2 replies to this topic

[soclocchocnhuconcoc]

Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. CMR:
IA.IB.IC / (aIA²+ bIB² +cIC² ) 1/3√3

[dark templar]

Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. CMR:
IA.IB.IC / (aIA²+ bIB² +cIC² ) 1/3√3

Sắp cúp điện vì giờ Trái Đất rồi Mình giải vắn tắt thôi
Sử dụng công thức $a \overrightarrow {IA}+b\overrightarrow {IB} +c\overrightarrow {IC} =\overrightarrow 0$,ta bình phương vô hướng 2 vế,ta thu được:
$a^2IA^2+b^2IB^2+c^2IC^2+2 \sum ab\overrightarrow {IA}.\overrightarrow {IB}=0 $
$\Leftrightarrow \sum a^2IA^2 + \sum ab(IA^2+IB^2-c^2)=0$
$ \Leftrightarrow (a+b+c)(aIA^2+bIB^2+cIC^2)-abc(a+b+c)=0 $
$\Leftrightarrow aIA^2+bIB^2+cIC^2=abc$
Mà ta có theo BĐT AM-GM,ta có :
$abc=aIA^2+bIB^2+cIC^2 \ge 3\sqrt[3]{abc(IA.IB.IC)^2} $
$\Leftrightarrow aIA^2+bIB^2+cIC^2=abc \ge 3\sqrt{3}.IA.IB.IC(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều .

Edited by dark templar, 26-03-2011 - 19:49.

[soclocchocnhuconcoc]

Sắp cúp điện vì giờ Trái Đất rồi Mình giải vắn tắt thôi
Sử dụng công thức $a \overrightarrow {IA}+b\overrightarrow {IB} +c\overrightarrow {IC} =\overrightarrow 0$,ta bình phương vô hướng 2 vế,ta thu được:
$a^2IA^2+b^2IB^2+c^2IC^2+2 \sum ab\overrightarrow {IA}.\overrightarrow {IB}=0 $
$\Leftrightarrow \sum a^2IA^2 + \sum ab(IA^2+IB^2-c^2)=0$
$ \Leftrightarrow (a+b+c)(aIA^2+bIB^2+cIC^2)-abc(a+b+c)=0 $
$\Leftrightarrow aIA^2+bIB^2+cIC^2=abc$
Mà ta có theo BĐT AM-GM,ta có :
$abc=aIA^2+bIB^2+cIC^2 \ge 3\sqrt[3]{abc(IA.IB.IC)^2} $
$\Leftrightarrow aIA^2+bIB^2+cIC^2=abc \ge 3\sqrt{3}.IA.IB.IC(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều .

rõ rang thế còn vắn tắt gì. cảm ơn nhiều