Chủ đề này có 11 trả lời

[bizizitet]

1/ Tìm tất cả số n thuộc N để P(x)= $ (x+1)^n - x^n -1 $ chia hết cho Q(x) = $ x^2+x+1 $
2/ Tìm thương của phép chia đa thức P(x)= $ (x-2)^{2n} - (x-1)^n -1 $ cho Q(x)= $ x^2-3x+2 $.
3/ Tìm a,b để P(x) = $ax^{n+1} + bx^n +1 $ chia hết cho $(x-1)^2$ và tìm thương của phép chia đó.
4/ Cho pt $x^3 -xy^2 +y^3 =n $ . Cmr nếu tồn tại n là số tự nhiên khác 0 sao cho pt có nghiệm thì pt đó có ít nhất 3 nghiệm.
5/Tìm tất cả các đa thức khác đa thức 0 thỏa mãn:
a/ $ P(x^2-2x) \equiv P^2(x-a) $
b/ $ P(x).P(y) \equiv P^2( \dfrac{x+y}{2}) - P^2( \dfrac{x-y}{2}) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bizizitet: 13-06-2011 - 17:08

[phuonganh_lms]

5/Tìm tất cả các đa thức khác đa thức 0 thỏa mãn:
b/ $ P(x).P(y) \equiv P^2( \dfrac{x+y}{2}) - P^2( \dfrac{x-y}{2}) $

bạn có quyển Toán nâng cao cho học sinh Đại số 10 của thầy Khải ko?
bài này có trong cuốn đó, nhưg mà mình cũng chưa hiểu lắm, nếu ko có thì pm để mình post lên cho.

[caubeyeutoan2302]

Mình nghĩ bài 4 như thế này $x^3 -3xy^2+y^3=n$ mới đúng chứ bạn . Ta có
$ x^3 -3xy^2 +y^3=(y-x)^3-3(y-x)x^2+(-x)^3=(-y)^3-3(-y)(x-y)^2+(x-y)^2$
Từ đó nếu (x;y) là nghiệm thì (y-x;-x) và (-y;x-y) cũng là nghiệm và phân biệt vì khi ngược lại thì x=y=0 , và ta có n=0 (loại )
Như thế nếu tồn tại n là số tự nhiên và n khác 0 sao cho PT có nghiệm thì PT có ít nhất 3 nghiệm

[bizizitet]

quyển đó mình ko có bạn post lên thử. mấy bài tìm thương mình ko làm dc có ai có pp giải ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bizizitet: 14-06-2011 - 08:22

[Nguyễn Hoàng Lâm]

1/ Tìm tất cả số n thuộc N để P(x)= $ (x+1)^n - x^n -1 $ chia hết cho Q(x) = $ x^2+x+1 $
2/ Tìm thương của phép chia đa thức P(x)= $ (x-2)^{2n} - (x-1)^n -1 $ cho Q(x)= $ x^2-3x+2 $.
3/ Tìm a,b để P(x) = $ax^{n+1} + bx^n +1 $ chia hết cho $(x-1)^2$ và tìm thương của phép chia đó.
4/ Cho pt $x^3 -xy^2 +y^3 =n $ . Cmr nếu tồn tại n là số tự nhiên khác 0 sao cho pt có nghiệm thì pt đó có ít nhất 3 nghiệm.
5/Tìm tất cả các đa thức khác đa thức 0 thỏa mãn:
a/ $ P(x^2-2x) \equiv P^2(x-a) $
b/ $ P(x).P(y) \equiv P^2( \dfrac{x+y}{2}) - P^2( \dfrac{x-y}{2}) $

Bài 3:
giả sử $ P(x) $ chia cho $ (x-1) $, $ (x-1)^2 $ được thương lần lượt là $ f_2(x), f_3(x) $ và dư$ R_2, R_3 $
Khi đó ta có : $ P(x) =(x-1)f_2(x)+R_2 \leftrightarrow P(x)=(x-1)[(x-1)f_3(x) + R_3]+R_2 $
$ P(x)=(x-1)^2f_3(x)+(R_2-R_3)+R_3x$

Do đó dư của phép chia là $ (R_2-R_3)+R_3x $
Vậy để P(x)chia hết cho $ (x-1)^2 $ Thì $ (R_2-R_3)+R_3x=0 \forall x \in R \leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}{R_3=0}\\{R_2-R_3=0}\end{array}\right. \leftrightarrow R_2=R_3=0$
dùng Horner ta tính được $ R_2=a+b+1 ; R_3 =a+n(a+b) $
Dẫn đến $ \left\{\begin{array}{l}{R_2=a+b+1=0 }\\{R_3=a+n(a+b)=0}\end{array}\right. $
$ \leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}{a=n}\\{b=-(1+n)}\end{array}\right. $

[bizizitet]

Còn thương tìm sao zậy.

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Còn thương tìm sao zậy.

Bạn thay giá trị cần tìm vào rùi dùng Horner chia là ra ngay .
Bài 2:
Ta có : $ Q(x)= x^2-3x+2=(x-1)(x-2) $
$ P(x)=(x-2)^{2n}-(x-1)^n-1=[(2-x)^{2n}-1]-(x-1)^n $
$ \leftrightarrow P(x)=(1-x)[(2-x)^{2n-1} + (2-x)^{2n-1}+...+1]-(x-1)^n$
$ \leftrightarrow P(x)=(x-1)[ -(x-1)^{n-1}-(2-x)^{2n-1}-...-1 ] $
Đặt $ f(x)=-(x-1)^{n-1}-(2-x)^{2n-1}-...-1 $
Ta tìm lượng dư của $ f(x) $ khi chia cho $ (x-2) $bằng cách đơn giản là tính :
$ f(2)= -2 $
Đên đây ta tìm thương của $ f(x) $ khi chia cho $ (x-2)$ với dư là -2 :
Gọi đa thức thương cần tìm là $ B(x) $ ta có:
$ B(x) =\dfrac{ f(x) +2}{x-2} $

$ \leftrightarrow B(x) = \dfrac{1-(x-1)^{n-1}-(2-x)^{2n-1}-...-(2-x)}{x-2} $

$ \leftrightarrow B(x)= \dfrac{(2-x)[(x-1)^{n-2}+(x-1)^{n-3}+...+1]-(2-x)^{2n-1}-...-(2-x)}{x-2}$

$ \leftrightarrow B(x)=\dfrac{(2-x)[(x-1)^{n-2}+...+1-(2-x)^{2n-2}-...-1]}{x-2} $

$ \leftrightarrow B(x)=(2-x)^{2n-2}+...+(2-x)-(x-1)^{n-2}-...-(x-1) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 15-06-2011 - 15:51

[bizizitet]

Bác thiếu số 2 oy ở 2n ak. Phải như thế này chứ:

Ta có : $ Q(x)= x^2-3x+2=(x-1)(x-2) $
$ P(x)=(x-2)^{2n}-(x-1)^n-1=[(2-x)^{2n}-1]-(x-1)^n $
$ \leftrightarrow P(x)=(1-x)[(2-x)^{2n-1} + (2-x)^{2n-1}+...+1]-(x-1)^n$
$ \leftrightarrow P(x)=(x-1)[ -(x-1)^{n-1}-(2-x)^{2n-1}-...-1 ] $
Đặt $ f(x)=-(x-1)^{n-1}-(2-x)^{2n-1}-...-1 $
Ta tìm lượng dư của $ f(x) $ khi chia cho $ (x-2) $bằng cách đơn giản là tính :
$ f(2)= -2 $
Đên đây ta tìm thương của $ f(x) $ khi chia cho $ (x-2)$ với dư là -2 :
Gọi đa thức thương cần tìm là $ B(x) $ ta có:
$ B(x) =\dfrac{ f(x) +2}{x-2} $

$ \leftrightarrow B(x) = \dfrac{1-(x-1)^{n-1}-(2-x)^{2n-1}-...-(2-x)}{x-2} $

$ \leftrightarrow B(x)= \dfrac{(2-x)[(x-1)^{n-2}+(x-1)^{n-3}+...+1]-(2-x)^{2n-1}-...-(2-x)]}{x-2}$

$ \leftrightarrow B(x)=\dfrac{(2-x)[(x-1)^{n-2}+...+1-(2-x)^{2n-2}-...-1]}{x-2} $

$ \leftrightarrow B(x)=[(2-x)^{2n-2}-(x-1)^{n-2}]+[(2-x)^{2n-3}-(x-1)^{n-3}]+...(3-x) $

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bác thiếu số 2 oy ở 2n ak. Phải như thế này chứ:

Ta có : $ Q(x)= x^2-3x+2=(x-1)(x-2) $
$ P(x)=(x-2)^{2n}-(x-1)^n-1=[(2-x)^{2n}-1]-(x-1)^n $
$ \leftrightarrow P(x)=(1-x)[(2-x)^{2n-1} + (2-x)^{2n-1}+...+1]-(x-1)^n$
$ \leftrightarrow P(x)=(x-1)[ -(x-1)^{n-1}-(2-x)^{2n-1}-...-1 ] $
Đặt $ f(x)=-(x-1)^{n-1}-(2-x)^{2n-1}-...-1 $
Ta tìm lượng dư của $ f(x) $ khi chia cho $ (x-2) $bằng cách đơn giản là tính :
$ f(2)= -2 $
Đên đây ta tìm thương của $ f(x) $ khi chia cho $ (x-2)$ với dư là -2 :
Gọi đa thức thương cần tìm là $ B(x) $ ta có:
$ B(x) =\dfrac{ f(x) +2}{x-2} $

$ \leftrightarrow B(x) = \dfrac{1-(x-1)^{n-1}-(2-x)^{2n-1}-...-(2-x)}{x-2} $

$ \leftrightarrow B(x)= \dfrac{(2-x)[(x-1)^{n-2}+(x-1)^{n-3}+...+1]-(2-x)^{2n-1}-...-(2-x)]}{x-2}$

$ \leftrightarrow B(x)=\dfrac{(2-x)[(x-1)^{n-2}+...+1-(2-x)^{2n-2}-...-1]}{x-2} $

$ \leftrightarrow B(x)=[(2-x)^{2n-2}-(x-1)^{n-2}]+[(2-x)^{2n-3}-(x-1)^{n-3}]+...(3-x) $

Sr nha nhầm lẫn đôi chút. Bài 1 nằm tron sách Đa thức và ứng dụng của Nguyễn Hữu Điển . Bạn tìm đọc ha, nếu cần thì mình post bài lên cho .
Bài 5 kí hiệu $ \equiv $ là đồng dư hả ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 15-06-2011 - 15:53

[bizizitet]

Bạn có thể post lên giúp mình ko, sách đó ở mình ko có.
Kí hiệu đó là 2 đa thức bằng nhau (hiểu ngầm là đúng với mọi x,y) đó bạn.

[Nguyễn Hoàng Lâm]

1/ Tìm tất cả số n thuộc N để P(x)= $ (x+1)^n - x^n -1 $ chia hết cho Q(x) = $ x^2+x+1 $
2/ Tìm thương của phép chia đa thức P(x)= $ (x-2)^{2n} - (x-1)^n -1 $ cho Q(x)= $ x^2-3x+2 $.
3/ Tìm a,b để P(x) = $ax^{n+1} + bx^n +1 $ chia hết cho $(x-1)^2$ và tìm thương của phép chia đó.
4/ Cho pt $x^3 -xy^2 +y^3 =n $ . Cmr nếu tồn tại n là số tự nhiên khác 0 sao cho pt có nghiệm thì pt đó có ít nhất 3 nghiệm.
5/Tìm tất cả các đa thức khác đa thức 0 thỏa mãn:
a/ $ P(x^2-2x) \equiv P^2(x-a) $
b/ $ P(x).P(y) \equiv P^2( \dfrac{x+y}{2}) - P^2( \dfrac{x-y}{2}) $

Bài 1:
Ta có $ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ nên $ x^3-1 \equiv 0 (mod Q(x)) $

dẫn đến $ x^3\equiv 1 (mod Q(x)) $

Lại có $ x^2+x+1 \equiv o (mod Q(x) ) $

nên $ x+1 \equiv -x^2 (mod Q(x)) $

$ \leftrightarrow (x-1)^n \equiv (-1)^n.x^{2n} ( mod Q(x)) $

Vậy $ P(x) \equiv (-1)^nx^{2n}-x^n-1 ( mod Q(x)) $

Đến đây xét $ n = 6k+l, l=0,1,2,3,4,5 $

Ta có $ P(x) \equiv (-1)^{6k+l}.x^{12k+2l}-x^{6k+l}-1 (mod Q(x)) $

$ \leftrightarrow P(x) \equiv (-1)^l.x^{2l}-x^l-1 (mod Q(x)) $

Đến đây xét lần lượt từng giá trị của l xem giá trị nào thỏa mãn thì nhận :
Vd:
$ l=0 \rightarrow P(x) \equiv 1-1-1 \equiv -1 ( mod Q(x)) $ hay P(x) không chia hết cho Q(x)

$ n=1 \rightarrow P(x) \equiv -(x^2+x+1) \equiv 0 (mod Q(x)) $ hay $ P(x) \vdots Q(x) $
........
Lập luận tượng tự thì cuối cùng được $ n=6k+1 $ hoặc $ 6k+5 $

[danghaibang]

Bài 1:
Ta có $ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ nên $ x^3-1 \equiv 0 (mod Q(x)) $

dẫn đến $ x^3\equiv 1 (mod Q(x)) $

Lại có $ x^2+x+1 \equiv o (mod Q(x) ) $

nên $ x+1 \equiv -x^2 (mod Q(x)) $

$ \leftrightarrow (x-1)^n \equiv (-1)^n.x^{2n} ( mod Q(x)) $

Vậy $ P(x) \equiv (-1)^nx^{2n}-x^n-1 ( mod Q(x)) $

Đến đây xét $ n = 6k+l, l=0,1,2,3,4,5 $

Ta có $ P(x) \equiv (-1)^{6k+l}.x^{12k+2l}-x^{6k+l}-1 (mod Q(x)) $

$ \leftrightarrow P(x) \equiv (-1)^l.x^{2l}-x^l-1 (mod Q(x)) $

Đến đây xét lần lượt từng giá trị của l xem giá trị nào thỏa mãn thì nhận :
Vd:
$ l=0 \rightarrow P(x) \equiv 1-1-1 \equiv -1 ( mod Q(x)) $ hay P(x) không chia hết cho Q(x)

$ n=1 \rightarrow P(x) \equiv -(x^2+x+1) \equiv 0 (mod Q(x)) $ hay $ P(x) \vdots Q(x) $
........
Lập luận tượng tự thì cuối cùng được $ n=6k+1 $ hoặc $ 6k+5 $

Sao ở đây lại xét với n= 6k + l vậy ?, bạn giải thích rõ hơn được không