Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$|P(x)| \leq \frac{1}{2}, \forall x, |x| \leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Galoa_82

Galoa_82

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

Đã gửi 16-04-2011 - 23:25

Cho $P(x) = x^{2} + ax+ b$. Biết rằng: $\forall x$ thỏa mãn $|x| \leq 1$, ta có $|P(x)| \leq \frac{1}{2}$
Tính giá trị của biểu thức $a^3 + b^3$

#2 Trungpbc

Trungpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Toán,conan

Đã gửi 06-01-2013 - 15:09

Cho $P(x) = x^{2} + ax+ b$. Biết rằng: $\forall x$ thỏa mãn $|x| \leq 1$, ta có $|P(x)| \leq \frac{1}{2}$
Tính giá trị của biểu thức $a^3 + b^3$

Lần lượt chọn $x=0,1,-1$ ta có:
$$\left\{\begin{matrix}
b\geqslant -1/2\\
a+b+1\leqslant 1/2\\
-a+b+1\leq 1/2
\end{matrix}\right.$$ Suy ra $\frac{-1}{2}\geqslant b\geqslant \frac{-1}{2}$ hay $b=\frac{-1}{2}$. Do đó, $a=0$.
Vậy $a^{3}+b^{3}=\frac{-1}{8}$

#3 Kudo Shinichi

Kudo Shinichi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-01-2013 - 15:21

Cho $P(x) = x^{2} + ax+ b$. Biết rằng: $\forall x$ thỏa mãn $|x| \leq 1$, ta có $|P(x)| \leq \frac{1}{2}$
Tính giá trị của biểu thức $a^3 + b^3$

Giải như sau:
Ta có: $f\left ( 0 \right )=b; f\left ( 1 \right )=1+a+b;f\left ( -1 \right )=1-a+b$
Vì: $\left | f\left ( 0 \right ) \right |\leq \frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{1}{2}\leq b\leq \frac{1}{2}$ (1)
$\left | f\left ( 1 \right ) \right |\leq \frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{1}{2}\leq 1+a+b\leq \frac{1}{2}$ (2)
$\left | f\left ( -1 \right ) \right |\leq \frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{1}{2}\leq 1-a+b\leq \frac{1}{2}$ (3)
Từ (2) và (3) suy ra: $-\frac{3}{4}\leq b\leq -\frac{1}{2}$ (4)
Từ (1) và (4) suy ra: $b= -\frac{1}{2}$ (5)
Thay (5) vào (2) suy ra: $0\leq a+1\leq 1 \Rightarrow -1\leq a\leq 0$
Thay (5) vào (3) suy ra: $a\geq 0 \Rightarrow a=0$
Vậy $a^{3}+b^{3}=-\frac{1}{8}$

James Moriarty


#4 minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-01-2013 - 18:12

Ta có:

$\begin{vmatrix}
P(0)
\end{vmatrix}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{-1}{2}\leq b\leq \frac{1}{2} (1)$


$\begin{vmatrix}
P(1)
\end{vmatrix}\leq\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{-1}{2}\leq 1+a+b\leq \frac{1}{2} (2)$


$\begin{vmatrix}
P(-1)
\end{vmatrix}\leq\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{-1}{2}\leq 1-a+b\leq \frac{1}{2} (3)$
Cộng (2) và (3) theo vế, ta có: $2+2b\leq 1\Rightarrow b\leq \frac{-1}{2}$. Kết hợp với (1) suy ra $b=\frac{-1}{2}$
Thay vào (2) có:$a\leq 0$
Thay vào (3) có:$a\geq 0$
suy ra $a=0$
Vậy $a^{3}+b^{3}= \frac{-1}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhduc3001: 06-01-2013 - 18:14


#5 minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-01-2013 - 19:04

Mở rộng 1: Với $P(x)=ax^{2}+bx+c$ (a,b,c là hằng số) sao cho với mọi x thỏa mãn $\begin{vmatrix}
x
\end{vmatrix}\leq 1$ thì $\begin{vmatrix}
P(x)
\end{vmatrix}\leq 1$. Khi đó với mọi giá trị của x thì $P(x)$ có giá trị không đổi.

#6 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 20:20

Chấm bài
Trungpbc: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh