1/ $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{(\sin x+\sqrt{3}\cos x)^3}dx$
2/ $\int_{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}^{1}\dfrac{2dx}{x\sqrt{4x^2-1}}$
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\dfrac{x\ln^2 (x^2+1)}{x^2+1}$; trục tung, trục hoành và đường thẳng $x=\sqrt{e-1}$
4/ $\int_{-1}^{3}\dfrac{x-3}{3\sqrt{x+1}+x+3}dx$
5/ $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin 2x dx}{(2+\cos x)^3}$
6/ $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}.e^{x}dx$
Vài câu Tích phân Luyện Thi
Bắt đầu bởi Bác Ba Phi, 16-06-2011 - 18:51
#1
Đã gửi 16-06-2011 - 18:51
CHÚC CÁC MEM, MOD CỦA VMF:
SẮP THI ĐẠI HỌC: THI ĐÂU ĐỖ ĐÓ !!!!!
ĐANG HỌC LỚP 8 9 10 11: SANG NĂM MÔN TOÁN 10 PHẨY THÔI!!!
#2
Đã gửi 16-06-2011 - 19:31
Làm từ từ thôi nhỉ.
1, Ta có $sinx=sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}\right.)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{1}{2}cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right.)\right.)$ mặt khác lạj kó $sinx+\sqrt{3}cosx=2cos\left(x-\dfrac{\pi}{x}\right.)$ thay vào tích phân ta được $\dfrac{\sqrt{3}}{16}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right.)dx}{cos^{3}\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right.)}+\dfrac{1}{16}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{dx}{cos^{2}\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right.)}$ làm đến đây coj xong oy.
1, Ta có $sinx=sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}\right.)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{1}{2}cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right.)\right.)$ mặt khác lạj kó $sinx+\sqrt{3}cosx=2cos\left(x-\dfrac{\pi}{x}\right.)$ thay vào tích phân ta được $\dfrac{\sqrt{3}}{16}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right.)dx}{cos^{3}\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right.)}+\dfrac{1}{16}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{dx}{cos^{2}\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right.)}$ làm đến đây coj xong oy.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Want?: 19-06-2011 - 16:55
Đây là chữ ký của tôi!!!
#3
Đã gửi 16-06-2011 - 21:08
5.
$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^3}}}} dx\\\cos x = u \Rightarrow du = - \sin xdx\\I = \int\limits_1^0 {\dfrac{{ - 2u}}{{{{\left( {1 + u} \right)}^3}}}du = } - 2\int\limits_1^0{\dfrac{1}{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {1 + u} \right)}^3}}}} du = - 2\left[ {\dfrac{{ - 1}}{{1 + u}} - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}}} \right]_1^0\end{array}$
2.
$\begin{array}{l}G = \int\limits_{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\dfrac{{2dx}}{{x\sqrt {4{x^2} - 1} }}} \\\sqrt {4{x^2} - 1} = t \Rightarrow dt = \dfrac{{4x}}{t}dx\\G = \int\limits_{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 3 } {\dfrac{{2tdt}}{{t\left( {{t^2} + 1} \right)}}} = 2\int\limits_{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 3 } {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \\t = \tan u\end{array}$
Thế thì sẽ ổn !
$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^3}}}} dx\\\cos x = u \Rightarrow du = - \sin xdx\\I = \int\limits_1^0 {\dfrac{{ - 2u}}{{{{\left( {1 + u} \right)}^3}}}du = } - 2\int\limits_1^0{\dfrac{1}{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {1 + u} \right)}^3}}}} du = - 2\left[ {\dfrac{{ - 1}}{{1 + u}} - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}}} \right]_1^0\end{array}$
2.
$\begin{array}{l}G = \int\limits_{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\dfrac{{2dx}}{{x\sqrt {4{x^2} - 1} }}} \\\sqrt {4{x^2} - 1} = t \Rightarrow dt = \dfrac{{4x}}{t}dx\\G = \int\limits_{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 3 } {\dfrac{{2tdt}}{{t\left( {{t^2} + 1} \right)}}} = 2\int\limits_{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 3 } {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \\t = \tan u\end{array}$
Thế thì sẽ ổn !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lê Xuân Trường Giang: 16-06-2011 - 21:33
Tuổi thanh niên đó là ước mơ. Đó là niềm tin. Đó là sự vươn lên tới chiến công. Đó là trữ tình và lãng mạn. Đó là những kế hoạch lớn lao cho tương lai. Đó là mở đầu của tất cả các viễn cảnh
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
#4
Đã gửi 16-06-2011 - 21:17
4.
$\begin{array}{l}H = \int\limits_{ - 1}^3 {\dfrac{{x - 3}}{{3\sqrt {x + 1} + x + 3}}dx} \\\sqrt {x + 1} = a \Rightarrow da = \dfrac{1}{{2a}}dx\\ \Rightarrow H = \int\limits_0^2 {\dfrac{{2a\left( {{a^2} - 4} \right)}}{{3a + {a^2} + 2}}da = \int\limits_0^2 {\dfrac{{2{a^2} - 4a}}{{a + 1}}} da} \\H = \int\limits_0^2 {2a - 6 + \dfrac{6}{{a + 1}}} da = \left[ {{a^2} - 6a + 6\ln \left( {a + 1} \right)} \right]_0^2\end{array}$
$\begin{array}{l}H = \int\limits_{ - 1}^3 {\dfrac{{x - 3}}{{3\sqrt {x + 1} + x + 3}}dx} \\\sqrt {x + 1} = a \Rightarrow da = \dfrac{1}{{2a}}dx\\ \Rightarrow H = \int\limits_0^2 {\dfrac{{2a\left( {{a^2} - 4} \right)}}{{3a + {a^2} + 2}}da = \int\limits_0^2 {\dfrac{{2{a^2} - 4a}}{{a + 1}}} da} \\H = \int\limits_0^2 {2a - 6 + \dfrac{6}{{a + 1}}} da = \left[ {{a^2} - 6a + 6\ln \left( {a + 1} \right)} \right]_0^2\end{array}$
Tuổi thanh niên đó là ước mơ. Đó là niềm tin. Đó là sự vươn lên tới chiến công. Đó là trữ tình và lãng mạn. Đó là những kế hoạch lớn lao cho tương lai. Đó là mở đầu của tất cả các viễn cảnh
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
#5
Đã gửi 17-06-2011 - 18:17
6/ $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}.e^{x}dx$
Thanks...
Câu 6 này nặng đô thật, mình đã post trong 1 topic gần 2 tháng trước. Nay vẫn chưa giải đc...
CHÚC CÁC MEM, MOD CỦA VMF:
SẮP THI ĐẠI HỌC: THI ĐÂU ĐỖ ĐÓ !!!!!
ĐANG HỌC LỚP 8 9 10 11: SANG NĂM MÔN TOÁN 10 PHẨY THÔI!!!
#6
Đã gửi 17-06-2011 - 23:32
(6) $\Rightarrow \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\left(\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}\right).e^xdx$
$\Rightarrow \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\left(\dfrac{1+2 \sin\dfrac{x}{2}.\cos\dfrac{x}{2}}{1+2 \cos^2\dfrac{x}{2}-1}\right).e^xdx$
$\Rightarrow \int_{0}^{\dfrac{x}{2}}\left(\dfrac{1}{2}.\ sec^2\dfrac{x}{2}+\tan \dfrac{x}{2}\right).e^xdx = e^x\tan \dfrac{x}{2}\Big|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = e^{\dfrac{\pi}{2}}$
Now Use the formula $\boxed{\int_{a}^{b} \left(f(x)+f^{'}(x)\right).e^xdx = f(x).e^x\Big|_{a}^{b}}$
$\Rightarrow \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\left(\dfrac{1+2 \sin\dfrac{x}{2}.\cos\dfrac{x}{2}}{1+2 \cos^2\dfrac{x}{2}-1}\right).e^xdx$
$\Rightarrow \int_{0}^{\dfrac{x}{2}}\left(\dfrac{1}{2}.\ sec^2\dfrac{x}{2}+\tan \dfrac{x}{2}\right).e^xdx = e^x\tan \dfrac{x}{2}\Big|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = e^{\dfrac{\pi}{2}}$
Now Use the formula $\boxed{\int_{a}^{b} \left(f(x)+f^{'}(x)\right).e^xdx = f(x).e^x\Big|_{a}^{b}}$
#7
Đã gửi 17-06-2011 - 23:54
(3)If function $y = f(x) =\dfrac{x.\ln^2\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)}$ cut the $X-$ axis then $ y = 0$. so $x = 0$
So $\int_{0}^{\sqrt{e-1}}\dfrac{x.\ln^2\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)}dx$
put $x^2+1 = t\Leftrightarrow xdx = \dfrac{1}{2}dt$ and changing the limit,
get $\dfrac{1}{2}.\int_{1}^{e}\dfrac{\ln^2\left(t\right)}{t}dt$
Now Using Integration by parts
$\Rightarrow \int_{1}^{e}\ln \left(t\right).\dfrac{.\ln\left(t\right)}{t}dt$
$\Rightarrow \dfrac{1}{6}.\ln^3\left(t\right)\Big|_{1}^{e} = \dfrac{1}{6}$
So $\int_{0}^{\sqrt{e-1}}\dfrac{x.\ln^2\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)}dx$
put $x^2+1 = t\Leftrightarrow xdx = \dfrac{1}{2}dt$ and changing the limit,
get $\dfrac{1}{2}.\int_{1}^{e}\dfrac{\ln^2\left(t\right)}{t}dt$
Now Using Integration by parts
$\Rightarrow \int_{1}^{e}\ln \left(t\right).\dfrac{.\ln\left(t\right)}{t}dt$
$\Rightarrow \dfrac{1}{6}.\ln^3\left(t\right)\Big|_{1}^{e} = \dfrac{1}{6}$
#8
Đã gửi 19-06-2011 - 17:04
Ủng hộ topic tí
7.
$\int\limits_0^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt2sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right.)dx}{sin2x+2(1+sinx+cosx)}$
8.
$\int\limits_0^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{tanxdx}{4tan^2x+4\sqrt3tanx+3}$
7.
$\int\limits_0^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt2sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right.)dx}{sin2x+2(1+sinx+cosx)}$
8.
$\int\limits_0^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{tanxdx}{4tan^2x+4\sqrt3tanx+3}$
Đây là chữ ký của tôi!!!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh