Đểcho bất đẳng thức không bị phân tán đi quá nhiều topic mình post lời giải bài toán của Toàn tại đây và coi như bài 31Thấy BĐT này nhìn cũng "bắt mắt", đưa lên mọi người xem (dạo này bên box BĐT vắng quá)
Bài 31$a,b,c>0$. Chứng minh rằng$\sqrt[3]{\dfrac{a^2+bc}{b^2+c^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{b^2+ac}{a^2+c^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{c^2+ba}{b^2+a^2}} \ge \dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}$
P/s: Ai đã biết lời giải có sẵn xin đừng post lên, hãy để người khác suy nghĩ.
Giải
Bất đẳng thức tương đương
$\sum {\dfrac{{{a^2} + bc}}{{\sqrt[3]{{abc({a^2} + bc)({b^2} + {c^2})}}}}} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}$
Sử dụng AM GM ta có
$\sum {\dfrac{{{a^2} + bc}}{{\sqrt[3]{{abc({a^2} + bc)({b^2} + {c^2})}}}}} \ge \dfrac{{3({a^2} + bc)}}{{\sum\limits_{sym} {{a^2}b} }}$
Vậy ta phải chứng minh
$\dfrac{{3({a^2} + bc)}}{{\sum\limits_{sym} {{a^2}b} }} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}} \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge \sum\limits_{sym} {{a^2}b} $