Đến nội dung


Hình ảnh

tìm giá trị lớn nhất của BT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 mileycyrus

mileycyrus

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:hà nội

Đã gửi 17-05-2011 - 19:31

cho $x>0, y>0$ thỏa mãn $x +y+1 = 3xy$
tìm giá trị lớn nhất của

$H = \dfrac{3x}{ y(x+1)} + \dfrac{3y}{x (y+1)} + \dfrac{1}{x+y}-\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{y^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-05-2011 - 19:40
Gõ Latex trong bài viết

If u don't get a miracles
BECOME ONE !

#2 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 17-05-2011 - 19:56

cho $x>0, y>0$ thỏa mãn $x +y+1 = 3xy$
tìm giá trị lớn nhất của

$H = \dfrac{3x}{ y(x+1)} + \dfrac{3y}{x (y+1)} + \dfrac{1}{x+y}-\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{y^2}$

Sử dụng BĐT AM-GM,ta đánh gía được $xy \ge 1$.
Để ý rằng:$\dfrac{3x}{y(x+1)}-\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{y(x+1)}$ nên $H=\dfrac{1}{y(x+1)}+\dfrac{1}{x.(y+1)}+\dfrac{1}{x+y}$
$=\dfrac{(x+y)(2xy+x+y)+4x^2y^2}{4(3xy-1)x^2y^2}=\dfrac{19t^2-8t+1}{4t^2(3t-1)}(t=xy \ge 1)$
Đến đây thì chỉ là khảo sát hàm $f(t)=\dfrac{19t^2-8t+1}{4t^2(3t-1)}(t \ge 1)$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 17-05-2011 - 21:12

Đặt ẩn phụ cho gọn nhẹ cái giả thiết, như vậy có lẽ là nên đặt:
$a = \dfrac{1}{x}, y = \dfrac{1}{y}$, như vậy có $a+b+ab=3$, cần tìm min:
$H = \dfrac{3a}{1+b} + \dfrac{3b}{1+a} -\left(a^2+b^2+\dfrac{ab}{a+b}\right)$

Nên đặt tiếp vì giả thiết vẫn chưa thực sự gọn :delta.
Đặt $x = a+1, y = b+1$ ( x,y, ở đây khác trên nha) thì $xy = 4$, cần tìm min:

$H = \dfrac{3x-3}{y} + \dfrac{3y-3}{y} - \left(x^2-2x+1+y^2-2y+1+\dfrac{(x-1)(y-1)}{x+y-2}\right)$

Biến đổi tí với đặt t = x+y. ta có: ( chú ý xy = 4)

$H = -\dfrac{x^2+y^2}{4} + \dfrac{5(x+y)}{4}- \dfrac{5}{x+y-2} + \dfrac{x+y}{x+y-2} \\ \\ = \dfrac{8-t^2}{4} + \dfrac{5t}{4} - \dfrac{5}{t-2} + \dfrac{t}{t-2}$

$t = x+y \ge 2\sqrt{xy} = 4 \to t \in \left[4; +\infty \right)$

Đến đây ta cũng chỉ cần xét khảo hàm số là ok!

p/s: so với cái hàm số của dark templar thì hàm số này sẽ đơn giản khả quan hơn rất nhiều!

rongden_167





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh