Đến nội dung

Hình ảnh

1 bài BĐT hay


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

Bình chọn: khó hay dễ

Câu BĐT này khó hay dễ

Bạn không thể xem kết quả cho đến khi bạn tham gia bình chọn. Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để tham gia bình chọn và xem kết quả.
Bình chọn Khách không thể bình chọn

#1
nguyenphu.manh

nguyenphu.manh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3,a,b,c$ thuộc R.
Tìm max của:
$P=a+b+c-abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenphu.manh: 12-06-2011 - 19:54

SLNA vô đối_pro


http://nghiloc2.forumvi.com

#2
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Cách 1 :

giả sử :

${a^2} = m{\rm{ax}}\{ {a^2};{b^2};{c^2}{\rm{\} }} \Rightarrow {a^2} \ge \dfrac{2}{3}$

với : $a \le - \sqrt {\dfrac{2}{3}} $ ta có :

$\begin{array}{l}bc \le \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} \le 1;b + c \le \left| {b + c} \right| \le \sqrt {2({b^2} + {c^2})} = 2\\\\\Rightarrow a(1 - bc) + b + c - 2 \le 0 \Leftrightarrow a + b + c - abc \le 2\end{array}$

với :$a \ge \sqrt {\dfrac{2}{3}} $ ta có :

$P - 2 = - \dfrac{a}{2}{(b + c)^2} + (b + c) - \dfrac{{{a^3}}}{2} + 2a - 2$

xem như là một tam thức bậc 2 với ẩn x=b+c

ta có :

$\Delta = 1 - a({a^3} - 4a + 4) = - (a - 1)({a^2} + 2a - 1) \le 0\forall a \ge \sqrt {\dfrac{2}{3}} $

từ đó suy ra P-2 :D 0 :Rightarrow P :D 2

dấu '=' khi 2 số =1 , một số bằng 0

Cách 2 : dồn biến ..........

Hình như nhầm rùi. Dấu ''='' xảy ra không thỏa $ a^2+b^2+c^2=3 $

@@@truclamyentu: mình chỉnh lại bài giải rùi , cậu kiểm tra lại giùm :Rightarrow

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 13-06-2011 - 14:50

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#3
nguyenphu.manh

nguyenphu.manh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
Cách này cũng sai rồi,khi 2 số =1,1 số =0 thì sao thoả $ a^2+b^2+c^2=3 $ được???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenphu.manh: 13-06-2011 - 12:29

SLNA vô đối_pro


http://nghiloc2.forumvi.com

#4
nguyenphu.manh

nguyenphu.manh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3,a,b,c$ thuộc R.
Tìm max của:
$P=a+b+c-abc$

Bài này thì dấu = chắc là quan trọng nhất.đến giờ mình vẵn chưa tìm được dấu =???
SLNA vô đối_pro


http://nghiloc2.forumvi.com

#5
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài này thì dấu = chắc là quan trọng nhất.đến giờ mình vẵn chưa tìm được dấu =???

Bạn có chắc là $a^2+b^2+c^2=3$ không ?
P/s: Dấu bằng xảy ra tại biên:1 biến bằng 0,2 biến còn lại bằng nhau :D
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#6
nguyenphu.manh

nguyenphu.manh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

Bạn có chắc là $a^2+b^2+c^2=3$ không ?
P/s: Dấu bằng xảy ra tại biên:1 biến bằng 0,2 biến còn lại bằng nhau :)

Bạn hãy giải ra để mọi người cùng xem được không????
SLNA vô đối_pro


http://nghiloc2.forumvi.com

#7
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Đây là lời giải cho trường hợp mà $a^2+b^2+c^2=2$(chứ $a^2+b^2+c^2=3$ thì mình nghĩ tốt nhất quăng về p,q,r mà giải-vẫn chỉ là ý tưởng thôi nhé :))
Xét 1 trong 3 số $a,b,c$ có 1 số âm,giả sử đó là $a$.Khi đó,ta có:
$2+abc-a-b-c=(2-b-c)-a(1-bc) \ge 0$
Vì theo BĐT Cauchy-Schwarzt+AM-GM,ta có:$b+c \le \sqrt{2(b^2+c^2)} \le 2$ và $bc \le \dfrac{b^2+c^2}{2} \le 1$
Vậy không mất tính tổng quát,ta xét $0<a \le b \le c $
Xét $c \le 1$:Khi đó:$2+abc-a-b-c=(1-c)(1-ab)+(1-a)(1-b) \ge 0$
Xét $c>1$
Ta có $c+(a+b) \le \sqrt{2[c^2+(a+b)^2]}=2\sqrt{1+ab} \le 2+ab<2+xyz$
Như vậy ta có :$a+b+c-abc \le 2$
Vậy $P_{\max}=2 \Leftrightarrow a=0;b=c=1$ hoặc các hoán vị tương ứng :sqrt{a}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 15-06-2011 - 17:20

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#8
nguyenphu.manh

nguyenphu.manh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

Bạn có chắc là $a^2+b^2+c^2=3$ không ?
P/s: Dấu bằng xảy ra tại biên:1 biến bằng 0,2 biến còn lại bằng nhau :lol:

Cái này đúng đề mà bạn,mà sao bạn tìm được ''dấu bằng xảy ra tại biên:1 biến bằng 0,2 biến còn lại bằng nhau'',bạn có thể chỉ dùm cách tìm được không???
SLNA vô đối_pro


http://nghiloc2.forumvi.com

#9
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Cái này đúng đề mà bạn,mà sao bạn tìm được ''dấu bằng xảy ra tại biên:1 biến bằng 0,2 biến còn lại bằng nhau'',bạn có thể chỉ dùm cách tìm được không???

Thật ra đối với mấy bài dạng này thường thì không xảy ra dấu bằng tại tâm mà lại xảy ra ở biên,như mình đã nói ở trên.
(thật ra do cái điều kiện $a,b,c \ge 0$ làm mình nghi ngờ :lol: )
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#10
nguyenphu.manh

nguyenphu.manh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

Thật ra đối với mấy bài dạng này thường thì không xảy ra dấu bằng tại tâm mà lại xảy ra ở biên,như mình đã nói ở trên.
(thật ra do cái điều kiện $a,b,c \ge 0$ làm mình nghi ngờ :( )


Thế mọi người chưa có lời gjaỉ à????
Mình thấy bài này đúng là rất khó,mọi người có ý kiến gì thì cứ nói ra để chúng ta cùng thảo luận nha!!
SLNA vô đối_pro


http://nghiloc2.forumvi.com

#11
Messi_ndt

Messi_ndt

    Admin batdangthuc.com

  • Thành viên
  • 679 Bài viết

Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3,a,b,c$ thuộc R.
Tìm max của:
$P=a+b+c-abc$


Ta có $P^2=(a+b+c-abc)^2=[a(1-bc)+b+c]^2\leq (a^2+b^2+c^2)[(1-bc)^2+2]=3(b^2c^2-2bc+3.$
$ f(t)=3(t^2-2t+3 $ với $ t\in [-3/2;3/2]$
Nêu $f(t)\leq f(\dfrac{-3}{2}})=\dfrac{33}{4}.$

Hic, đẳng thức không xảy ra rồi.

#12
nguyenphu.manh

nguyenphu.manh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

Ta có $P^2=(a+b+c-abc)^2=[a(1-bc)+b+c]^2\leq (a^2+b^2+c^2)[(1-bc)^2+2]=3(b^2c^2-2bc+3.$
$ f(t)=3(t^2-2t+3 $ với $ t\in [-3/2;3/2]$
Nêu $f(t)\leq f(\dfrac{-3}{2}})=\dfrac{33}{4}.$

Hic, đẳng thức không xảy ra rồi.


Cách giải của anh thì hay nhưng khổ nỗi là lại không có dấu bằng,bực thiệt!!!
SLNA vô đối_pro


http://nghiloc2.forumvi.com

#13
lipboy9x

lipboy9x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
max ko phải = căn 6 đâu.khi cho a=0,1. 2 số còn lại bằng nhau thì P>căn 6
mình nghĩ bạn nguyenphu.manh sai đề.phải là a^2+b^2+c^2=2 mới đúng

#14
nguyenphu.manh

nguyenphu.manh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

max ko phải = căn 6 đâu.khi cho a=0,1. 2 số còn lại bằng nhau thì P>căn 6
mình nghĩ bạn nguyenphu.manh sai đề.phải là a^2+b^2+c^2=2 mới đúng


Mình đã xem đề lại rồi mà bạn,không sai được đâu
SLNA vô đối_pro


http://nghiloc2.forumvi.com




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh