Bài 4:
$\sqrt {\dfrac{{x^3 }}{{x^3 + 8y^3 }}} = \dfrac{{x^2 }}{{\sqrt {x\left( {x + 2y} \right)\left( {x^2 - 2xy + 4y^2 } \right)} }}$
$ = \dfrac{{x^2 }}{{\sqrt {\left( {x^2 + 2xy} \right)\left( {x^2 - 2xy + 4y^2 } \right)} }} \geqslant \dfrac{{x^2 }}{{\dfrac{{x^2 + 2xy + x^2 - 2xy + 4y^2 }}{2}}} = \dfrac{{x^2 }}{{x^2 + 2y^2 }}$
$\sqrt {\dfrac{{4y^3 }}{{y^3 + \left( {x + y} \right)^3 }}} = \dfrac{{2y^2 }}{{\sqrt {y\left( {x + 2y} \right)\left( {x^2 + xy + y^2 } \right)} }} = \dfrac{{2y^2 }}{{\sqrt {\left( {xy + 2y^2 } \right)\left( {x^2 + xy + y^2 } \right)} }}$
$ \geqslant \dfrac{{2y^2 }}{{\dfrac{{xy + 2y^2 + x^2 + xy + y^2 }}{2}}} = \dfrac{{2y^2 }}{{y^2 + xy + \dfrac{{x^2 + y^2 }}{2}}} \geqslant \dfrac{{2y^2 }}{{y^2 + \dfrac{{x^2 + y^2 }}{2} + \dfrac{{x^2 + y^2 }}{2}}} = \dfrac{{2y^2 }}{{x^2 + 2y^2 }}$
$\Rightarrow P \geq \dfrac{x^2}{x^2+2y^2}+\dfrac{2y^2}{x^2+2y^2}=1 \Rightarrow minP=1 \Leftrightarrow x=y>0$
===========================
Bài 2:
a) Nhận xét: Lũy thừa bậc 4 một số nguyên chia 8 dư 0 hoặc 1.
Áp dụng nhận xét trên, thấy được vế trái chia 8 dư 0;1 hoặc 2.
Trong khi vế phải chia 8 dư 4 hoặc 5.
Nên ta có đpcm.
b)$\left( {x + 1} \right)^4 - \left( {x - 1} \right)^4 = y^3 \Leftrightarrow 8\left( {x^3 + x} \right) = y^3 $
$\Rightarrow y^3 \vdots 2 \Rightarrow y^3=8k^3(k \in \mathsub{Z})$
$\Rightarrow x^3+x=k^3$
Xét 2 th x>0;x<0 thì $x^3+x$ đều không là lập phương một số nguyên.
Xét x=0 thì k=0 nên y=0.
Vậy (x=0;y=0) là nghiệm pt đã cho.
========================
Bài 1:
$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \left( {x - 1} \right)y^2 + x + y = 3 \hfill \\ \left( {y - 2} \right)x^2 + y = x + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {x - 1} \right)y^2 + x - 1 = 2 - y \hfill \\ \left( {y - 2} \right)x^2 + y - 2 = x - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {x - 1} \right)\left( {y^2 + 1} \right) = 2 - y \hfill \\ \left( {y - 2} \right)\left( {x^2 + 1} \right) = x - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {y^2 + 1} \right)\left( {x^2 + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2 - y} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right)\left[ {\left( {y^2 + 1} \right)\left( {x^2 + 1} \right) + 1} \right] = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \Leftrightarrow y = 2 \hfill \\ y = 2 \Leftrightarrow x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right) \hfill \\ \end{gathered} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-06-2011 - 21:38
bổ sung
