ìToán học có thể coi là thành quả sáng tạo độc đáo nhất trong hoạt động của con người, toán học đứng ở đỉnh cao của tư duy duy lý. Kết quả của toán học được xem là khuôn mẫu của sự chính xác, nghiêm ngặt và chắc chắn, người ta thường lấy lượng toán học được ứng dụng để đo mức độ nghiêm ngặt của một lý thuyết khoa học” -AN. Whitehead
"Những hình mẫu của các nhà toán học cũng giống như hình mẫu của các hoạ sĩ hay các nhà thơ, đều phải đẹp;những ý tưởng,cũng tựa như màu sắc hoặc ngôn từ,phải ăn khớp với nhau một cách hài hoà.Cái đẹp chính là thử thách đầu tiên :không có chỗ cho toán học xấu xí"-G.H. Hardy
Toán học là thống nhất . Trong bài viết này tôi muốn bàn với các bạn hai vẻ đẹp trong sự thống nhất đó là sự thống nhất giữa con người - toán học và sự thống nhất giữa các phần toán học với nhau .
Có 3 giá trị mà con người luôn hướng tới : đó là Chân ,Thiện,Mỹ. Nhũng giá trị này đều liên quan tới mối quan hệ giữa con người và toán học. Toán học giúp con người cảm nhận những vẻ đẹp này dễ dàng hơn và ngay bản thân toán học cũng mang những vẻ đẹp này.
Vẻ đẹp đầu tiên của toán học chính là vẻ đẹp về tính chính xác. Sự chính xác là vẻ đẹp dễ thấy nhất cùa toán học.Các chứng minh toán học là tuyệt đối chính xác. Khái niệm chứng minh trong toán học khác với khái niệm chứng minh mà chúng ta hay dùng trong thực tế và trong các môn khoa học khác.Ta hãy lấy một ví dụ nhỏ : ta thấy rằng 1 tam giác có 3 cạnh là 3,4,5 (theo một đơn vị độ dài nào đó) là một tam giác có 1 góc vuông ; ta hãy lấy thêm 1 tam giác khác tam giác có 3 cạnh là 6,8,10 ,tam giác này cũng có một góc vuông .Như vậy ta khẳng định rằng Mọi tam giác có độ dài 3 cạnh tỉ lệ với 3 số 3,4,5 là một tam giác có một góc vuông .Chứng minh khẳng định nay trong các môn khoa học khác là chỉ cần chỉ ra trong tất cả các ví dụ đã đưa ra khẳng định là đúngvà khẳng định này vẫn đúng chừng nào chưa tìm ra được phản ví dụ chứng tỏ nó sai. Còn chứng minh toán học khẳng định được rằng tất cả mọi tam giác mà tỉ lệ 3 cạnh tỉ lệ với 3,4,5 luôn có mội góc vuông ,tức là không bao giờ có thể tim được một tam giác nào có 3 cạnh tỉ lệ với 3,4,5 mà lại không có góc vuông nào. Ý nghĩa và vẻ đẹp của chứng minh toán học là ở chỗ khi một khẳng định toán học đã được chứng minh là đúng thì sẽ không bao giờ tìm đựơc ví dụ chứng tỏ rằng nó là sai . Chính tư duy chặt chẽ và chính xác này của toán học đã tao nên vẻ đẹp của Chân Lý trong toán học. Tư duy chặt chẽ của toán học là một vẻ đẹp duy nhất mà không ở đâu có được. Đó thực sự là vẻ đẹp của Chân Lý hoàn hảo nhất. Đó là chân lý mà con người luôn luôn kiếm tìm từ bao thế kỉ nay và thực sự chỉ có thể tìm thấy nó trong toán học.
Xin được tiếp tục bằng một câu chuyện về Pythagore, một nhà toán học cổ đại. Sống ở thế kỉ VI trước công nguyên, Pythagore là một trong số các nhà toán học có ảnh hưởng và bí ẩn nhất trong toán học .Do không có thông tin chuẩn về cuộc đời và công trình cùa ông,nên bao quanh nhân vật này là cả một bức màn thần thoại và truyền thuyết. Đây là một câu chuyện như thế :Trong thời gian dự các cuộc thi đấu Olympíc,Leon-hoàng tử xứ Phlius có hỏi Pythagore : "ông là người như thế nào?" . Pythagore đáp :"tôi là một triết gia " nhưng Leon chư bao giờ nghe thấy từ đó nên nhờ Pythagore giải thích " Thưa Hoàng Tử , cuộc sống cũng giống như các cuộc thi đấu đang diễn ra ngoài kia,bởi trong đám đong bạt ngàn người tụ tập ở đây,có những người đến đây để kiếm lợi ,có những người đến đây với hi vọng được nổi tiếng và vinh quang,nhưng cũng có một số ít ngưòi đến đây để quan sát và tìm hiểu tất cả những gì đang diễn ra ở đây .
Cuộc sống cũng vậy. Một số người được dẫn dắt bởi ham muốn của cải ,một số khác lại được dẫn dắt bởi quyền lực và sự thống trị,nhưng những ngưòi cao thượng nhất là những người hiến dâng cuộc đời mình cho sự nghiệp tìm ra ý nghĩa và mục đích của chính cuộc sống, là người tìm cách phát hiện những bí mật của tự nhiên, tôi gọi những ngưòi đó là triết gia, bởi mặc dù không có ai có thể thông thái trên mọi phương diện,nhưng người đó có thể yêu sự thông thái như là chìa khóa mở ra mọi bí mật của tự nhiên..."
Đã 2500 năm trôi qua nhưng những lời nói của Pythagore thì còn mãi.
Xin được nhấn mạnh lại một lần nữa rằng : những ngưòi cao thượng nhất là nhưng ngưòi hiến dâng cuộc đời mình cho sự nghiệp tìm ra ý nghĩa và mục đích của chính cuộc sống ,là người tìm cách phát hiện những bí mật của tự nhiên, là những người có thể yêu sự thông thái như là chìa khóa mở ra mọi bí mật của tự nhiên .Và toán học chính là nền tảng vững chắc của mọi môn khoa học tự nhiên, của mọi lý thuyết khoa học tự nhiên .và những ngưòi yêu toán , những ngưòi cống hiến mình cho toán học,cũng chính là những người cao thượng nhất. Toán học khiến nhưng ngưòi hướng tới nó trở nên cao thượng hơn, hướng con người vươn tới những điều tốt đẹp hơn trong cuộc sống , thì quả thực toán học phải rât đẹp.Tôi gọi đó là Cái Thiện trong toán học, là triết lí về cái thiện (Goro Shimura)
Một câu chuyện nữa về một nhà toán học cổ đại khác, câu chuyện về cuộc đời Archimedes. Archimedes sống ở Syracuse và nghiên cứu toán học trong một bối cảnh hết sức thanh bình,nhưng vào những nănm cuối ở tuổi thất tuần, thì sự bình yên của ông bị cuộc xâm lăng của người La mã phá tan.Truyền thuyết kể rằng trong cuộc xâm lăng ấy Archimedes do quá tập trung nghiên cứu các hình khối vẽ trên cát nên không trả lời câu hỏi của một tên lính La Mã. Kết quả tên lính rút kiếm đâm chết ông. Câu chuyện dẫu sao cũng chỉ là truyền thuyết, nhưng tôi hoàn toàn tin vào tính xác thực của nó .
Bởi niềm say mê toán học ,dẫu rằng chưa say mê đến mức ìbị đâm chết” thì dù ở bất kì đâu, bất cứ thời đại nào cũng luôn luôn có. Không tin bạn hãy thử nhìn những người xung quanh bạn, hay có lẽ là cả chính bạn nữa (nếu bạn cũng là người say mê môn toán ) thế nào cũng có lúc họ như người mất hồn ,khi mà một bài toán khó, một vấn đề nào đó đang chiếm gữi hoàn toàn tâm trí họ. Toán học luôn thôi thúc con người tìm hiểu nó, khám phá nó; và luôn luôn có rất nhiều con người hưởng ứng lời thôi thúc ấy. Bởi họ khao khát được tìm ra những vẻ đẹp mới,mà không ở đâu có được vẻ đẹp hoàn hảo như trong toán học, đó là vẻ đẹp Thẩm Mỹ của toán học.
Và đây là lời của Andrew Wiles khi ông sửa được sai sót và hoàn thiện chứng minh định lí cuối cùng của Ferma :”...và đột nhiên ,hoàn toàn bất ngờ,tôi đã có được sự phát hiện huyền diệu đó...Nó đẹp đến mức không sao mô tả nổi ,mà lại đơn giản và tao nhã nữa.Tôi không hiểu tại sao trước kia tôi lại không nghĩ ra tôi nhìn ra ,tôi nhìn chằm chằm vào nó trong hơn 20 phút mà vẫn tưởng mình mơ. Sau đó trong ngày, tôi cứ đi loanh quanh trong khoa, rồi lại trở về bàn làm việc nhìn xem nó còn ở đó hay không. Nó vẫn còn ở đó.Tôi không thể kiềm chế được tình cảm của mình, vì quá xúc động Đây là thời điểm quan trọng nhất trong cuộc đời làm việc của tôi...”
Vâng, cho phép tôi nhắc lại: toán học là hiện thân của Chân ,Thiện ,Mỹ. Đó cũng là giá trị mà con ngưòi luôn hướng tới ,dù ở bất cứ đâu, thuộc về bất cứ dân tộc nào, quốc gia nào, ở bất cứ thời đại nào. Vẻ đẹp của toán học nằm ở sự thống nhất hoàn hảo đó.
Xin được tiếp tục về khía cạnh tiếp theo của sự thống nhất trong toán học. Đó là vẻ đẹp của sự thống nhất của các phần toán học với nhau .Sự thống nhất đầu tiên thể hiện ở sự liên quan giữa các phần của toán học với nhau. Nhưng thực tế dường như chứng minh điều ngược lại.Từ khi học tiểu học ban đã biết rằng các con số,các hình vẽ đều thuộc về môn toán ,nhưng quả thực chúng không có liên quan gì đến nhau. Đến khi học trung học,bạn học về số học, đại số,hình học, lượng giác… Dường như chúng không có mối liên hệ gì rõ nét .Và càng học lên cao nhiều hơn, bạn lại càng thấy rằng khoảng cách giữa các ngành toán học lại càng lớn .Các nhà toán học của ngành này khó mà có thể đọc hiểu công trình của các ngành khác.Vậy sao còn có thể đạt được sự thống nhất trong toán học? mà như thế nào mà các phần toán học đựoc gọi là thống nhất? Sự thống nhất đó có ý nghĩa như thế nào?
Rõ ràng đây là những câu hỏi rất khó vì vậy trước tiên xin đựợc trình bày về sự cần thiết phải có một điều gọi là sự thống nhất,và khái niệm về một sự thống nhất trong toán học.
Trước tiên xin đựoc giới thiệu với các bạn một vẻ đẹp nhỏ trong toán học đó là một mẹo khi dựng hình:
Khi dựng góc với một số đo nào đó ,ngưòi ta dùng một dụng cụ gọi là thước đo độ.Thước đo độ là thước hình bán nguyệt ,hoặc hình tròn trên đó chia sẵn vạch, rất thuận tiện để dựng góc có số đo cho trước .
Nhưng nếu không có thước đo độ mà chỉ có thước và com pa, chẳng hạn như muốn dựng góc http://dientuvietnam...etex.cgi?50^{0} không lẽ lại ước lượng bằng mắt mà dựng . Bạn có thể bất kỳ với độ chính xác tương đối cao bằng phương pháp sau: Bạn chỉ cần một .thẳng trên đó có chia vạch, theo đơn vị nào cũng được , ví dụ thước chia theo đơn vị con và một compa: Cho biết trước tia Ox, giả sử ban đầu bạn định dựng tia Oy sao cho góc xOy là a ( tính theo độ)
Dựng đường tròn tâm O, bán kính là 60 mm (= 6 cm) cắt Ox tại A, bán kính bằng a (tính theo mm) ( Ví dụ bạn cần dựng góc http://dientuvietnam...etex.cgi?50^{0} thì bán kính dường tròn tâm A là 50mm).Hai đường tròn này cắt nhau tại B, kéo dài OB được tia Oy, góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{xOy}=a^{0}
(Trong hình vẽ ta dựng góc http://dientuvietnam...etex.cgi?50^{0}, AB = 50 mm . Sai số của cách dựng này bé hơn http://dientuvietnam...etex.cgi?1^{0}. Bạn có thể thử với các góc khác nhau, sai số dối với các góc không lớn hơn http://dientuvietnam...etex.cgi?60^{0} là http://dientuvietnam...tex.cgi?1,2^{0} nhưng vì việc dựng 1 góc bất kì có thể qui về việc dựng 1 góc nhỏ hơn 60 bằng cách trừ đi một số lần góc http://dientuvietnam...etex.cgi?60^{0} (góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?60^{0} có thể dựng được dễ dàng) Do đó việc dựng một góc bất kì luôn cho sai số nhỏ hơn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1,2^{0} . Điều đó thật đẹp bởi hai lẽ: thứ nhất chỉ bằng thước và compa có thể dựng được góc cho trước rất nhanh và với độ chính xác khá cao và thứ hai mối liên hệ giữa số đo độ và số đo đoạn thẳng trong cách dựng. Nhưng nét đẹp đó không phải là trọng tâm của bài viết. Lời giải thích thuần túy hình học có lẽ không có, nếu bạn cảm thấy ví dụ này thú vị bạn có thể tự tìm cho mình một lời giải thích bằng lượng giác.
Điều đáng nói ở đây là một ví dụ hình học nếu giải thích bằng hình học thì rất khó hoặc gần như là không thể ,nhưng chuyển qua lượng giác lại giải được dễ dàng . Vì vậy mối liên hệ giữa các phần toán học khác nhau có ý nghĩa thực tế to lớn,và mang một vẻ đẹp thật ấn tượng ;bởi nếu có một vấn đề khó khăn về một phần nào đó của toán học ta có thể chuyển vấn đề về một phần khác của toán học và giải quyết vấn đề bằng các công cụ và phương pháp của phần đó. Và thường thì nếu chuyển được thì lời giải rất đẹp và ấn tượng .
Tiếp theo sẽ là một ví dụ khác có ý nghĩa hơn và về một ý nghĩa khác của sự thống nhất trong toán học. Đó là hai bài toán dựng hình cổ: bài toán gấp đôi khối lập phương và bài toán chia ba một góc bất kì . Hai bài toán này quả thực không liên quan gì với nhau, có chăng chỉ cùng là các bài toán cổ. Nhưng qua việc phân tích hai bài toán ta sẽ thấy rằng hai bài toán thực ra chỉ là một.
Bài toán 1 :Gấp n lần khối lâp phương (trường hơp riêng gấp đôi khối lập phương).
Trước tiên, xét bài toán gấp đôi hình vuông, có nghĩa là dựng một hình vuông có diện tích gấp đôi hình vuông đã cho. Người Hi Lạp cổ đại đã giải được bài toán này một cách dễ dàng. Chỉ cần thước và compa dựng đoạn .Cạnh của hình vuông cho trước là a, còn cạnh của hình vuông phải dựng là a .
Bây giờ ta xét bài toán tổng quát hơn là bài toán gấp đôi khối lập phương. Ngời Hi Lạp cổ cũng đã xem xét tới bài toán này và cố gắng giải nó bằng thước và compa. Nếu số đo của cạnh khối lập phương đã cho là a, ta gọi x là số đo cạnh khối lập phương phải dựng thì x sẽ là nghiệm của phương trình: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?3\alpha . Chúng ta đã biết rằng: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2\cos{3\alpha}=a và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2\cos{\alpha}=x khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^3-3x-a=0
Để chứng minh rằng bài toán ì chia ba một góc ì không thể giải được bằng thước và compa chỉ cần chỉ ra một góc không thể ìchia ba” được bằng thước và compa. Chẳng hạn góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?cos3a=\dfrac{1}{2} , phương trình (1) sẽ trở thành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?60^{0} không thể chia ba được bằng thước và compa nên góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?20^{0} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?40^{0} cũng không thể dựng được bằng thước và compa. Từ đó rút ra là các đa giác đều 9 cạnh, 18 cạnh.... không thể dựng được bằng thước và compa.
Hơn nữa, ta có thể chỉ ra một tập hợp vô hạn các giá trị của góc mà nghiệm của (1) không thể đưa về căn bậc hai, tức là có một tập hợp vô hạn các góc không thể ìchia ba” được bằng thước và compa. Do vậy mà bài toán chia một góc thành ba phần bằng nhau bằng thước và compa nói chung là không giải được .
Từ 2 ví dụ trên ta thấy được rằng hai bài toán cùng không thể dựng được và việc chứng minh điều đó đều dùng lí thuyết biểu diễn nghiệm dưới dạng căn thức bậc hai. Đó chính là mấu chốt của vấn đề.Trên thực tế hai bài toán là tương đương theo nghĩa sau :nếu bổ xung một dụng cụ dựng hình nào đó (ngoài thước và compa ) mà bài toán này giải được thì bài toán kia cũng giải được và ngược lại.
Qua đó có thể thấy rằng khi có mối liên hệ giữa các phần toán học với nhau ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các vấn đề của cùng một phần với nhau mà nếu chỉ dùng công cụ của chính phần đó thì rất khó hoặc gần như là không thể thấy được hay không thể chứng minh được mối liên hệ đó.
Trên đây là một số ví dụ và một số ý nghĩa và vẻ đẹp của sự thống nhất giữa các phần trong toán học .Toán học đẹp không chỉ bởi những vẻ đẹp khiến người ta ngắm nhìn ,thực sự rằng vẻ đẹp nhất chính là vẻ đẹp của tính thực tế trong toán học.Toán học đem lại công cụ tìm hiểu thế giới tự nhiên, giúp con người sống đẹp hơn cả về vật chất và tâm hồn.Và chính sự thống nhất như là một chỉnh thể hoàn chỉnh góp phần cho việc tìm hiểu toán học trở nên thuận tiện hơn,và qua đó khiến cuộc sống con người trở nên tốt đẹp hơn. Và quả thực như thế toán học rất đẹp ,không chỉ với những nhà toán học những ngừoi có hiểu biết toán học sâu sắc ,cảm nhận về vẻ đẹp toán học được nhiều hơn; mà còn rất đẹp với mỗi chúng ta.
Con người là một chỉnh thể thống nhất,chính sự thống nhất giữa các cơ quan có chức năng hoàn toàn khác biệt đã tạo nên 1 chỉnh thể thống nhất hoàn hảo.Toán học cũng như vậy, tuy các phần rất khác nhau nhưng toán học thống nhất trong một chỉnh thể hoàn hảo . Vẫn biết con người là một chỉnh thể thống nhất nhưng việc tìm hiểu sự thống nhất đó vẫn còn là con đường phía trước. Điều này đặc biệt đúng trong toán học .Việc tìm hiểu sự thống nhất của toán học luôn là con đường phía trước. Con đường hướng tới những vẻ đẹp hoàn thiện hơn trong cuộc sống cũng như là trong toán học luôn là con đường phía trước của tất cả mỗi chúng ta .
Tài liệu tham khảo :
[1] Định lý cuối cùng của Ferma-Phạm Văn Thiều, Phạm Văn Hưng dịch
[2] Những bài toán cổ- NXBGD
