Chủ đề này có 1 trả lời

[Catalunya]

Với n là số tự nhiên, chung minh đẳng thức:
$C^0_{n}+2C^1_{n}+3C^2_{n}+4C^3_{n}+...+nC^{n-1}_{n}+(n+1)C^{n}_{n}=(n+2)2^{n-1}$

2/ Tìm số hạng chứa x^2 trong khai triển $P=(\dfrac{1}{x}-x^2+x^3)^{n}$. Biết n là số tự nhiên thỏa mãn $C^{n-6}_{n-4}+nA^2_{n}=454$



cảm ơn

[Bác Ba Phi]

Với n là số tự nhiên, chung minh đẳng thức:
$C^0_{n}+2C^1_{n}+3C^2_{n}+4C^3_{n}+...+nC^{n-1}_{n}+(n+1)C^{n}_{n}=(n+2)2^{n-1}$

Ta có khai triển: $(1+x)^{n}=C^0_{n}+C^1_{n}x+C^2_{n}x^2+C^3_{n}x^3+... +C^{n}_{n}x^{n}$

$ \Rightarrow $ $x(1+x)^{n}=C^0_{n}x+C^1_{n}x^2+C^2_{n}x^3+C^3_{n}x^4+... + C^{n}_{n}x^{n+1}$. Lấy đạo hàm hai vế này, ta đc:

$(1+x)^{n}+x.n(1+x)^{n-1}=C^0_{n}+2C^1_{n}x+3C^2_{n}x^2+...+(n+1)C^{n}_{n}x^{n}$. Chọn $x=1$ ta đc:

$2^{n}+n2^{n-1}=C^0_{n}+2C^1_{n}+3C^2_{n}+(n+1)C^n_{n}$
Dọn dẹp vế trái thu được $(n+2)2^{n-1}$ (bạn tự tính nhé ) (...)(...) $ \Rightarrow$ Đpcm.