Chủ đề này có 17 trả lời

[l.kuzz.l]

KHông cần nói nhiêu :
Bài 1:Cho x,y,z là các số không âm và tích =1,tin Min
a, $ \dfrac{x^3+y^3+z^3}{x+y+z} $
b, $ \dfrac{yz}{x^2(y+z)} + \dfrac{xz}{y^2(x+z)}+ \dfrac{xy}{z^2(x+y)} $
c, $ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}+ \dfrac{6}{x+y+z} $
Bài 2 Cho x,y,z là các số thực dương ,tìm GTNN
$ (xy+yz+xz)( \dfrac{1}{(x+y)^2}+ \dfrac{1}{(y+z)^2}+ \dfrac{1}{(x+z)^2}) $
Bài 3 Cho a,b la 2 số thực dương và a+b=1,Tìm GTNN
a, $ \dfrac{1}{1+a^2+b^2} +\dfrac{1}{2ab} $
b,$ \dfrac{1}{a^2+b^2}+ \dfrac{1}{ab}+4ab $
Bài 4 Cho x,y,z là các số không âm t/m x+y+z= 3,Tìm GTLN của
$ \dfrac{xy}{3+z^2}+ \dfrac{yz}{3+x^2}+ \dfrac{xz}{3+y^2} $
Bài 5 Cho x,y,z là các số không âm và tối đa chỉ 1 số bằng 0
CMR $ \dfrac{1}{x^2+y^2}+ \dfrac{1}{y^2+z^2}+ \dfrac{1}{x^2+z^2} \leq \dfrac{10}{(x+y+z)^2} $
Bài 6 Cho a,b,c 0,ab+bc+ac=1
CMR $ \dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{a+c} \geq 2.5 $ (Hojoo Lee)
Bài 7 Cho các số không âm x,y,z,không có 2 số nào đồng thời bằng 0
CMR $ \dfrac{1}{x^2+xy+y^2}+ \dfrac{1}{y^2+yz+z^2} +\dfrac{1}{x^2+xz+z^2} \geq \dfrac{9}{(x+y+z)^2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi l.kuzz.l: 22-06-2011 - 10:57

[nguyenphu.manh]

KHông cần nói nhiêu :
Bài 1:Cho x,y,z là các số không âm và tích =1,tin Min
a, $ \dfrac{x^3+y^3+z^3}{x+y+z} $
b, $ \dfrac{yz}{x^2(y+z)} + \dfrac{xz}{y^2(x+z)}+ \dfrac{xy}{z^2(x+y)} $
c, $ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}+ \dfrac{6}{x+y+z} $
Bài 2 Cho x,y,z là các số thực dương ,tìm GTNN
$ (xy+yz+xz)( \dfrac{1}{(x+y)^2}+ \dfrac{1}{(y+z)^2}+ \dfrac{1}{(x+z)^2}) $
Bài 3 Cho a,b la 2 số thực dương và a+b=1,Tìm GTNN
a, $ \dfrac{1}{1+a^2+b^2} +\dfrac{1}{2ab} $
b,$ \dfrac{1}{a^2+b^2}+ \dfrac{1}{ab}+4ab $
Bài 4 Cho x,y,z là các số không âm t/m x+y+z= 3,Tìm GTLN của
$ \dfrac{xy}{3+z^2}+ \dfrac{yz}{3+x^2}+ \dfrac{xz}{3+y^2} $
Bài 5 Cho x,y,z là các số không âm và tối đa chỉ 1 số bằng 0
CMR $ \dfrac{1}{x^2+y^2}+ \dfrac{1}{y^2+z^2}+ \dfrac{1}{x^2+z^2} \leq \dfrac{10}{(x+y+z)^2} $
Bài 6 Cho a,b,c 0,ab+bc+ac=1
CMR $ \dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{a+c} \geq 2.5 $ (Hojoo Lee)
Bài 7 Cho các số không âm x,y,z,không có 2 số nào đồng thời bằng 0
CMR $ \dfrac{1}{x^2+xy+y^2}+ \dfrac{1}{y^2+yz+z^2} +\dfrac{1}{x^2+xz+z^2} \geq \dfrac{9}{(x+y+z)^2} $

Mấy câu này cũng chả khó đâu:
Làm từ bài 1:
a,Sử dụng cauchy:$ 9(x^3+y^3+z^3)\geq (x+y+z)^3.$
b,Đặt a=1/x;b=1/y;c=1/z => đpcm.
c,Cũng đặt như câu b => đpcm.

[nguyenphu.manh]

KHông cần nói nhiêu :
Bài 1:Cho x,y,z là các số không âm và tích =1,tin Min
a, $ \dfrac{x^3+y^3+z^3}{x+y+z} $
b, $ \dfrac{yz}{x^2(y+z)} + \dfrac{xz}{y^2(x+z)}+ \dfrac{xy}{z^2(x+y)} $
c, $ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}+ \dfrac{6}{x+y+z} $
Bài 2 Cho x,y,z là các số thực dương ,tìm GTNN
$ (xy+yz+xz)( \dfrac{1}{(x+y)^2}+ \dfrac{1}{(y+z)^2}+ \dfrac{1}{(x+z)^2}) $
Bài 3 Cho a,b la 2 số thực dương và a+b=1,Tìm GTNN
a, $ \dfrac{1}{1+a^2+b^2} +\dfrac{1}{2ab} $
b,$ \dfrac{1}{a^2+b^2}+ \dfrac{1}{ab}+4ab $
Bài 4 Cho x,y,z là các số không âm t/m x+y+z= 3,Tìm GTLN của
$ \dfrac{xy}{3+z^2}+ \dfrac{yz}{3+x^2}+ \dfrac{xz}{3+y^2} $
Bài 5 Cho x,y,z là các số không âm và tối đa chỉ 1 số bằng 0
CMR $ \dfrac{1}{x^2+y^2}+ \dfrac{1}{y^2+z^2}+ \dfrac{1}{x^2+z^2} \leq \dfrac{10}{(x+y+z)^2} $
Bài 6 Cho a,b,c 0,ab+bc+ac=1
CMR $ \dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{a+c} \geq 2.5 $ (Hojoo Lee)
Bài 7 Cho các số không âm x,y,z,không có 2 số nào đồng thời bằng 0
CMR $ \dfrac{1}{x^2+xy+y^2}+ \dfrac{1}{y^2+yz+z^2} +\dfrac{1}{x^2+xz+z^2} \geq \dfrac{9}{(x+y+z)^2} $

Làm tiếp câu 3.
a,Ta có:$\dfrac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{2ab}=\dfrac{1}{2-2ab}+\dfrac{1}{2ab}\geq \dfrac{4}{2}=2$.
b,$\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{ab}+4ab=\dfrac{1}{1-2ab}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}+4ab\geq \dfrac{4}{1}+\dfrac{1}{4ab}+2\geq 7$.

[nguyenphu.manh]

KHông cần nói nhiêu :
Bài 1:Cho x,y,z là các số không âm và tích =1,tin Min
a, $ \dfrac{x^3+y^3+z^3}{x+y+z} $
b, $ \dfrac{yz}{x^2(y+z)} + \dfrac{xz}{y^2(x+z)}+ \dfrac{xy}{z^2(x+y)} $
c, $ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}+ \dfrac{6}{x+y+z} $
Bài 2 Cho x,y,z là các số thực dương ,tìm GTNN
$ (xy+yz+xz)( \dfrac{1}{(x+y)^2}+ \dfrac{1}{(y+z)^2}+ \dfrac{1}{(x+z)^2}) $
Bài 3 Cho a,b la 2 số thực dương và a+b=1,Tìm GTNN
a, $ \dfrac{1}{1+a^2+b^2} +\dfrac{1}{2ab} $
b,$ \dfrac{1}{a^2+b^2}+ \dfrac{1}{ab}+4ab $
Bài 4 Cho x,y,z là các số không âm t/m x+y+z= 3,Tìm GTLN của
$ \dfrac{xy}{3+z^2}+ \dfrac{yz}{3+x^2}+ \dfrac{xz}{3+y^2} $
Bài 5 Cho x,y,z là các số không âm và tối đa chỉ 1 số bằng 0
CMR $ \dfrac{1}{x^2+y^2}+ \dfrac{1}{y^2+z^2}+ \dfrac{1}{x^2+z^2} \leq \dfrac{10}{(x+y+z)^2} $
Bài 6 Cho a,b,c 0,ab+bc+ac=1
CMR $ \dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{a+c} \geq 2.5 $ (Hojoo Lee)
Bài 7 Cho các số không âm x,y,z,không có 2 số nào đồng thời bằng 0
CMR $ \dfrac{1}{x^2+xy+y^2}+ \dfrac{1}{y^2+yz+z^2} +\dfrac{1}{x^2+xz+z^2} \geq \dfrac{9}{(x+y+z)^2} $

Nào mọi người,hãy vào đây và tham gia tích cực vào chứ,mời mọi người giải tiếp các câu còn lại!!
Thân!

[l.kuzz.l]

Bài 4 Cho x,y,z là các số không âm t/m x+y+z= 3,Tìm GTLN của
$ \dfrac{xy}{3+z^2}+ \dfrac{yz}{3+x^2}+ \dfrac{xz}{3+y^2} $
Bài 5 Cho x,y,z là các số không âm và tối đa chỉ 1 số bằng 0
CMR $ \dfrac{1}{x^2+y^2}+ \dfrac{1}{y^2+z^2}+ \dfrac{1}{x^2+z^2} \leq \dfrac{10}{(x+y+z)^2} $
Bài 6 Cho a,b,c 0,ab+bc+ac=1
CMR $ \dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{a+c} \geq 2.5 $ (Hojoo Lee)
Bài 7 Cho các số không âm x,y,z,không có 2 số nào đồng thời bằng 0
CMR $ \dfrac{1}{x^2+xy+y^2}+ \dfrac{1}{y^2+yz+z^2} +\dfrac{1}{x^2+xz+z^2} \geq \dfrac{9}{(x+y+z)^2} $
Những bài này không dễ đâu

[l.kuzz.l]

c,Cũng đặt như câu b => đpcm.

Bạn thử giải thích rõ hơn vê câu này đươc không

[perfectstrong]

Bài 7: đây là bài2.63 trong sách "Phân loại&phương pháp giải toán bất đẳng thức" của Vasile Cirtoaje-Võ Quốc Bá Cẩn-Trần Quốc Anh.
Mạn phép post bài giải trong sách lên
Nhân cả 2 vế với $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$ và chú ý:

$\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{b^2+bc+c^2}=1+\dfrac{a(a+b+c)}{b^2+bc+c^2}$

ta được
$3 + \left( {a + b + c} \right)\sum {\dfrac{a}{{b^2 + bc + c^2 }}} \geqslant \dfrac{{9\left( {\sum {a^2 } + \sum {ab} } \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)^2 }}$

Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz, ta có:

$\sum {\dfrac{a}{{b^2 + bc + c^2 }}} \geqslant \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)^2 }}{{\sum {a\left( {b^2 + bc + c^2 } \right)} }} = \dfrac{{a + b + c}}{{ab + bc + ca}}$

Bài toán quyvề chứng minh

$3 + \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)^2 }}{{ab + bc + ca}} \geqslant \dfrac{{9\left( {a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)^2 }}$

mặt khác, do $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)$ nên bđt này tương đương với

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)^2 }}{{ab + bc + ca}} + \dfrac{{9\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)^2 }} \geqslant 6:True\left( {AM - GM} \right)$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-06-2011 - 20:32

[Takitori Chishikato]

Làm tiếp câu 3.
a,Ta có:$\dfrac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{2ab}=\dfrac{1}{2-2ab}+\dfrac{1}{2ab}\geq \dfrac{4}{2}=2$.
b,$\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{ab}+4ab=\dfrac{1}{1-2ab}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}+4ab\geq \dfrac{4}{1}+\dfrac{1}{4ab}+2\geq 7$.

Fan a lam the k dc dau vj k xay ra dau "="
E lam thu?
$(a+b)^2 $ $ 2(a^2+b^2) $ $1 $$ 2(a^2+b^2)$ $1+a^2+b^2$ $3(a^2+b^2)$
$\dfrac{1}{1+a^{2}+b^{2}}$ $\dfrac{1}{3(a^{2}+b^{2})}$
Dat $A=\dfrac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{2ab}$
$A$ $\dfrac{1}{3(a^{2}+b^{2})}+ \dfrac{1}{6ab} +\dfrac{1}{3ab} $
ap dung bdt $ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} $ $ \dfrac{4}{x+y} $ ta co:
$\dfrac{1}{3(a^{2}+b^{2})}+ \dfrac{1}{6ab} $ $ \dfrac{1}{3} ( \dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}) = \dfrac{1}{3} . \dfrac{4}{(a+b)^2} = \dfrac{4}{3} $
$ab$ $ \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{1}{4} $
$ \dfrac{1}{3ab} $ $ \dfrac{4}{3} $
$A$ $ \dfrac{8}{3} $
Dau "=" xay ra $a=b=0.5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Takitori Chishikato: 24-06-2011 - 17:48

[l.kuzz.l]

Lam the k dc dau vj k xay ra dau "="
E lam thu?
$(a+b)^2 $ $ 2(a^2+b^2) $ $1 $$ 2(a^2+b^2)$ $1+a^2+b^2$ $3(a^2+b^2)$
$\dfrac{1}{1+a^{2}+b^{2}}$ $\dfrac{1}{3(a^{2}+b^{2})}$
Dat $A=\dfrac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{2ab}$
$A$ $\dfrac{1}{3(a^{2}+b^{2})}+ \dfrac{1}{6ab} +\dfrac{1}{3ab} $
ap dung bdt $ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} $ $ \dfrac{4}{x+y} $ ta co:
$\dfrac{1}{3(a^{2}+b^{2})}+ \dfrac{1}{6ab} $ $ \dfrac{1}{3} ( \dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}) = \dfrac{1}{3} . \dfrac{4}{(a+b)^2} = \dfrac{4}{3} $
$ab$ $ \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{1}{4} $
$ \dfrac{1}{3ab} $ $ \dfrac{4}{3} $
$A$ $ \dfrac{8}{3} $
Dau "=" xay ra $a=b=0.5$

Rất tiếc bài làm của bạn không đúng

[Takitori Chishikato]

Rất tiếc bài làm của bạn không đúng

K dung cho nao vay?

[l.kuzz.l]

K dung cho nao vay?

Tui nhìn lộn tưởng câu b! Thông cảm nha

[khanh3570883]

Bài 6 Cho a,b,c 0,ab+bc+ac=1
CMR $ \dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{a+c} \geq 2.5 $

Ta có:
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(\dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{c+a})^2 \ge \dfrac{25}{4}$
Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:
$(ab+bc+ca)(\dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{c+a})^2 \ge \dfrac{25}{4}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(\dfrac{1}{(a+b)^2} +\dfrac{1}{(b+c)^2}+ \dfrac{1}{(c+a)^2})+\dfrac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge \dfrac{9}{4}+4+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Chú ý rằng:
$\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1+\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Do đó ta cần chứng minh:
$(ab+bc+ca)(\dfrac{1}{(a+b)^2} +\dfrac{1}{(b+c)^2}+ \dfrac{1}{(c+a)^2})\ge \dfrac{9}{4}$
Đây là bất đẳng thức Iran 96

[l.kuzz.l]

Ta có:
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(\dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{c+a})^2 \ge \dfrac{25}{4}$
Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:
$(ab+bc+ca)(\dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{c+a})^2 \ge \dfrac{25}{4}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(\dfrac{1}{(a+b)^2} +\dfrac{1}{(b+c)^2}+ \dfrac{1}{(c+a)^2})+\dfrac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge \dfrac{9}{4}+4+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Chú ý rằng:
$\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1+\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Do đó ta cần chứng minh:
$(ab+bc+ca)(\dfrac{1}{(a+b)^2} +\dfrac{1}{(b+c)^2}+ \dfrac{1}{(c+a)^2})\ge \dfrac{9}{4}$
Đây là bất đẳng thức Iran 96

Vậy là bạn phải CM nốt bài 2

[khanh3570883]

Bài 2 Cho x,y,z là các số thực dương ,tìm GTNN
$ (xy+yz+xz)( \dfrac{1}{(x+y)^2}+ \dfrac{1}{(y+z)^2}+ \dfrac{1}{(x+z)^2}) $

Ta sẽ chứng minh:
$ (xy+yz+xz)( \dfrac{1}{(x+y)^2}+ \dfrac{1}{(y+z)^2}+ \dfrac{1}{(x+z)^2})\ge \dfrac{9}{4} $
Đặt a = x+y, b = y+z, c = z+x. Bất đẳng thức tương đương với:
$(\dfrac{2}{bc}-\dfrac{1}{a^2})(b-c)^2+(\dfrac{2}{ca}-\dfrac{1}{b^2})(a-c)^2+(\dfrac{2}{ab}-\dfrac{1}{c^2})(a-b)^2\ge 0$

Ta sẽ dùng đánh giá SOS
Giả sử $a\ge b\ge c$ thì $S_a \ge 0$, ta sẽ chứng minh:
$b^2S_b+c^2S_c\ge 0$
$\Leftrightarrow b^3+c^3\ge abc$
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng vì:
$a\le b+c \Rightarrow b^3+c^3\ge bc(b+c)\ge abc$

[l.kuzz.l]

Thêm 2 bài nữa
Bài 8 Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=4
CMR $ a^2b+b^2c+c^2a+abc \leq 4 $
Bài 9 Cho 3 số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1
CMR $ \sqrt{x+y^2}+ \sqrt{y+z^2}+ \sqrt{z+x^2} \geq 2 $

[l.kuzz.l]

Thêm mấy bài nữa cho đỡ buồn
Bài 10
Cho các sô x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=9 $
Tìm GTLN của $ 2(x+y+z)-xyz $
Bài 11
Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=4
CMR $ \dfrac{x}{ \sqrt{x+y}}+ \dfrac{y}{\sqrt{y+z}}+ \dfrac{z}{\sqrt{x+z}} \leq \dfrac{5}{2} $
Bài 12
Cho 4 số thực không âm a,b,c,d và có tổng=1
CM $ \dfrac{1}{abcd} \leq \dfrac{1}{27} + \dfrac{176}{27abcd}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi l.kuzz.l: 25-06-2011 - 21:34

[alex_hoang]

Nào mọi người,hãy vào đây và tham gia tích cực vào chứ,mời mọi người giải tiếp các câu còn lại!!
Thân!

Bài 5,6,7 ở SÁNG TAO BĐT của anh Hùng

Bài 5,6,7 ở SÁNG TAO BĐT của anh Hùng

9,10,11 cũng vậy
Bài 8 bànở diễn đàn rồi


Mod: tự động gộp bài

[dark templar]

Vui vui tí vậy

Thêm 2 bài nữa
Bài 8 Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=4
CMR $ a^2b+b^2c+c^2a+abc \leq 4 $

Xem lại đề em nhé (có thể thử bằng $a=0;b=c=2$). Chính xác phải là $a+b+c=3$.
Gợi ý: Chứng minh BĐT sau:$\sum_{cyc}a^2b +abc \le \dfrac{4}{27}(a+b+c)^3$.

Bài 12
Cho 4 số thực không âm a,b,c,d và có tổng=1
CM $ \dfrac{1}{abcd} \leq \dfrac{1}{27} + \dfrac{176}{27abcd}$

Bài này cho $a+b+c+d=1$ chi vậy không biết
Biến đổi tương đương,ta thu được:$abcd \ge -149$(luôn đúng $\forall a,b,c,d > 0$)


P/s:Góp vui xíu vậy
Bài 13: Cho $n$ số thực $a_1;a_2;...;a_n \in [0;1]$.Chứng minh rằng:
$a_1+a_2+...+a_n \le n-1+a_1a_2...a_n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 26-06-2011 - 20:51