Đến nội dung

Hình ảnh

Chuyên đề 1 - Bài Toán Đại số với tham số .

* * * * * 7 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 83 trả lời

#81
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Xét hàm $f(x)=x^{4}-2x^{3}+x$
$\rightarrow f'(x)=4x^{3}-6x^{2}+1$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2};x=\frac{1+\sqrt{3}}{2};x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
BBT

geogebra-export (11).png

Qua đó,suy ra

+) PT vô nghiệm khi  $m< \frac{-1}{4}$

+) PT có 2 nghiệm phân biệt khi $m=\frac{-1}{4}$ hoặc $m > \frac{5}{16}$

+) PT có 3 nghiệm phân biệt khi $m=\frac{5}{16}$

+) PT có 4 nghiệm phân biệt khi $\frac{-1}{4}< m< \frac{5}{16}$


Dư :unsure: Hấu   


#82
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Bài $39$ này lời giải của bạn Le Tuan Canhh ở trên là sai.

 

Đề bài là:

 

Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$

 

Bạn đang hiểu sai đề là: biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số $m$

 

Nên làm như trên không có điểm. :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 23-09-2022 - 22:41

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#83
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Bài 35(Chọn đội tuyển Tỉnh THPT Tây Thụy Anh-Thái Bình) Tìm $m$ để phương trình sau đây có nghiệm
$$\sqrt x + \sqrt {x - 4} - \sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 3} = m\sqrt {{x^2} + 9} $$

 

Bài này không sử dụng đạo hàm, mà nó phải dùng đến phương pháp so sánh cơ bản của hàm số đơn điệu:

 

Điều kiện: $ x \geq 4$

Ta viết lại phương trình dưới dạng tương đương:

 

$ \left( \sqrt{x} -  \sqrt{x -3} \right) - \left( \sqrt{x-1} -  \sqrt{x -4} \right) = m \sqrt{x^2+9}$

 

$ \Leftrightarrow \frac{x+3}{ \sqrt{x} +  \sqrt{x -3}} - \frac{x+3}{ \sqrt{x-1} +  \sqrt{x -4}} = m \sqrt{x^2+9}$

 

$  \Leftrightarrow  f(x) = \frac{x+3}{ \sqrt{x^2+9}} \cdot \left( \frac{1}{ \sqrt{x} +  \sqrt{x -3}} - \frac{1}{ \sqrt{x-1} +  \sqrt{x -4}}  \right)= m $

 

Rõ ràng bằng cảm quan, ta đã thấy ngay: 

 

Nhận xét 1: $ g(x) = \frac{1}{ \sqrt{x} +  \sqrt{x -3}} - \frac{1}{ \sqrt{x-1} +  \sqrt{x -4}}  <0$ với mọi $x \geq 4$ và khi $ x $ tiến dần ra $ + \infty$  thì $g(x)$ tiến dần đến $0$

 

Nhận xét 2: $ h(x) = \frac{x+3}{ \sqrt{x^2+9}} >1$  với mọi $x \geq 4$ và khi $ x $ tiến dần ra $ + \infty$  thì $h(x)$ tiến dần đến $1$

 

Nên bài toán sẽ được giải quyết nếu ta chỉ ra được: $g(x)$ đơn điệu tăng trên $ [4; + \infty )$; $h(x)$ đơn điệu giảm trên $ [4; + \infty )$  $(1)$

 

Khi đó ta thấy ngay rằng : tập hợp những giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán chính là đoạn $ [ f(4) ; 0)$ tức là  đoạn: $ \big[ \frac{1 - \sqrt{3}}{5} ; 0  \big) $

 

Giờ thì làm chân phương thôi, không màu mè gì đâu:

 

Giả sử $ 4 \leq x_1 <  x_2$ , ta đi chứng minh: $  \frac{1}{ \sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3}} - \frac{1}{ \sqrt{x_1-1} +  \sqrt{x_1 -4}} <  \frac{1}{ \sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3}} - \frac{1}{ \sqrt{x_2-1} +  \sqrt{x_2 -4}} $ $ \ (*)$

 

Thật vậy ; $(*)$ tương đương với:

 

$ \frac{1}{ \sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3}} - \frac{1}{ \sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3}}  < \frac{1}{ \sqrt{x_1-1} +  \sqrt{x_1 -4}} - \frac{1}{ \sqrt{x_2-1} +  \sqrt{x_2 -4}} $

 

$  \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2 -3} - \sqrt{x_1 -3}}{ (\sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3})(\sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3})} <  \frac{ \sqrt{x_2 -1 } - \sqrt{x_1 -1} + \sqrt{x_2 -4} - \sqrt{x_1 -4}}{ (\sqrt{x_1 -1} +  \sqrt{x_1 -4})(\sqrt{x_2 - 1} +  \sqrt{x_2 - 4})}$

 

$ \Leftrightarrow \frac{  \frac{x_2- x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} + \frac{x_2- x_1}{\sqrt{x_2 -3} + \sqrt{x_1 -3}}}{ (\sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3})(\sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3})} <  \frac{ \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2 -1 } + \sqrt{x_1 -1}} + \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2 -4} + \sqrt{x_1 -4}}}{ (\sqrt{x_1 -1} +  \sqrt{x_1 -4})(\sqrt{x_2 - 1} +  \sqrt{x_2 - 4})}$

 

$ \Leftrightarrow \frac{  \frac{1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} + \frac{1}{\sqrt{x_2 -3} + \sqrt{x_1 -3}}}{ (\sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3})(\sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3})} <  \frac{ \frac{1}{\sqrt{x_2 -1 } + \sqrt{x_1 -1}} + \frac{1}{\sqrt{x_2 -4} + \sqrt{x_1 -4}}}{ (\sqrt{x_1 -1} +  \sqrt{x_1 -4})(\sqrt{x_2 - 1} +  \sqrt{x_2 - 4})}$

 

Bất đẳng thức sau cùng là  đúng, vì rõ ràng: $  \sqrt{x_2} + \sqrt{x_1} > \sqrt{x_2 -1 } + \sqrt{x_1 -1} > 0 ; \sqrt{x_2 -3} + \sqrt{x_1 -3} >  \sqrt{x_2 -4} + \sqrt{x_1 -4}  > 0 $  

 

Suy ra: $  0< \frac{1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} + \frac{1}{\sqrt{x_2 -3} + \sqrt{x_1 -3}} <  \frac{1}{\sqrt{x_2 -1 } + \sqrt{x_1 -1}} + \frac{1}{\sqrt{x_2 -4} + \sqrt{x_1 -4}} ; (\sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3})(\sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3}) >  (\sqrt{x_1 -1} +  \sqrt{x_1 -4})(\sqrt{x_2 - 1} +  \sqrt{x_2 - 4}) >0$

 

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, do đó $(*)$ đúng, và $g(x)$ theo đó là hàm đơn điệu tăng trên $ [4; + \infty )$

 

Giả sử $ 4 \leq x_1 < x_2$ , ta đi chứng minh: $  \frac{x_1 +3 }{ \sqrt{x^2_1 +  9}} >  \frac{x_2 +3 }{ \sqrt{x^2_2 +  9}} $ $ \ (**)$

 

$  \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{x^2_1 +  9}}{x_1 +3 } < \frac{ \sqrt{x^2_2 +  9}}{x_2 +3 }   \Leftrightarrow   \frac{ x^2_1 +  9}{x^2_1 +6x_1 +9 }   < \frac{ x^2_2 +  9}{x^2_2 +6x_2 +9 }$

 

$    \Leftrightarrow  ( x^2_1 +  9) ( x^2_2 +6x_2 +9) < ( x^2_2 +  9) (x^2_1 +6x_1 +9)$

$    \Leftrightarrow 6 x_1 x_2 (x_2 - x_1) + 54 (x_1 - x_2) >0$

$    \Leftrightarrow (x_2 - x_1)\left( 6 x_1 x_2  - 54 \right) >0$

 

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, do $   4 \leq x_1 < x_2 \implies 6 x_1 x_2  > 6 .9 = 54 \implies 6 x_1 x_2  - 54 >0 $

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, do đó $(**)$ đúng, và $h(x)$ theo đó là hàm đơn điệu giảm trên $ [4; + \infty )$

 

Từ các nhận xét & chứng minh trên, ta thấy $(1)$ đúng, Suy ra: giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên  $ [4; + \infty )$ đạt được tại $x =4$, tương ứng $ f(4) = \frac{1 - \sqrt{3}}{5}$

$f(x)$ lại là hàm sơ cấp , xác định trên $ [4; + \infty )$, nên liên tục trên $ [4; + \infty )$, ngoài ra $f(x)$ đơn điệu tăng trên $ [4; + \infty )$ với $ \lim_{ x \to + \infty} f(x) = 0$

 

Nên tập giá trị của $f(x)$ trên $ [4; + \infty )$ sẽ là đoạn: $ \big[ \frac{1 - \sqrt{3}}{5} ; 0  \big) $, đây cũng chính là tập những giá trị tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Và bài toán theo đó đã được giải quyết hoàn toàn.

 

Lưu ý: Để chứng minh $f(x)$ là hàm đơn điệu tăng một cách chặt chẽ hơn nữa thì có thể làm như sau:

 

Với  mọi $x_1; x_2$ thỏa $   4 \leq x_1 < x_2$ thì $ f(x_1) - f(x_2) = g(x_1)h(x_1) - g(x_2)h(x_2) =  g(x_1)h(x_1) - g(x_1)h(x_2) + g(x_1)h(x_2)- g(x_2)h(x_2) = g(x_1) \cdot \left( h(x_1)-h(x_2)\right) + h(x_2) \cdot \left( g(x_1)-g(x_2) \right) <0 \implies f(x_1) < f(x_2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 26-09-2022 - 21:34

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#84
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Bài 40. Tìm tất cá các giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình: $$\begin{cases}\sqrt{2\left({x+y+1}\right)}+2xy-x-y+2=x^2y+y^2x+\sqrt{x+y}\\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+2\sqrt{xy}=m \end{cases}$$ có nghiệm.
 

 

Có bạn nào biết nguồn bài này từ đâu không? Bài này unsolved lâu rồi nên supermember muốn biết chắc chắn đây là bài toán đúng đề.


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh