Chủ đề này có 1 trả lời

[soclocchocnhuconcoc]

Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:
:frac{tan :frac{A}{2} }{1+tan :frac{B}{2} .tan :frac{C}{2} } = :frac{1}{4tan :frac{A}{2}.tan :frac{B}{2}.tan :frac{C}{2} }

[dark templar]

Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:
$\sum \dfrac{tan \dfrac{A}{2} }{1+tan \dfrac{B}{2} .tan \dfrac{C}{2} } = \dfrac{1}{4tan \dfrac{A}{2}.tan \dfrac{B}{2}.tan \dfrac{C}{2} }$

Đề nghị bạn học gõ Latex trước khi post bài nhé
Hôm nay mình xin đính chính lại Bữa trước làm ngược dấu rồi
Sử dụng các công thức quen thuộc sau:
$S=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \Rightarrow r=\sqrt{\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$
$tg\dfrac{A}{2}=\dfrac{r}{p-a};tg\dfrac{B}{2}=\dfrac{r}{p-b};tg\dfrac{C}{2}=\dfrac{r}{p-c}$
$r=4Rsin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2};p=4Rcos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}$
$ \Rightarrow tg\dfrac{A}{2}tg\dfrac{B}{2}tg\dfrac{C}{2}=\dfrac{r}{p}$
Ta biến đổi đẳng thức về dạng sau:
$\sum \dfrac{\dfrac{r}{p-a}}{1+\dfrac{r^2}{(p-b)(p-c)}} =\dfrac{1}{4\dfrac{r}{p}}$
$ \Leftrightarrow \sum \dfrac{r(p-b)(p-c)}{(p-a)(p-b)(p-c)+r^2(p-a)}=\dfrac{p}{4r} $
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{r^2(a+c-b)(a+c-b)}{pr^2+r^2(p-a)}=p$
$ \Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+b-c)(a+c-b)}{b+c}=p(1)$
Đặt $x=a+b-c;y=a+c-b;z=b+c-a \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x,y,z>0\\a=\dfrac{x+y}{2};b=\dfrac{x+z}{2};c=\dfrac{y+z}{2}\\x+y+z=a+b+c=2p\end{array}\right. $
(1) trở thành:$2 \sum \dfrac{xy}{x+y+2z}=\dfrac{x+y+z}{2} \Leftrightarrow \sum \dfrac{xy}{x+y+2z}=\dfrac{x+y+z}{4}(2)$
Sử dụng BDT Cauchy-Schwarzt,ta có:$\dfrac{xy}{x+z+y+z} \le \dfrac{1}{4} xy \left(\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z} \right)$
Làm tương tự với 2 phân thức còn lại,ta thu đc:
$VT_{(2)} \le \dfrac{1}{4} \left(\sum \dfrac{xy}{x+z} +\sum \dfrac{yz}{x+z} \right)=\dfrac{x+y+z}{4}=VP_{(2)}$
$VT=VP \Leftrightarrow x=y=z \Leftrightarrow a=b=c \Leftrightarrow $ Tam giác ABC đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 28-03-2011 - 16:28