Đến nội dung

Hình ảnh

Chia hết và những vấn đề liên quan


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 28 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Mình mong muốn các bạn có thể đưa những định lý, tính chất chia hết vào chuyên mục này, nhằm giúp chúng ta hiểu hơn về phép chia hết. Còn bây giờ mình xin giới thiệu định nghĩa về tính chia hết.
Định nghĩa. Cho a và b là hai số nguyên, b khác 0, khi đó ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại hai số nguyên q và r với q là thương và r là số dư, điều kiện 0 :D r < |b|, ta có đẳng thức
a = bq + r
Mong các bạn có thể đóng góp các định lý, tính chất, phương pháp giải các bài toán chia hết vào chuyên mục, cũng có thể viết thêm chứng minh cho chúng.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Mình nêu một định lý về tính chia hết trước nhé !
Định lý 1: Nếu hai số a và b đều chia hết cho m, thì hiệu a - b và b - a đều chia hết cho m.
Thật vậy, vì a,b đều chia hết cho m, nên tồn tại các số nguyên t,s để a = t.m và b = s.m. Do đó
a - b = tm - sm = (t-s)m
b - a = sm - tm = (s-t)m
Vì hiệu hai số nguyên đều là một số nguyên nên a - b và b - a đều chia hết cho m.
Từ đó ta suy ra hệ quả sau
Hệ quả 1: Nếu tổng một số hạng chia hết cho m và trừ một số hạng, còn tất cả các số khác đều chia hết cho m, thì số hạng này cũng chia hết cho m.
Hãy chứng minh hệ quả trên và tìm thêm nhiều định lý chia hết mới.

Mình chứng minh hệ quả 1 nè!
Gỉa sử tổng $S = a_1 + a_2 + ... + a_n \vdots m$ chỉ trừ $a_i \left( {0 < i \le n} \right)$, còn $a_1 ,a_2 ,a_3 ,...,a_{i - 1} ,a_{i + 1} ,...,a_n $ đều chia hết cho m. Khi đó tồn tại các số nguyên
$s,t_j \left( {1 \le j \le n,j \ne i} \right)$ để $S = sm,a_j = t_j m$. Và
$\begin{array}{l} a_i = S - a_1 - a_2 - a_3 - ... - a_{i - 1} - a_{i + 1} - ... - a_n \\ a_i = sm - t_1 m - t_2 m - ... - t_{i - 1} m - t_{i + 1} m - ... - t_n m \\ a_i = \left( {s - t_1 - ... - t_{i - 1} - t_{i + 1} - ... - t_n } \right)m \\ \end{array}$
nên $a_i $ chia hết cho m.
Định lý 2. Nếu các số $a_1 ,a_2 ,...,a_n $ đều chia hết cho m thì tổng của chúng chia hết cho m
Định lý 3.Nếu mỗi số $a_i \vdots m_i \left( {1 \le i \le n} \right)$ thì tích $a_1 a_2 ...a_n \vdots m_1 m_2 ..._n .$
Các bạn hãy chứng minh các định lý trên.

Chứng minh các định lý
Định lý 2Vì $a_i \left( {1 \le i \le n} \right)$ chia hết cho m, nên tồn tại số nguyên $k_i \left( {1 \le i \le n} \right)$ để $a_i = k_i m$. Bởi vậy
$a_1 + a_2 + ... + a_n = k_1 m + k_2 m + ... + k_n m = \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {k_i } } \right)m$
suy ra đpcm.
Định lý 3Vì $a_i \vdots m_i \left( {1 \le i \le n} \right)$, nên tồn tại số nguyên $k_i $ để
$a_i = k_i m_i $. Khi đó $a_1 a_2 ...a_n = k_1 m_1 .k_2 m_2 ...k_n m_n = \left( {k_1 k_2 ...k_n } \right)\left( {m_1 m_2 ...m_n } \right)$, suy ra đpcm.
Từ định lý 3 ta có các hệ quả sau
Hệ quả 1Nếu a chia hết cho m, thì với số tự nhiên n tùy ý, $a^n \vdots m^n $
Hệ quả 2Nếu chỉ một thừa số chia hết cho m, thì tích cũng chia hết cho m.
Hi vọng bạn có thể chứng minh được các hệ quả trên. Sau đây là một số bài tập:
1. Tìm mọi số nguyên dương n sao cho n là ước của $n^2 + 1$ và $\left( {n + 1} \right)^2 + 1$
2. (Bulgaria MO 1977) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho $\left( {x^3 - 8x^2 + 2x} \right) \vdots \left( {x^2 + 1} \right)$

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Hi vọng bạn có thể chứng minh được các hệ quả trên. Sau đây là một số bài tập:
1. Tìm mọi số nguyên dương n sao cho n là ước của $n^2 + 1$ và $\left( {n + 1} \right)^2 + 1$
2. (Bulgaria MO 1977) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho $\left( {x^3 - 8x^2 + 2x} \right) \vdots \left( {x^2 + 1} \right)$

1. Theo đề bài thì d | $n^2 + 1$ và d | $\left( {n + 1} \right)^2 + 1$, hay d | $n^2 + 2n + 2$. Khi đó d | 2n+1. Suy ra d | $4n^2 + 4n + 1$, do đó d | $4\left( {n^2 + 2n + 2} \right) - \left( {4n^2 + 4n + 1} \right)$ hay d | 4n + 7. Cho nên d | (4n+7) – (2n + 1) hay d | 5, suy ra d chỉ có thể bằng 1 hoặc 5.
2. Ta có ($x^2 $ + 1) | x + 8, suy ra ($x^2 $ + 1) | $x^2 $ + 8x, do đó
($x^2 $ + 1) | 8x – 1, dẫn tới ($x^2 $ + 1) | 8(x + 8) – (8x – 1), hay ($x^2 $ + 1) | 65. Nói cách khác thì $x^2 $ + 1 phải là ước dương của 65. Như vậy $x^2 $ + 1 {1, 5, 13, 65}. Từ đó dễ dàng tìm được x.
PHÉP CHIA HẾT, PHÉP CHIA CÓ DƯ, ĐỒNG DƯ THỨC
Để làm quen với số học thì việc đầu tiên, hãy biết đến các bài toán chia hết, vì nó là một khái niệm cơ bản và cũng là trọng tâm của số học. Những bài toán về chia hết có thể nói là không thể thiếu trong số học nói riêng và toán học nói chung. Trên thế giới có nhiều bài toán về chia hết rất hay, và cũng có những phương pháp chứng minh nó với một cách khá thú vị và bổ ích. Nay tôi xin tổng hợp lại những phương pháp đó.
Khi có số nguyên a và số tự nhiên b, một trong những câu hỏi hiển nhiên được đặt ra là: Liệu a có chia hết cho b không ? Và làm cách nào để biết được điều đó ? Những câu hỏi đó sẽ được trả lời ngay, sau khi bạn đọc được vấn đề này.
1.1 Các số nguyên và các phép tính số nguyên
Tập hợp các số nguyên gồm các số tự nhiên 1, 2, 3,...; số 0 và các số
nguyên âm -1, -2, -3, ... Trong tập hợp đó luôn luôn thực hiện được phép cộng và phép trừ. Nói cách khác, nếu m và n là các số nguyên, thì tổng m + n của chúng cũng là số nguyên. Hơn nữa, với hai số nguyên m,n tùy ý tồn tại duy nhất một số x thỏa mãn phương trình
n + x = m.
Số đó được gọi là hiệu của hai số m và n đồng thời kí hiệu bằng m – n. Hiệu hai số nguyên bất kì cũng là số nguyên.
Trong tập hợp các số nguyên cũng luôn luôn thực hiện được phép nhân, nghĩa là, nếu m và n là các số nguyên, thì tích m.n cũng là số nguyên.Tuy vậy, phép chia (là phép tính ngược của phép nhân) không phải khi nào cũng thực hiện được trong tập hợp số nguyên. Kết quả của phép chia số a cho số b khác 0 là số x được kí hiệu bằng a : b hoặc :frac{a}{b} thỏa mãn phương trình
bx = a
Số x đó tồn tại và duy nhất. Song kết quả của phép chia một số nguyên cho một số nguyên khác không phải khi nào cũng là một số nguyên. Thí dụ, các thương 3 : 2, 6 : 5, (-50) : 7, (-60) : (-21) không phải là các số nguyên. Điều đó có nghĩa là phép chia không phải luôn luôn thực hiện được trong tập hợp các số nguyên. Thương của phép chia số nguyên a cho số nguyên b 0 có thể không thuộc tập hợp các số nguyên; còn chính trong tập hợp các số nguyên không tìm được một số nào để ta có thể gọi là thương của phép chia a cho b.
Dĩ nhiên vẫn tồn tại trường hợp thương của phép chia một số nguyên cho một số nguyên khác cũng là một số nguyên, chẳng hạn
8 : (-2) = -4, 48 : 12 = 4, (-6) : 6 = 1
Định nghĩa 1.1. Nếu a và b (b khác 0) là các số nguyên, mà thương a chia b cũng là số nguyên, thì ta nói rằng a chia hết cho b (hay a là bội của b, hay b là ước của a) và ta kí hiệu b|a.
Ta cũng có thể nói rằng số nguyên a chia hết cho số nguyên b khác 0 khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên k sao cho a = bk. Cũng xin lưu ý rằng khi ta nói số nguyên a chia hết cho b thì a cũng chia hết cho – b nên ta chỉ xét các ước nguyên dương của a. Chẳng hạn như số 48 có các ước là :Rightarrow 1, :pm 2, :Rightarrow 3, :Rightarrow 4, :perp 6, :perp 8, :pm 12, :pm 48, :pm 24 và ta chỉ xét các ước dương của 48 là 1, 2, 3, 4, 6, 8, 24, 48.
Tuy vậy ta chỉ có thể nói a :delta b khi và chỉ khi b khác 0. Trường hợp b = 0 thì thương a : b không thể xác định, nghĩa là biểu thức a : 0 hay $\dfrac{a}{0}$ không có nghĩa.
Ngược lại, khi a = 0 (đương nhiên với mọi b khác 0) thì thương a : b luôn được xác định và bằng 0 vì trong trường hợp này số không chính là số nguyên, nên nó sẽ chia hết cho mọi số nguyên khác 0 (ngoài ra thương bằng 0).
$\dfrac{0}{b}$khi b khác 0.
Vì 0 = 0. n, nên ta luôn có n | 0 với mọi số nguyên n. Cũng với mọi số nguyên n bất kì, thì các bội của n sẽ là
0, :pm n , :pm 2n ... Thật dễ dàng khi đoán chắc rằng các bội của n là một dãy các số nguyên, với hai số liền nhau hơn kém nhau n đơn vị.
Ta có thể viết a chia hết cho b bằng cách khác như :frac{a}{b} hay b|a (tức b là ước của a), còn b a để chỉ a không chia hết cho b.
Mình cũng đã giới thiệu với các bạn một số định lý chia hết ở trên và cách chứng minh cho mỗi định lý, và bây giờ mình mong các bạn có thể đưa lên một số tính chất của phép chia hết. Xin thank :D

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#4
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
ĐL Euclide: Nếu giả sử đem a chia cho b được thương là q và số dư là r, tức là $ a= bq+r ; 0\leq r\leq |b|$ khi đó ta có:
$ UCLN(a;b)=UCLN(b;r) $

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#5
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
1.2 Các tính chất về chia hết

Tính chia hết là khả năng của một số chia hết cho một số khác. Như vậy,
làm thế nào để ta có thể nhận biết được tính chia hết, biết được số nguyên này có chia hết cho số nguyên kia hay không ? Câu trả lời chính là các tính chất dưới đây của phép chia hết. Nó sẽ giúp bạn phát hiện ra một phép chia hết đầy thú vị.
Với mọi a, b, c, x, y nguyên, ta có
Tính chất 1.1 (Tính chất bắc cầu) Nếu b | a và c | b thì c | a.
Thật vậy, do b | a nên luôn tồn tại số nguyên k sao cho a = bk. (1)
Tương tự ta cũng sẽ có c | b thì b = c$k_1 $, thay vào (1) ta sẽ có a = c.(k$k_1 $) nên c | a.
Ta có thể tổng quát tính chất trên như sau
ìCho $a_1 ,a_2 ,a_3 ,...,a_n $là các số nguyên mà $a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n $ thì
$a_1 < a_n $"
Tính chất 1.2 Nếu x | y và y :D 0 thì |x| :leq |y|.
Thật vậy, do x | y nên |x| là ước của |y|. Mà y :D 0 nên luôn tồn tại số |k| :geq 1 sao cho |y| = |k| . |x| :geq |x|.
Tính chất 1.3 Nếu có số nguyên a khác 0, thì ta luôn có a | a, 1 | a, a | 0.
Thật vậy, ta biết a = a.1, hay a : a = 1, tức là a | a. Tương tự, hãy chứng minh các tính chất còn lại.
Tính chất 1.4 Nếu x | y và y | x thì |x| = |y|.
Thật vậy, vì x | y và y | x nên ta sẽ có nên ta sẽ có y :neq 0 và x :neq 0. Từ tính chất 1.2 suy ra |x| :geq |y| và |y| :geq |x|, tức là |x| = |y|.
Tính chất 1.5 Với mọi z :neq 0 thì x | y khi và chỉ khi zx | zy.
Ta biết rằng z :neq 0, x :neq 0 khi và chỉ khi xz :neq 0. Do x | y nên luôn tồn tại số nguyên k sao cho y = kx, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi zy = kxz, tức zx | zy.
Tính chất 1.6 Nếu x | y và y :neq 0 thì $\dfrac{y}{x}$ | y.
Thật vậy, do x | y nên đặt $\dfrac{y}{x}$ = k với k là số nguyên khác 0. Khi đó y = kx, cho nên k | y, cũng tức là $\dfrac{y}{x}$ | y.
Tính chất 1.7 Nếu x | y và x | z thì x |$\alpha $y + $\beta $ z với mọi số nguyên
$\alpha $ và $\beta $.
Thật vậy, đặt y = xk1 và z = x.k2, khi đó $\alpha $y + $\beta $z = ( k1 + k2)x, tức
x | $\alpha $y + $\beta $z.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#6
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Sự tồn tại và duy nhất của phép chia có dư

Có hai vấn đề được đặt ra đối với phép chia có dư là
1. Liệu có thể luôn luôn thực hiện được phép chia có dư hay không ? Nói cách khác , nếu cho số nguyên a và số tự nhiên b, thì luôn luôn có thể chọn được các số nguyên q và r để 0 r < b, b khác 0 và a = bq + r hay không ?
2. Phép chia có dư có duy nhất hay không ? Nói cách khác, nếu số a được biểu diễn bằng hai cách khác nhau dưới dạng
a = b$q_1 $ + $r_1 $, 0 :leq $r_1 $ < b
a = b$q_2 $ + $r_2 $, 0 :D $r_2 $ < b
với mọi b khác 0 thì hai cách này có nhất thiết phải trùng nhau hay không, nghĩa là, phải có $q_1 $ = $q_2 $ và $r_1 $ = $r_2 $ ?
Định lý sau sẽ giải đáp cả hai câu hỏi trên và khẳng định phép chia có dư luôn luôn tồn tại và duy nhất.
Định lý 1.6. Nếu cho hai số nguyên dương b và số nguyên a bất kì, bao giờ cũng tồn tại duy nhất số nguyên q và r, sao cho 0 :D r < b với a = bq + r. Các số q và r xác định theo các điều kiện trên là duy nhất.
Chọn số tự nhiên c, sao cho |a| < c và xét dãy số
–cb, (–c + 1)b, (–c + 2)b, ... , –2b, –b, 0b, 2b, ..., (c – 1)b, cb (1)
Trong đó kể từ số thứ hai đều lớn hơn số ngay trước nó b đơn vị. Nên đây là một dãy tăng và có số đầu – cb < a, số cuối cb > a (do |a| < c :in cb vì b :leq 1).
Điều này chứng tỏ rằng trong dãy (1) có một số bé hơn hay bằng a, còn số tiếp theo lớn hơn a. Kí hiệu số này là qb. Khi đó số tiếp theo là (q + 1)b lớn hơn a.
qb :leq a < (q + 1)b (2)
Như vậy là thương q đã chọn được. Kí hiệu r là số a – qb, nên
a = bq + r
Khi đó bất đẳng thức (2) có dạng
qb :leq qb + r < (q + 1)b
Bớt cả hai vế của bất đẳng thức trên đi qb đơn vị ta có
0 :leq r < b.
Vậy thương q và số dư r đã tìm được. 
Ta chứng minh tính duy nhất của dạng biểu diễn phép chia có dư. Giả sử số a có thể biểu diễn bằng ít nhất hai cách khác nhau và hai trong các cách biểu diễn đó là
a = b$q_1 $ + $r_1 $ với 0 :leq $r_1 $ < b
a = b$q_2 $ + $r_2 $ với 0 :leq $r_2 $ < b.
Trừ vế với vế hai đẳng thức trên ta có
($q_1 $ – $q_2 $ )b + ($r_1 $ – $r_2 $) = 0 (3)
nghĩa là $r_1 $ – $r_2 $ = – ($q_1 $ – $q_2 $ )b. Do đó
$r_1 $ – $r_2 $ chia hết cho b.
Giả sử $r_1 $ :D $r_2 $ và để xác định, ta giả sử tiếp
$r_1 $ > $r_2 $. Khi đó $r_1 $ – $r_2 $ > 0.Mặt khác
$r_1 $ – $r_2 $ :leq $r_1 $ < b. Khi đó $r_1 $ – $r_2 $ là số tự nhiên bé hơn b, nên nó không thể chia hết cho b. Ta đã đi tới mâu thuẫn, nên $r_1 $ = $r_2 $
Bởi vậy đẳng thức (3) có dạng
($q_1 $ – $q_2 $)b = 0
Vì b :D 0 (b là số tự nhiên), nên suy ra $q_1 $ – $q_2 $ = 0. Nghĩa là
$q_1 $ = $q_2 $ và dạng biểu diễn phép chia có dư là duy nhất. 
Từ định lý trên suy ra rằng, mỗi số nguyên a có thể biểu diễn bằng một trong các dạng sau

a = bq
a = bq + 1
a = bq + 2
.....................
a = bq + (|b| – 1)
Cũng xin nói thêm rằng định lý 1.6 được gọi là thuật toán về phép chia mặc dù nó không hoàn toàn là một thuật toán.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#7
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chứa ẩn chia hết cho một số hay một biểu thức chứa ẩn khác.

1. Chứng minh rằng:
a)$3n^{4} - 14n^{3} + 21n^{2} - 10n \vdots 24$ với mọi $n$ nguyên.
b)$n^{5} - 5n^{3} + 4n \vdots 120$ với mọi $n$ nguyên.
c)$n^{3} - 3n^{2} - n + 3 \vdots 48$ với mọi $n$ lẻ, $n$ là số tự nhiên.
d)$n^{8} - n^{6} - n^{4} + n^{2} \vdots 1152$ với mọi $n$ lẻ.
e)$n^{4} - 4n^{3} - 4n^{2} + 16n\vdots 384$ với mọi $n$ chẵn.

2. Chứng minh rằng nếu $a$ là số nguyên không chia hết cho 5 và không chia hết cho 7 thì
$\left ( a^{4} - 1 \right )\left ( a^{4} + 15a^{2} + 1 \right )\vdots 35$

3.Chứng minh rằng:
a) $46^{n} + 296.13^{n}\vdots 1947\left ( n > 1, n \in \mathbb{N} \right )$ và $n$ lẻ
b) $20^{n} + 16^{n} - 3^{n} - 1\vdots 323 $ với $n$ là số tự nhiên chẵn.

4. Chứng minh rằng:
$A = 2903^{n} - 803^{n} - 464^{n} + 261^{n}\vdots 1897\left ( n\in \mathbb{N} \right )$


Các bạn hãy giải các bài trên!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 26-05-2011 - 09:51

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#8
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Thực chất ý tưởng hay nói cách khác là phương pháp giải dạng này thường thường là ta phải đưa đẳng thức cần chứng minh chia hết về nhân tử chung, cũng có thể giải các dạng này về cách sử dụng đồng dư và cách xét số dư (cách xét số dư không được thuận tiện cho lắm, chỉ khi nào bí các cách khác thì mới dùng thôi!). Đây cũng chỉ là dạng toán phân tích thành nhân tử thôi!

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#9
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Mình giải câu a bài 1 đã nhé!
a) $A=3n^{4}-14n^{3}+21n-10n=n\left ( 3n^{3}-14n^{2}+21n-10 \right )=n\left ( 3n^{3}-3n^{2}+11n^{2}+11n+10n-10 \right )=n\left ( n-1 \right )\left ( 3n^{2}-11n+10 \right )=n\left ( n-1 \right )\left ( 3n^{2}-6n-5n+10 \right )=n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )\left ( 3n-5 \right )=3n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )\left ( n-3 \right )+4n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )$

Vì $n,n-1,n-2$ là $3$ số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, suy ra $n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )$ chia hết cho $6$. Do đó $4n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )$ chia hết cho 24.

Vì $n,n-1,n-2, n-3$ là 4 số nguyê liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 4, nên $3n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )\left ( n-3 \right )$ chia hết cho 24.

Tóm lại $A$ chia hết cho $24$ với mọi $n$.

Tương tự như vậy, mọi người hãy giải hết bài 1 đi nào!

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#10
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Mình giải bài 1 luôn nè!
b) $n^{5}-5n^{3}+4n=n\left ( n+1 \right )\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )\left ( n+2 \right )$
c) $n^{3}-3n^{2}-n+3=\left ( n-3 \right )\left ( n+1 \right )\left ( n-1 \right )$\
d) $n^{8}-n^{6}-n^{4}+n^{2}=n^{2}\left ( n^{2}-1 \right )^{2}\left ( n^{2}+1 \right )$
e) $n^{4}-4n^{3}-4n^{2}+16n=n\left ( n-4 \right )\left ( n-2 \right )\left ( n+2 \right )$

Mọi người giải tiếp đi, hay post bài khác về dạng này cũng được!

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#11
keichan_299

keichan_299

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
cái bài 4 ý, hình như sai đề ^^
nếu n=1 thì A chia hết cho 897 thôi chứ????????
i love keichan 4ever!!!!!!!!!!!

#12
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Sorry, mình nhầm một tí, mình đã chỉnh sửa rồi đấy, mọi người mau giải đi!

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#13
keichan_299

keichan_299

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
bài 4:
$ (2903^{n} - 803^{n} ) - (464 ^{n} - 261^{n} ) \vdots 7 $
$ (2903^{n}-464 ^{n}) - (803^{n} - 261^{n} ) \vdots 271 $
mà (7,271)=1. nên suy ra đpcm

Câu b bài 3:n chẵn nên n=2k
$ (400^{k} - 9^{k} ) + (256 ^{k} - 1 ) \vdots 17 $
$(400^{k} - 1 ) + (256 ^{k} - 9^{k} ) \vdots 19 $
mà (17,19)=1 nên suy ra đpcm
i love keichan 4ever!!!!!!!!!!!

#14
vũ nhật thông

vũ nhật thông

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Mình mong muốn các bạn có thể đưa những định lý, tính chất chia hết vào chuyên mục này, nhằm giúp chúng ta hiểu hơn về phép chia hết. Còn bây giờ mình xin giới thiệu định nghĩa về tính chia hết.
Định nghĩa. Cho a và b là hai số nguyên, b khác 0, khi đó ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại hai số nguyên q và r với q là thương và r là số dư, điều kiện 0 :| r < |b|, ta có đẳng thức
a = bq + r
Mong các bạn có thể đóng góp các định lý, tính chất, phương pháp giải các bài toán chia hết vào chuyên mục, cũng có thể viết thêm chứng minh cho chúng.


Bài toán về phép chia, chính xác là như thế ta không nên gọi là chia hết.

Theo lý thuyết ta có một số bài tập nhỏ nhỏ sau:

BT: Chứng minh rằng với mọi $n$ không chia hết cho 4 thì $2^{n} +3^{n}+4^{n}+1$ chia hết cho $5$.

Hình gửi kèm

  • 10000_2b.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 11-07-2011 - 08:35


#15
Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Bài toán về phép chia, chính xác là như thế ta không nên gọi là chia hết.

Theo lý thuyết ta có một số bài tập nhỏ nhỏ sau:

BT: Chứng minh rằng với mọi $n$ không chia hết cho 4 thì $2^{n} +3^{n}+4^{n}+1$ chia hết cho $5$.


Với n = 2k + 1
Áp dụng tính chất $a^n + b^n$ :perp a + b với n = 2k + 1 :perp
=> Mệnh đề đúng

Với n = 2k
Thấy $2^n = 2^{2k} = 4^k$
$3^n = 3^{2k} = 9^k$
$4^n = 4^{2k} = 16^k$
Do n ko chia hết 4 nên k ko thể chia hết 2
:perp k = 2k + 1
Tới đây tiếp tục áp dụng tính chất :perp ta dễ dàng tìm đc đpcm

P . I = A . 22


#16
LightOfMath

LightOfMath

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

bạn có thể tổng hợp lại thành file được ko, mình muốn lưu lại sau này nhỡ khi cần dùng ấy mà



#17
Mr Peter

Mr Peter

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

1)Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình sau:

$\frac{11}{5}x-\sqrt{2x+1}=3y-\sqrt{4y-1}+2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Peter: 30-05-2013 - 08:55

HÃY THEO ĐUỔI ĐAM MÊ

 

THÀNH CÔNG SẼ ĐUỔI THEO BẠN!

 

    


#18
Mr Peter

Mr Peter

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

2)Giải phương trình trong z: 

$13\sqrt{x}-7\sqrt{y}=\sqrt{2000}$
 

 



3)Tìm nghiệm nguyên dương của pt

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=2xyz$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Peter: 30-05-2013 - 08:59

HÃY THEO ĐUỔI ĐAM MÊ

 

THÀNH CÔNG SẼ ĐUỔI THEO BẠN!

 

    


#19
degeawapsh

degeawapsh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

2)Giải phương trình trong z: 

$13\sqrt{x}-7\sqrt{y}=\sqrt{2000}$
 

$13\sqrt{x}-7\sqrt{y}=\sqrt{2000}$

$\Leftrightarrow 13\sqrt{x}=7\sqrt{y}+\sqrt{2000}$

$\Leftrightarrow 169x=49y+280\sqrt{5y}+2000$

Vì $x \in Z$ nên $5y$ chính phương $\Leftrightarrow y=5k^2$

$\Rightarrow 169x=245k^2+1400k+2000$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{5(7k+20)^2}{169}$

$\Rightarrow 7k+20\equiv 0 (mod 169)$

$\Rightarrow 7k\equiv 149 (mod 169)$

$\Rightarrow k\equiv 149*145\equiv 142 (mod 169)$

$\Rightarrow k=169u+142 (u \in Z)$

$\Rightarrow x=845(7u+6)^2;y=5(169u+142)^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi degeawapsh: 01-06-2013 - 12:51


#20
Crazy Cat

Crazy Cat

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Mọi người giúp mình bài này nhé!

 

Tìm một cặp số nguyên dương (a;b) thoả: 

 

$\left\{\begin{matrix} ab(a+b) không chia hết cho 7\\ (a+b)^{7}-a^{7}-b^{7}\vdots 7^{7} \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Crazy Cat: 02-06-2013 - 14:51





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh