Đào bitcoin nào!
Đối với 2 bài toán này, theo mình thì không nhất thiết phải sử dụng đến dao to búa lớn ( hệ thống CAS...) mà chỉ cần với những kiến thức rất cơ bản về tổ hợp lặp, về hàm sinh, về chuỗi ... là ta có thể giải một cách nhẹ nhàng bằng " by pen and paper "cụ thể như sau:
Bài 1: Xét :
$\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=15 \\
x_{1}\geq 3;x_{2},x_{3},x_{4}\geq 0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12 \\
x_{i}\geq 0
\end{cases}$
có số nghiệm là $\binom{12+3}{3}=\binom{15}{3}$
Xét tiếp :
$ \begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12 \\
x_{2}\geq 4;x_{2},x_{3},x_{4}\geq 0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=8 \\
x_{i}\geq 0
\end{cases}$
có số nghiệm là $\binom{8+3}{3}=\binom{11}{3}$
Vậy số nghiệm thỏa đề bài là :
$ \binom{15}{3}-\binom{11}{3}=455-165=\boxed {290}$
Bài 2:
Ta viết hàm sinh cho từng nghiệm :
$\begin{align*}
x_{1}&\longrightarrow x^{2}+x^{3}+...+x^{8} =\frac{x^2\left(1-x^{7} \right )}{1-x}\\
x_2,x_3 &\longrightarrow \frac{x^{4}}{1-x}\\
x_4 &\longrightarrow 1+x+x^2+...+x^5=\frac{1-x^6}{1-x}
\end{align*}$
Ta có hàm sinh :
$f\left ( x \right )=\frac{x^{10}\left ( 1-x^6 \right )\left (1-x^7 \right )}{\left ( 1-x \right )^4}=\frac{x^{23}+x^{10}-x^{17}-x^{16}}{\left ( 1-x \right )^4}$
Ta tính hệ số của số hạng chứa $x^{40}$ trong khai triển của $f(x)$:
$\left [ x^{40} \right ]f(x)=\left (\left [ x^{17} \right ]+\left [ x^{30} \right ]-\left [ x^{23} \right ]-\left [ x^{24} \right ] \right )\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+3}{3}x^k=\binom{17+3}{3}+\binom{30+3}{3}-\binom{23+3}{3}-\binom{24+3}{3}=\binom{20}{3}+\binom{33}{3}-\binom{26}{3}-\binom{27}{3}= 1140+5456-2600-2925=\boxed {1071}$
Voilà! không dùng computer nhé, chỉ by hand mà thôi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-09-2022 - 00:43