7 replies to this topic

[nguyen duc thoai]

:limits_{0}^{ :frac{ }{2} } :frac{cos2x.dx}{1+sin^{2}x }

[nguyen duc thoai]

ai làm dùm em bài này

Attached Files

•  Doc1.doc   16KB   89 downloads

[Lê Xuân Trường Giang]

:limits_{0}^{ :frac{ }{2} } :frac{cos2x.dx}{1+sin^{2}x }

$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos 2xdx}}{{1 + {{\sin }^2}x}}} $

[hoangnbk]

$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos 2xdx}}{{1 + {{\sin }^2}x}}} $

mình thử tìm nguyên hàm của hàm này:
$ \int (\dfrac{3}{2-cos^2x}-2) dx= -2x + \int \dfrac{1}{cos^2x}. \dfrac{3}{\dfrac{2}{cos^2x}-1}dx= -2x + \int \dfrac{3}{2tan^2x+1}d(tanx) $
đến đây đặt $ tanx= \sqrt{\dfrac{1}{2}} tan u$
$ \int \dfrac{3}{2tan^2x+1}d(tanx) = \int \dfrac{3}{tan^2u+1}d(\sqrt{\dfrac{1}{2}}tanu)= \int \sqrt{\dfrac{1}{2}}.\dfrac{1}{cos^2u}.3cos^2u du= \int \dfrac{3}{\sqrt{2}} du = \dfrac{3u}{\sqrt{2}}$
vậy nguyên hàm là $ -2x + \dfrac{3u}{\sqrt{2}} $ với u là giá trị sao cho $tanx = \sqrt{\dfrac{1}{2}} tan u $
Do khi x tiến tới $ \dfrac{\pi}{2}$, tanx tiến tới dương vô cùng nên tan u tiến tới dương vô cùng, suy ra u tiến tới $\dfrac{\pi}{2}$, khi x tiến tới 0, u tiến tới 0, do đó kết quả là $ I = (-2 + \dfrac{3}{\sqrt{2}}).\dfrac{\pi}{2}$

Edited by hoangnbk, 05-05-2011 - 01:10.

[KemIuTra]

theo mình thì giải thế này (hơi dài 1 tý. Hì)
$ \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{cos2x}{1 + sin^{2}x}dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}} cot^{2}x.cos2x.dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}\dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}2cos^{2}xdx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}\dfrac{1}{sin^{2}x}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}} \dfrac{1}{2}cos^{2}x.dx.$
Đến đây thì có thể giải tiếp được rồi chứ, áp dụng công thức $ sin^{2}a = \dfrac{1-cos2a}{2}, cos^{2}a =\dfrac{1+cos2a}{2}$. Hì

Edited by KemIuTra, 05-05-2011 - 01:03.

[nguyen duc thoai]

theo mình thì giải thế này (hơi dài 1 tý. Hì)
$ \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{cos2x}{1 + sin^{2}x}dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}} cot^{2}x.cos2x.dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}\dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}2cos^{2}xdx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}\dfrac{1}{sin^{2}x}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}} \dfrac{1}{2}cos^{2}x.dx.$
Đến đây thì có thể giải tiếp được rồi chứ, áp dụng công thức $ sin^{2}a = \dfrac{1-cos2a}{2}, cos^{2}a =\dfrac{1+cos2a}{2}$. Hì

cho mình hỏi cái chỗ thứ 2 wa cái thứ 3 suy ra sao, mình dùng công thức nhân đôi nhưng không phải

[KemIuTra]

à cái đó hả cái đó áp dụng: $ cos2a = 1 - 2sin^{2}a$

[nguyen duc thoai]

được rồi, tại bị nhầm tí. thanks 2 bạn đã giúp đỡ mình. mình bấm thank rồi đó