Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyen minh hang]

Tính
$I= \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}ln \dfrac{ (1+sinx)^{1+cosx} }{1+cosx)}dx $

[E. Galois]

Tính
$I= \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}ln \dfrac{ (1+sinx)^{1+cosx} }{1+cosx)}dx $

Đặt $ x = \dfrac{\pi }{2} - t $
Suy ra:
$ I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\ln \dfrac{{(1 + \cos t)^{1 + \sin t} }}{{(1 + \sin t)}}dt} $

Do đó:

$ 2I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left[ {\ln \dfrac{{(1 + \cos x)^{1 + \sin x} }}{{(1 + \sin x)}} + \ln \dfrac{{(1 + \sin x)^{1 + \cos x} }}{{(1 + \cos x)}}} \right]dx} $

$ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left[ {\ln \left( {(1 + \cos x)^{\sin x} .(1 + \sin x)^{\cos x} } \right)} \right]dx} $

$ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x.\ln (1 + \cos x)dx + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x.\ln (1 + \sin x)dx} } $

$ = - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\ln (1 + \cos x)d(1 + \cos x) + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\ln (1 + \sin x)d(1 + \sin x)} } $

Sử dụng
$ \int {\ln xdx = x\ln x - x + C} $

Ta có
$ 2I = \left. {\left( {\ln \dfrac{{(1 + \sin x)^{(1 + \sin x)} }}{{(1 + \cos x)^{(1 + \cos x)} }} + \cos x - \sin x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} $

$ = \left( {\ln 4 - 1} \right) - \left( {\ln \dfrac{1}{4} + 1} \right) = \ln 16 - 2 $

Vậy
$ I = \ln 4 - 1$