một bài tích phân cực khó
#1
Đã gửi 04-05-2011 - 21:20
#2
Đã gửi 04-05-2011 - 21:25
File gửi kèm
#3
Đã gửi 04-05-2011 - 21:39
$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos 2xdx}}{{1 + {{\sin }^2}x}}} $:limits_{0}^{ :frac{ }{2} } :frac{cos2x.dx}{1+sin^{2}x }
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
#4
Đã gửi 05-05-2011 - 00:33
mình thử tìm nguyên hàm của hàm này:$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos 2xdx}}{{1 + {{\sin }^2}x}}} $
$ \int (\dfrac{3}{2-cos^2x}-2) dx= -2x + \int \dfrac{1}{cos^2x}. \dfrac{3}{\dfrac{2}{cos^2x}-1}dx= -2x + \int \dfrac{3}{2tan^2x+1}d(tanx) $
đến đây đặt $ tanx= \sqrt{\dfrac{1}{2}} tan u$
$ \int \dfrac{3}{2tan^2x+1}d(tanx) = \int \dfrac{3}{tan^2u+1}d(\sqrt{\dfrac{1}{2}}tanu)= \int \sqrt{\dfrac{1}{2}}.\dfrac{1}{cos^2u}.3cos^2u du= \int \dfrac{3}{\sqrt{2}} du = \dfrac{3u}{\sqrt{2}}$
vậy nguyên hàm là $ -2x + \dfrac{3u}{\sqrt{2}} $ với u là giá trị sao cho $tanx = \sqrt{\dfrac{1}{2}} tan u $
Do khi x tiến tới $ \dfrac{\pi}{2}$, tanx tiến tới dương vô cùng nên tan u tiến tới dương vô cùng, suy ra u tiến tới $\dfrac{\pi}{2}$, khi x tiến tới 0, u tiến tới 0, do đó kết quả là $ I = (-2 + \dfrac{3}{\sqrt{2}}).\dfrac{\pi}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangnbk: 05-05-2011 - 01:10
#5
Đã gửi 05-05-2011 - 00:53
$ \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{cos2x}{1 + sin^{2}x}dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}} cot^{2}x.cos2x.dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}\dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}2cos^{2}xdx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}\dfrac{1}{sin^{2}x}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}} \dfrac{1}{2}cos^{2}x.dx.$
Đến đây thì có thể giải tiếp được rồi chứ, áp dụng công thức $ sin^{2}a = \dfrac{1-cos2a}{2}, cos^{2}a =\dfrac{1+cos2a}{2}$. Hì
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KemIuTra: 05-05-2011 - 01:03
#6
Đã gửi 05-05-2011 - 08:27
cho mình hỏi cái chỗ thứ 2 wa cái thứ 3 suy ra sao, mình dùng công thức nhân đôi nhưng không phảitheo mình thì giải thế này (hơi dài 1 tý. Hì)
$ \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{cos2x}{1 + sin^{2}x}dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}} cot^{2}x.cos2x.dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}\dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}2cos^{2}xdx = \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}\dfrac{1}{sin^{2}x}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}}dx - \int\limits_{0}^{\dfrac{ \pi }{2}} \dfrac{1}{2}cos^{2}x.dx.$
Đến đây thì có thể giải tiếp được rồi chứ, áp dụng công thức $ sin^{2}a = \dfrac{1-cos2a}{2}, cos^{2}a =\dfrac{1+cos2a}{2}$. Hì
#7
Đã gửi 05-05-2011 - 11:35
#8
Đã gửi 05-05-2011 - 15:14
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh