Chủ đề này có 8 trả lời

[vinhspiderman]

Mời các bạn giải bài toán này (khi post lên tôi vẫn chưa tìm ra lời giải) :

Bài toán : Xét vành R=C[0,1] là vành giao hoán tất cả các hàm thực liên tục trên [0,1] . Chứng minh rằng trong R , ideal {0} là không phân tích được .

Chú thích :
1) Ta kí hiệu A*B tức là A giao B . Một ideal I gọi là không phân tích được nếu nó là ideal thực sự (tức là khác R) và không thể biểu diễn được dưới dạng :
I=Q1*Q2*...*Qn trong đó n>=2 và Qi là các ideal sơ cấp .

2) Một ideal I được gọi là sơ cấp nếu với mọi a,b thuộc R thỏa ab thuộc I thì kéo theo a thuộc I hoặc b thuộc radical(I)

3) Cho I là một ideal , ta định nghĩa radical(I)={a thuộc R | tồn tại m để a^m thuộc I} .

[Kakalotta]

Hiển nhiên bởi vì nó là ideal tối đại.

[noproof]

Hiển nhiên bởi vì nó là ideal tối đại.

Ơ, sao nó (iđêan {0}) lại là tối đại trong R nhỉ?

[vinhspiderman]

Hiển nhiên bởi vì nó là ideal tối đại.

Bác kaka hôm nay bị sao ấy (có lẽ ốm , hê hê), chắc là pót được 200 pót nên "lẫn" mất rồi !

Vì C[0,1] là một vành mà không phải là một trường nên nếu chọn f thuộc C[0,1] không khả nghịch (chẳng hạn f(x)=x) thì ta có {0} là ideal con thực sự của (f) và (f) là ideal con thực sự của C[0,1] . Do đó {0} không thể là tối đại .

(trong một vành giao hoán R , ideal {0} là tối đại khi và chỉ khi R là một trường)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 11-08-2005 - 20:26

[prime]

:không biết có đi dến lời giải dược không( vì mình vừa đọc đề nhưng cảm thấy có thể giải được nên thử viết ra, có thể có nhiều chỗ hơi xa với chứng minh và ko cần thiết)

1) giải sử (0) là có phân tích nguyên sơ (tối tiểu)
0=Q1*Q2*...*Qn ở đó Qi là Pi-nguyên sơ
theo định lí về sự phân tích duy nhất tồn tại các hàm liên tục Fi sao cho
r(0:Fi)=Pi
gọi Ai là tập các điểm Fi nhận giá trị 0 Bi là phần còn lại khi đó
f :in 0:Fi là các hàm liên tục trên [0;1] nhân giá trị 0 tại Bi còn tại các điểm trong Ai nhận thực có thể khác 0. (1)

f :in Pi thì tồn tại n để :in 0:Fi nên f nhận giá trị 0 tại các điểm trong Bi nên f cũng thỏa mãn (1) và 0:Fi=r(0:Fi)=Pi là iđêan nguyên tố

2) chứng minh Bi chỉ là tập 1 điểm
giải sử ngựoc lại lấy 2 điểm a, b phân biệt trong Bi (Fi khac 0 tại các điểm này) nên hàm f :in Pi phải nhận giái trị 0 tại a,b và điều này mâu thuẫn với tính nguyên tố của Pi
thật vậy f,g là 2 hàm liên tục lần lượt nhận giá trị 0 ở các điểm nằm trong Bi/{a}, Bi/{b} các điểm còn lại bất kì nhưng phải khác 0 tại a, b ( chỗ này cần giải thich sự tồn tại các hàm rõ ràng nhưng chắc là đúng)thì f,g :notin Pi nhưng fg :in Pi trái vơi tính nguyên tố của Pi
Vậy Bi chỉ là 1 điểm
Mâu thuẫn với tính liên tục của Fi (không thể khác 0 tại 1 điểm)

Vậy ta có giả sự là sai :Rightarrow Đpcm

[vinhspiderman]

Cám ơn prime , lời giải của bạn chính xác rồi .

Tổng quát hơn một tí của bài toán này , có thể thay C[0,1] bởi không gian các hàm nhận giá trị thực trên một không gian Haussdorff compact nào đó . Đấy cũng là một đề bài tập trong cuốn "Intro. to C.A." của Atiyah-McDonald .

Thay anh Kaka : anh Kaka có một "tiên đề" (hay là mệnh đề chưa kiểm tra rõ tính đúng đắn) là không viết quá con số 200 . Do đó spiderman giải thích "hộ" anh Kaka . Anh Kaka đã hiểu nhầm kí hiệu {0} là ideal các hàm triệt tiêu tại diểm 0 .
@ anh Kaka : Thật ra vẫn có cách để anh có thể post lên vô tư bài nữa mà không làm mất con số đẹp 200 vì 200=(200-1)+1 ! Nhưng như vậy thì tương lai ăn mòn quá khứ mất . Hê hê .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 12-08-2005 - 22:23

[noproof]

thật vậy f,g là 2 hàm liên tục lần lượt nhận giá trị 0 ở các điểm nằm trong Bi/{a}, Bi/{b} các điểm còn lại bất kì nhưng phải khác 0 tại a, b ( chỗ này cần giải thich sự tồn tại các hàm rõ ràng nhưng chắc là đúng)thì f,g Pi nhưng fg Pi trái vơi tính nguyên tố của Pi

Có lẽ chỗ này cần làm chính xác hơn.

Tổng quát hơn một tí của bài toán này , có thể thay C[0,1] bởi không gian các hàm nhận giá trị thực trên một không gian Haussdorff compact nào đó . Đấy cũng là một đề bài tập trong cuốn "Intro. to C.A." của Atiyah-McDonald .

Lấy ví dụ X tập 2 điểm với tô pô rởi rạc. Khi đó X là Haussdorff, compact. Vành giao hoán các hàm (liên tục) trên X nhận giá trị thực đẳng cấu với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 với phép cộng và nhân theo từng tọa độ. Đặt , TeX]Q_2=\{(0,a): a\in R\}$, khi đó là các iđêan nguyên tố (nói riêng nguyên sơ) và có phân tích , thế là sao nhỉ?

[vinhspiderman]

Cam on noproof . Minh da nham , dieu kien phai them mot ti do la khong gian
C[0,1] phai thay bang khong gian Haussdorff compact va vo han .

@ noproof : co le bua nay em nen goi noproof la bac , hinh nhu bac khong con la sinh vien nua (sinh vien ma gioi the ah ?) ! He he .

[prime]

Bi là tập các điểm nhận giá trị khác 0 nên là tập mở.
Lấy 2 điểm a,b sao cho [a,b] nằm trrong Bi
Ta lấy ví dụ như sau (để tiện coi a=-1,b=1)
f :=0 trên [-1;0] ,=x trên [0;1] phần còn lại là mở rộng bảo đảm tính liên tục ,=0
g :=x trên [-1;0] ,=0 trên [0;1] phần còn lại là mở rộng bảo đảm tính liên tục ,=0
fg=0 / [0;1]