chính xác. Nhưng khi mà các con số chưa ra đời, bạn sẽ trả lời thế nào đây?! Tôi không có ý định làm khó bạn, bởi vì tôi tin rằng rất nhanh, bạn sẽ giơ hai ngón tay của mình lên tượng trưng cho câu trả lời. Ở đây bạn hàm chứa ý tưởng của 1 sự tương ứng: mỗi người trong cuộc nói chuyện sẽ tương ứng với 1 ngón tay. Cách đáp trả này, quả thực rất khôn ngoan, nhưng nếu bạn đang ở trong 1 cuộc họp lớn với đông người tham dự thì liệu có thể trả lời cùng câu hởi với cùng 1 cách thức như thế hay không. Dĩ nhiên là không rồi. Nhưng thôi, chúng ta sẽ ngừng việc đôi co tại đây, vì rằng dù có thế nào đi nữa thì cuối cùng bạn cũng sẽ tìm ra cách đối đáp thích hợp mà thôi. Hơn nữa chỉ với 1 thí dụ nhỏ này, tôi tin rằng bạn đã thấy phần nào tầm quan trọng của các con số và thấy được sự hiện diện thường xuyên của chúng trong đời sống. Và nếu như bạn cảm nhận được 1 điều:"cuộc sống của chúng ta, nhờ những con số, đã trở nên dễ dàng hơn rất nhiều" thì bạn đã có thể thấy được 1 nét nào đó của vẻ đẹp toán học.

Vâng, đúng như vậy, chừng nào các bạn còn có thể cảm nhận được sự tồn tại của toán học trong cuộc sống của mình thì chừng đó các bạn có thể và có đủ khả năng để cảm nhậ được vẻ đẹp toán học

Nhưng những con số cũng chưa phải tất cả những gì làm nên toán học. Ngày xưa khi toán học còn ở 1 trình độ không cao , thì các đối tượng được xem là trung tâm. Nhưng ngày nay, khi mà toán học đã có những bước phát triển nhảy vọt thì tự bản thân các đối tượng (như các con số) lại không đáng chú ý bằng mối quan hệ giữa chính các đối tượng đó. Các nhà toán học nhận thức những mối quan hệ phức tạp đó bằng chính tư duy logic của mình. Đây cũng chính là 1 đặc trưng quan trọng của toán học: tư duy logic. Thật bất ngờ bởi vì thực ra ai trong chúng ta cũng đang dùng tư duy logic để sống trong 1 xã hội có trình độ ngày 1 cao này.

Tôi xin phép mượn 1 câu truyện dân gian để giúp các bạn thấy rõ hơn vẻ đẹp của tư duy logic. Cũng bởi vì đây là 1 câu truyện dân gian nên có nhắc tới tiền xu, là thứ hơi xa lạ với các bạn trẻ, nhưng thực ra cái đó lại không quan trọng, các bạn có thể thay từ "xu" bởi bất kì 1 đơn vị tiền tệ nào đó thân quen hơn. Chuyện là thế này:"có 3 ông bạn: ông Tư, ông Duy và ông Học. 1 hôm họ tổ chức 1 mâm cỗ nhỏ. Nói là cỗ cho oai chứ thực ra chỉ có vài cái bánh con con. Ông Tư có 4 cái, ông Duy có 11 cái, còn ông Học chả có cái nào. Dù sao 3 ông vẫn đánh chén no say, mỗi ông 5 chiếc. Dứt cỗ, ông Học để lại cho 2 ông kia 5 xu, rồi vui vẻ lên đường. 2 ông Tu và Duy sẽ phải giải quyết 5 xu thế nào đây?".Ấy, từ từ, nếu bạn cho rằng vì ông Duy góp nhiều hơn nên sẽ được hưởng phần nhiều trong 5 xu, còn ông Tư góp ít hơn, nên sẽ được hưởng ít hơn thì bạn đang bị lừa đó."Cũng may, lúc đó có ông Toán đi ngang qua, ông ta lập luận thế này: ông Học không góp cái nào mà lại ăn 5 cái, vì vậy để lại 5 xu là đúng. Còn ông Tư chỉ góp 4 cái mà lại ăn 5 nên phải bỏ thêm 1 xu. Cuối cùng ông Duy phải được 6 xu".

Hợp lý quá, nhưng cũng bất ngờ đó chứ. Thực ra câu truyện này chỉ như 1 cái bẫy nho nhỏ mà thôi. Nhưng để có thể vượt qua nó thì bạn phải thật tỉnh táo, nhất là khi vị trí của bạn giông như ông Duy. Vậy đó, câu truyện của " Tư Duy Toán Học" chỉ đơn giản thế thôi. Vấn đề là làm sao có thể có những kiến giải như ông Toán, cái đó nhiều lúc lại cần tới toán học. Hơn nữa, nếu bạn ở địa vị ông Duy, thì tôi tin chắc bạn sẽ thấy tư duy toán học thật là đẹp đẽ và có ích. Vì sao vậy? Ấy là bởi vì những lập luận của ông Toán đã giúp cho ông Duy có được sự công bằng và không bị thua thiệt. Vâng, toán học là như vậy đó, nó bảo đám tính công bằng cho tất cả mọi người, chân lý thuộc về tất cả mọi người muốn nhận thức được nó.

Vẻ đẹp của thế giới toán học bao gồm những gì

Vâng, cho phép tôi lặp lại: bạn chỉ có thể cảm nhận được vẻ đẹp của toán học khi mà bạn thấy được sự tồn tại của toán học quanh mình. Có câu:"muốn hiểu được niềm vui của lao động thì chỉ có 1 cách: xắn tay áo lên và làm việc đi". có những mối liên quan nhất định giữa niềm vui của lao động với vẻ đẹp của toán học. Cũng xin nhắc lại: vẻ đẹp toán học là sự kết hợp của 2 vẻ đẹp: vẻ đẹp mĩ quan và vẻ đẹp của sáng tạo, tư duy, tư tưởng. Bản thân 2 vẻ đẹp đó đã khá khó giải thích, và sự kết hợp của chúng còn khó giải thích hơn. Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu những vẻ đẹp tuyệt vời đó.

Cùng nhau thưởng thức vẻ đẹp mĩ quan của toán học

Vẻ đẹp mĩ quan của toán học được thể hiện qua sự hài hòa của các công thức, sự hoàn hảo của các định lý và sự đầy đủ của các hệ luận. Nhưng không chỉ có vậy, có 1 may măn lớn đối với những ai không am hiểu về toán học muốn thưởng thức vẻ đẹp của môn khoa học này : có 1 đội ngũ đông đảo các nhà họa sỹ đang ngày đêm miệt mài truyền tải vẻ đẹp của toán học qua các kiệt tác của họ. Mauritz Escher là 1 trong số những người như vậy. Seri tranh "giới hạn vòng tròn" của ông là những minh chứng rõ ràng nhất:

Hình đã gửi


Trong những bức tranh này các bạn có thể thấy sự xen kẽ và lặp đi lặp lại của những con dơi (màu đen) và những thiên thần (màu trắng). Hơn nữa dường như trong đó còn ẩn chứa 1 sự đối xứng hơi khác thường. Rốt cục bức tranh này hàm chứa ý nghĩa gì và liên quan tới toán học như thế nào?

Chứng ta đều biết rằng trong mặt phẳng (2 chiều) thì hình vuông có 1 sự đối xứng rất cao. 1 sự tương tự cũng xảy ra với hình lập phương trong không gian (3 chiều). Theo sự mở rộng hợp pháp của toán học thì trong không gian 4 chiều phải chẳng còn có những thực thể có tính đối xứng vượt trội sinh sống. Không gian này được gọi là không gian hypebolic và seri tranh của Escher là 1 trong những nỗ lực thể hiện loại không gian bí ẩn này cùng với những thực thể bí ẩn của nó trên tờ giấy vẽ 2 chiều.

Vâng, nếu bạn cho rằng những bức tranh trên ngoài sự đặc biệt thì thực ra cũng chắng có gì đẹp đẽ, thì tôi cũng xin đồng ý với bạn phần nào. Nhưng bạn yên tâm, toán học có thể tạo ra những bức tranh mà vẻ đẹp của nó có thể làm vừa mắt bạn chăng:

Hình đã gửi


Bức tranh này mô tả 1 con rồng, điều đáng chú ý ở đây là bức tranh này hòan toàn được dựng lên bởi những hiểu biết về hình học Fractal và có thể thấy, nó thực sự rất đáng chú ý. Tuy nhiên đối với các nhà toán học thì seri tranh của Escher vẫn là thứ tạo cho họ nhiều cảm hứng nhất. Đó là vì nó ẩn chứa loại vẻ đẹp mà chỉ riêng họ mới cảm nhận được: vẻ đẹp của sáng tạo, của tư duy và tư tưởng toán học sâu sắc. Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau khám phá vẻ đẹp thú vị này

Vẻ đẹp của sáng tạo, tư duy và tư tưởng toán học là như thế nào

Không gian hypebolic là 1 không gian rất khó hiểu, nhưng nó lại cất giấu những thực thể có tính đối xứng cao độ. Đặc biệt nhất trong số đó là các dạng Modular. Rất tiếc việc mường tượng ra hình ảnh của những dạng đó hầu như là không thể. Sự không thể này 1 phần cũng là do tính đối xứng thái quá của chúng. Các vòng tròn của Escher cho ta 1 số hiểu biết về các dạng Modular nhưng vẫn rất khó hiểu. Vì vậy chúng ta hãy theo dõi 1 cách định nghĩa khá toán học của Modular: giả sử N là 1 số nguyên dương. Ký hiệụ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma_{0}(N) là nhóm các ma trận vuông cấp 2 http://dientuvietnam...tex.cgi?ad-bc=1 và c chia hết cho N. Xác định 1 hàm số biến số phức http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(z) thỏa mãn: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(\dfrac{az+b}{cz+d})=(cz+d)^2\cdot{f(z)} trong đó số phức z nằm hoàn toàn ở nửa trên của mặt phẳng phức Oxy. 1 hàm số giải tích như vậy được gọi là 1 modular trọng số 2 trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma_{0}(N). Bây giờ hãy cho http://dientuvietnam...cgi?a=b=d=1,c=0 dẫn tới http://dientuvietnam...metex.cgi?f(z 1)=f(z) nghĩa là hàm số http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(z) tuần hoàn chu kì 1, do đó nó có khai triển Fourier: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}{a_ne^{2\cdot{\pi}\cdot{i}nz}}. Chuỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1,a_2,.. được gọi là dãy M- của dạng Modular này. Theo 1 cách ngược lại nếu cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1,a_2,.. 1 cách ngẫu nhiên thì dạng Modular thi được rất có thể sẽ không còn tính đối xứng vốn có của nó. Vậy các số trong dãy M- có quan hệ với nhau ra sao?

Câu trả lời cho thắc mắc này là 1 biểu hiện đẹp đẽ nhất của sáng tạo và sự hoàn hảo trong những tư tưởng toán học. Lời giải đáp nằm đằng sau những hiểu biết về các đường cong Elliptic. Nên biết rằng các dạng Modular mới ra đời trong vài thế kỉ gần đây, còn Elliptic đã được biết tới từ hàng ngàn năm trước. 1 cách nôm na có thể hiểu đường cong Elliptic là tập hợp các cặp số (x,y) thỏa mãn phương trình http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y^2=x^3+ax^2+cx+d với 1 điểm đặc biệt 0, điều kiện là phương trình này không có nghiệm kì dị. Việc tìm nghiệm nguyên của phương trình này thường rất phức tạp. Đối với những trường hợp không thể giải trực tiếp, người ta thường xét chúng theo các modun. Chẳng hạn phương trình http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y^2=x^3+1. Hãy xét theo modun 2, nghĩa là xét tính chẵn lẻ của 2 vế: nếu y lẻ thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y^2 lẻ suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^3 chẵn do đó x chắn; tương tự nếu y chẵn thì x lẻ. Vậy nếu xét theo modun 2 thì phương trình có 2 nghiệm (x chẵn, y lẻ) và (x lẻ, y chẵn). Việc tính toán số nghiệm của phương trình Elliptic theo tất cả các modun tự nhiên 1,2,3,.. sẽ cho ta 1 dãy E- của phương trình đó. Kì vọng của các nhà toán học là từ những thông tin ban đầu của dãy E- sẽ biết được mọi điều về chính đối tượng đang khảo sát. Dưới đây là 1 số đường cong Elliptic:

http://pic1.picturetrail.com/VOL1123/3850833/7955351/105790231.jpg


Phải thừa nhận rằng Modular và Elliptic là 2 đối tượng toán học hoàn toàn cách biệt: 1 bên là đại diện của giải tích, 1 bên là đại diện của đại số. Điểm đáng chú ý là dường như với mỗi Elliptic lại có 1 Modular mà dãy E- và dãy M- của chúng hòan toàn trùng khớp. Đây chính là nội dung của giả thuyết kỳ dị nhất thế kỉ XX:L

Giả thuyết Taniyama: tất cả các đường cong Elliptic đều là Modular

Trong những năm 60 của thế kỷ trước giả thuyết này đã trở nên nổi tiếng trên toàn thế giới bới nhiều lý do: 1 là vì thực sự đây là 1 bài toán rất đẹp, nó tạo ra mối quan hệ mật thiết đáng kinh ngạc giữa 2 đối tượng toán học hoàn toàn khác xa nhau về bản chất; 2 là vì tính chất hầu như không chứng minh được của nó. Không ít các nhà toán học đã nhất trí rằng không thể chứng minh được giả thuyết này. Tuy nhiên cộng đồng toán học vẫn tiếp tục thưởng thức vẻ đẹp trong chiều sâu tư tưởng của nó. Hàng trăm bài báo bắt đầu với dòng chữ:"giả sử giả thuyết Taniyama là đúng" đã giải quyết hàng loạt những vấn đề nam giải của toán học. Hơn nữa còn có 1 người đã dựa vào tư tưởng của nó để tạo ra 1 bản thiết kế của tương lai toán học: Robert Langlands. Kim chỉ nam của ông là sự thống nhất của toán học. Có thể hiểu rằng "chương trình Langlands" là 1 tập hợp rất nhiều những giả thuyết nhằm kết nối các lĩnh vực toán học khác xa nhau. Bởi vì toán học ngày càng có nhiều phân ngành nhỏ, mỗi phân ngành nhỏ lại có riêng 1 lô các kỹ thuật đặc biệt. Nên nếu như có thể thống nhất toán học thì bất kì 1 bài toán nào nếu gặp khó khăn trong 1 phân ngành đều có thể chuyển sang phân ngành khác, qua đó huy động được toàn bộ vốn liếng hiểu biết của con người. Khi đó 1 câu đố bất kỳ, dù trên trời hay dưới biển, dù là 1 bài toán cổ điển hay là 1 vấn đề xã hôin nóng bỏng cũng có khả năng giải quyết được vô cùng cao. Những hiệu quả của sự thống nhất toán học (nếu thực sự có thể) là vô cùng to lớn.

Nhưng tất cả sẽ trở nên vô nghĩa nếu như giả thuyết Taniyama không đúng. Các nhà toán học lập luận thế này:"nếu giả thuyết Taniyama đúng thì nó sẽ mở ra 1 chương mới của toán học với vô số điều tốt đẹp, và do đó nó không thể sai được". Dĩ nhiên đây chỉ là 1 lập luận vui, thiếu chặt chẽ. Nhưng dù sao sự hoàn hảo trong tư tưởng đã được hồi âm. Đó chính là công trình mang tính đột phá của Andrew Wiles vào năm 1994. Ông đã chứng minh được gải thuyết Taniyama là đúng cho các đường Elliptic bán ổn định. Cũng nên nói thêm là với chứng minh này Wiles đã làm được cái việc mà các nhà toán học của 300 năm không làm được: chứng minh định lý cuối cùng của Ferma. Chứng minh của Wiles có thể xem như 1 mảnh ghép cuối cùng của bức tranh về sự hoàn hảo trong tư tưởng và sự sáng tạo toán học. Và đó cũng chính là minh chứng rõ ràng nhất cho loại vẻ đẹp của sáng tạo, tư duy và tư tưởng toán học- là thứ mà vốn chỉ có các nhà toán học mới cảm nhận được.

Một nhà toán học sẽ cảm nhận vẻ đẹp toán học như thế nào

Vâng, tôi lặp lại: vẻ đẹp của toán học là sự kết hợp của vẻ đẹp mĩ quan bà vẻ đẹp sáng tạo. 1 nhà toán học có đủ 2 yếu tố "niềm đam mê" và "trình độ học vấn" có thể cảm nhậ 1 cách sâu sắc nhất vẻ đẹp của toán học. Bởi lẽ anh ta có thể cảm nhận được đồng thời 2 loại vẻ đẹp nói trên. Cho phép tôi dùng lại ví dụ cũ: chúng ta biết rằng giả thuyết Taniyama ra đời từ việc nhà toán học Nhật Bản Yutaka Taniyama ngẫu nhiên(?!) quan sát thấy sự trùng hợp của dãy M- và dãy E- của 1 Modular và 1 Elliptic cụ thể nào đó. Ấy chính là vẻ đẹp mĩ quan tóan học: trong toán học, đằng sau sự ngẫu nhiên là cả 1 chân trời cần khám phá. Giả thuyết được đặt ra cũng đáp ứng cho nhu cầu được thưởng thức vẻ đẹp mĩ quan đó. Nhưng mặt khác, nó lại cũng là khởi nguồn cho "chương trình Langlands" và việc nó được chứng minh cũng chính là minh họa tốt cho vẻ đẹp hoàn hảo của tư tưởng. 1 nhà toán học sẽ cảm thụ được vẻ đẹp tư tưởng bằng 1 cách đầy mĩ quan. Anh ta vốn đã biết trong thế giới toán học có biết bao ốc đảo đẹp đẽ, và nay anh ta lại nhận ra rằng giả thuyết Taniyama chính là chiếc cầu đầu tiên nối liền 2 ốc đảo đẹp đẽ nhât: Modular và Elliptic. Cho đến khi các cây cầu khác đã được được xây dựng 1 cách đầy đủ. anh ta sẽ có thể ngao du khắp chốn trong cái thế giới toán học đầy li kì và lý thú này. Nghĩ kĩ, chuyến du ngoạn đó chẳng đáng để mơ ước lắm sao!

Vâng, đến lúc này thì hẳn bạn đã hiểu thêm nhiều điều về thế giới toán học. Thứ nhất thế giới toán học là 1 thế giới phi vật chất tồn tại xung quanh chúng ta, nó có một mối liên hệ mật thiết với cuộc sống, đến mức đôi khi ta vô tình không để ý tới. Thứ hai, vẻ đẹp của thế giới toán học là tổng hợp của 2 loại vẻ đẹp: vẻ đẹp mĩ quan là thứ mà ai cũng có thể cảm nhận được, đó chính là những công thức, những định lý, hệ luận và nó đã thâm nhập vào những lĩnh vực gần gũi với đời sống con người, như hội họa là 1 ví dụ. Ngoài ra còn có 1 vẻ đẹp đặc biệt: vẻ đẹp của tư tưởng, của sáng tạo, đây chính là bản chất của toán học mà muốn cảm nhận nó cần phải có niềm đam mê và 1 trình độ nhất định. Vẻ đẹp toán học là vẻ đẹp tổng hợp của 2 loại vẻ đẹp trên và cái cách mà các nhà toán học cảm nhận nó cũng rất đáng chú ý.

Cuối cùng, trước khi kết thúc, tôi xin nhắc lại câu hỏi đã đề cập tới ở đầu bài viết :"anh làm toán là vì niềm đam mê hay là vì thói quen". Cũng xin phép có vài ý kiến nhỏ. Hắn nhiên muốn trở thành 1 nhà toán học chân chính thì cần phải có 1 niềm đam mê. Chính niềm đam mê đó đã hối thúc anh làm toán. Và làm toán đã trở thành 1 thói quen. Thói quen này lại giúp cho anh có thể cảm nhận vẻ đẹp của toán học ngày một sâu sắc. Nhờ đó niềm đam mê của anh lại được nuôi dưỡng bởi nguồn dinh dưỡng dồi dào, và vì vậy ngày một lớn lên. Đúng vậy, 1 nhà toán học chân chính không những phải có niềm đam mê mà còn phải có 1 thói quen làm toán, thói quen vươn lên, vươn tới sự sáng tạo, vươn tới những cái mới, vươn tới vẻ đẹp chân chính của toán học ....

Đó là ý kiến của tôi, còn bạn.........

Tài liệu tham khảo:
[1] Nhập môn số học thuật toán - Hà Huy Khoái
[2] Định lý cuối cùng của Ferma - Phạm Văn Thiều, Phạm Văn Hưng biên dịch


#2
MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
các bạn có thể đọc ở dạng file.doc:

File gửi kèm



#3
nguyen_hung

nguyen_hung

    Đại lãn

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Tặng bác tác giả 2 hình này để minh họa cho bài viết, cái đoạn không gian Hyperbolic đó
Hình đã gửi
Hình đã gửi

#4
MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
Hì, bi giờ mới nhớ ra là chưa cảm ơn anh nguyen_hung đã tặng mấy cái tranh cho tác giả b5 :varepsilon

Dạo này ít thấy anh xuất hiện quá. Mà mấy cái tranh chèn trong bài viết của mình dùng picturetrail nên die cả rùi, trông xấu thiệt, có bác này có nhã í sửa lại giùm nha




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh