Chủ đề này có 111 trả lời

[truclamyentu]

Một dạng khá lạ :


50/ $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\y\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.$

cùng chém nào

[truclamyentu]

Một dạng khá lạ :
50/ $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\y\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.$

cùng chém nào

Gợi ý : ứng dụng số phức , hãy để ý : mẫu thức giúp ta liên tưởng đến moderm của số phức

Đây là một phương pháp giải 1 số dạng hệ phương trình có nét đặc trưng riêng (khó có thể giải bằng đại số thông thường)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 21-06-2011 - 19:32

[h.vuong_pdl]

@@@@ truclamyentu: bạn xem bài này với các bài tuộc những dạng NÀY có gì khác nhau đâu.

Vì vây, mình nghĩ đại số không những khó giải mà còn cho ta những lời giải khá đẹp + gọn.

p/s: tuy nhiên, rất mong bạn chia sẽ những tư duy + pp + cách giải bằng pp số phức. Nghe khá mới lạ + thú vị.

[truclamyentu]

@@@@ truclamyentu: bạn xem bài này với các bài tuộc những dạng NÀY có gì khác nhau đâu.

Vì vây, mình nghĩ đại số không những khó giải mà còn cho ta những lời giải khá đẹp + gọn.

p/s: tuy nhiên, rất mong bạn chia sẽ những tư duy + pp + cách giải bằng pp số phức. Nghe khá mới lạ + thú vị.

Đây là một bài trong đề thi quốc gia của Việt Nam cách đây vài năm , cách giải đại số của nó đã được hungvuong_pdl

trình bày ở topic trên

Sau đây mình xin giới thiệu thêm 1 phương pháp giải khác : ứng dụng số phức

Đặt :

$\begin{array}{l}z = x + yi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} ;\dfrac{1}{z}=\dfrac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \dfrac{{x - yi}}{{{x^2} + {y^2}}}\\\\\left\{ \begin{array}{l}x\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\y\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\y\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)i = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}i\end{array} \right.\\\\\Rightarrow (x + yi) + \dfrac{{x - yi}}{{{x^2} + {y^2}}} =\dfrac{2}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}i \Rightarrow z + \dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} +\dfrac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}i\\\\\Rightarrow {z^2} - z\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}i} \right) + 1 = 0\end{array}$

Đến đây thì bài toán chỉ là giải pt bậc 2 trên tập số phức (quá đơn giản) .

Sau khi giải ra z , phần thực của z là x , còn phần ảo là y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 22-06-2011 - 19:37

[truclamyentu]

Tiếp tục với bài khá hay sau:


51/

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ab + {c^2}}}{{ab(a + b)}}.\dfrac{{bc + {a^2}}}{{bc(b + c)}}.\dfrac{{ca + {b^2}}}{{ca(c + a)}} = 1\\a + b + c = 3\\a,b,c > 0\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 22-06-2011 - 19:56

[NGOCTIEN_A1_DQH]

cho phép em thêm 1 bài nhé
52/ giải hpt:
$ \left\{\begin{array}{l}x^3-3x^2=3(y-x)+2 \\ y^3+3y^2=3(x-y)-6 \end{array}\right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 26-06-2011 - 17:57

[anhtuanDQH]

cho phép em thêm 1 bài nhé
giải hpt:
$ \left\{\begin{array}{l}x^3-3x^2=3(y-x)+2 \\ y^3+3y^2=3(x-y)-6 \end{array}\right. $

Hệ đã cho tương đương với :

$\left\{\begin{array}{l}(x-1)^3=3y+1(1)\\(y+1)^3=3x-5(2)\end{array}\right. $

$\ (1)-(2) \Leftrightarrow (x-1)^3+3(x-1)=(y+1)^3+3(y+1) $

Xét hàm số :

$\ f(t)=t^3+3t \Rightarrow f'(t)= 3t^2+3>0 \Rightarrow f(t) $ đồng biến nên $\ x-1=y+1 $

Tới đây ngon rồi bạn tự giải quyết nốt nhé .

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Hệ đã cho tương đương với :

$\left\{\begin{array}{l}(x-1)^3=3y+1(1)\\(y+1)^3=3x-5(2)\end{array}\right. $

$\ (1)-(2) \Leftrightarrow (x-1)^3+3(x-1)=(y+1)^3+3(y+1) $

Xét hàm số :

$\ f(t)=t^3+3t \Rightarrow f'(t)= 3t^2+3>0 \Rightarrow f(t) $ đồng biến nên $\ x-1=y+1 $

Tới đây ngon rồi bạn tự giải quyết nốt nhé .

công nhận cách này hay thật đấy, mình có 1 cách khác như sau:
đặt $ x=a+1, y=b-1 $ , sau vài bước biến đổi, hệ trở thành:
$ \left\{\begin{array}{l}a^3+2=3b \\ b^3+2=3a \end{array}\right.$
từ đây dễ dàng suy ra a=b=1 bằng cách trừ 2 vế 2 PT hoặc xét hàm số, từ đó thấy được nghiệm x=2, y=0
xong rồi

[NGOCTIEN_A1_DQH]

mọi người cùng tham gia vào chuyên đề này đi cho vui, dưới đây mình xin đưa thêm 1 bài hệ khá hay sau:
53/ giải hệ:

$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+(y-4)^2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}|x-2y-2|= 2\sqrt{5} \\ x \geq 2 \end{array}\right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 26-06-2011 - 17:57

[anhtuanDQH]

mọi người cùng tham gia vào chuyên đề này đi cho vui, dưới đây mình xin đưa thêm 1 bài hệ khá hay sau:
giải hệ:

$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+(y-4)^2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}|x-2y-2|= 2\sqrt{5} \\ x \geq 2 \end{array}\right. $

Mình sột câu này

$\sqrt{x^2+(y-4)^2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}|x-2y-2|= 2\sqrt{5} $

$\Leftrightarrow \sqrt{5} \sqrt{x^2+(y-4)^2} + |x-2y-2|=10 $

Mà :

Cauchy-schwarz

$\sqrt{5} \sqrt{x^2+(y-4)^2} =\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{x^2+(4-y)^2} \geq |x-2y+8| $

Lại có :

$\ |x-2y+8| + |-x+2y+2| \geq 10 =VP $

Xong. . .

[NGOCTIEN_A1_DQH]

chúng ta tiếp tục với 2 bài sau
giải hệ:
54/ $ \left\{\begin{array}{l}log_{5}x=log_3(\sqrt{y}+4) \\ log_{5}y=log_3(\sqrt{z}+4) \\ log_5z=log_3(\sqrt{x}+4) \end{array}\right. $

55/ GPT sau với $ x \geq 2 $

$ \sqrt[3]{\dfrac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}} = \sqrt{x+2011} $

p/s: bài 55 trông có vẻ cồng kềnh nhưng có cách giải rất hay đấy

[truclamyentu]

Vậy là chỉ còn 3 ngày nữa là thi đại học , có lẽ topic này sẽ dừng lại tại đây

Mình xin cảm ơn tất cả các bạn đã ủng hộ topic của mình

Supermember :

Chuyên đề này đã thành công ngoài sức tưởng tượng - Tuy số bài sát đề ĐH không thật nhiều nhưng không thể không giành lời khen cho mod truclamyentu trong việc quản lý và phát triển Topic này .

Tuy nhiên - nếu tiếp tục thì sẽ gây rối rắm trang thảo luận . Theo ý supermember ; chuyên đề này sẽ dừng

ở đây - năm sau sẽ tiếp tục với 1 chuyên đề tương tự . Mod truclamyentu sẽ tổng hợp lại khoảng 20 - 30 bài toán

hay từ Topic này - Phân loại theo cách giải ; edit thành 1 file PDF để tiện cho " hậu thế " dùng làm Tài liệu ôn thi .

Điều tương tự cũng sẽ xảy ra ở Chuyên đề 1 - sau khi đạt 1 số bài lớn hơn - có lẽ là khoảng 100

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 08-07-2011 - 15:35