Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi toán chuyên TP.HCM 2011-2012 (thi ngày 22/06/2011)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 mybubulov3

mybubulov3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 23-06-2011 - 12:56

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) $(x^2-4x)^2-4(x-2)^2+19=0$
b) $\left\{\begin{array}{l}x^2+xy=2\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=x+\dfrac{2}{x+y}\end{array}\right.$

Câu 2. (3 điểm) Trong hệ trục toạ độ $Oxy$, cho parabol $(P): y=\dfrac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): mx-y+1=0$ ($m$ là tham số).
a) Chứng tỏ $(d)$ luộn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
b) Định $m$ để tam giác $OAB$ có diện tích bằng $\dfrac{3}{2}$.

Câu 3. (3 điểm)
a) Tìm đa thức dư khi chia $x^6$ cho $x^2-x-1$.
b) Giả sử $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-x-1=0$. Tính giá trị của biểu thức
$A=(x_1^{2011}-x_1^{2012}+x_1^{2008}+x_1^{2009}+x_1^6-5+x_2)(x_2^{2011}-x_2^{2012}+x_2^{2008}+x_2^{2009}+x_2^6-5+x_1)$

Câu 4. (2 điểm) Tìm các số nguyên $x, y$ thoả: $5x^2+y^2-2xy+2x-6y+1<0$.

Câu 5. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Từ điểm $D$ trên cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(O)$, ta kẻ đường thẳng vuông góc với $AD$, đường thẳng này cắt cạnh $BC$ tại $M$. Đường trung trực của $DM$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $AEMF$ là hình bình hành.

Câu 6. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ có hai đường phân giác trong $BD$ và $CE$. $M$ là một điểm bất kỳ trên đoạn $DE$. Gọi $H, K, L$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên các cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh $MH=MK+ML$.

Câu 7. (3 điểm) Cho $a, b, c$ là ba số dương thoả điều kiện $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}$

HẾT


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mybubulov3: 23-06-2011 - 13:05


#2 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 23-06-2011 - 20:59

Câu 1. (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) $(x^2-4x)^2-4(x-2)^2+19=0$
b) $\left\{\begin{array}{l}x^2+xy=2\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=x+\dfrac{2}{x+y}\end{array}\right.$
Giải :
a, $(x^2-4x)^2-4(x-2)^2+19=0$
$ \Leftrightarrow ( x^2 - 4x )^2 - 4( x^2 - 4x + 4 ) + 19 = 0$
$ \Leftrightarrow ( x^2 - 4x )^2 - 4( x^2 - 4x ) + 3 = 0 $
$ \Leftrightarrow ( x^2 - 4x - 1 )( x^2 - 4x - 3 ) = 0$
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 - 4x - 1 = 0\\x^2 - 4x - 3 = 0\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2 + \sqrt{5}\\ x = 2 - \sqrt{5}\\x = 2 + \sqrt{7}\\ x = 2 - \sqrt{7}\end{array}\right.$
b, $\left\{\begin{array}{l}x^2+xy=2 (1) \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=x+\dfrac{2}{x+y} (2)\end{array}\right.$
ĐK : $ x, y \neq 0 $
Từ (1) $ \Rightarrow x.( x + y ) = 2 (3) $. Do $ x, y \neq 0 \Rightarrow x + y \neq 0$
Chia hai vế của phương trình (3) cho x + y, ta có
$ x = \dfrac{2}{x + y} $
Thay vào phương trình (2), ta có : $ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{4}{x + y} \Leftrightarrow \dfrac{x + y}{xy} = \dfrac{4}{x + y}$
$ \Rightarrow ( x + y )^2 = 4xy \Leftrightarrow ( x - y )^2 = 0 \Rightarrow x = y $
Thay x = y vào phương trình (1) $ \Rightarrow x = y = 1 ; x = y = -1$

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#3 .::skyscape::.

.::skyscape::.

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Đã gửi 23-06-2011 - 22:31

tớ làm bđt trc nhé k bik đúng hay sai ;)
$\sqrt{ \dfrac{(a^2+1)(b^2+1)}{c^2+1}}=\sqrt{\dfrac{(a+b)(a+c)(b+a)(b+c)}{(c+a)(c+b)}} =a+b$

$\Rightarrow P = 2 ( a+ b+ c) $
sử dụng bđt$ ( a+b+ c) ^{2 } \geq 3ab+3ab+3ac$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-06-2011 - 17:38


#4 mybubulov3

mybubulov3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 24-06-2011 - 13:04

Câu 7. (3 điểm) Cho $a, b, c$ là ba số dương thoả điều kiện $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}$

HẾT

Lúc trong phòng thi rối quá tớ làm thế này, hơi dài...
$P=\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}} \geqslant \sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1} (AM-GM) \geqslant \sqrt{(a+b+c)^2+(1+1+1)^2} (Minkowsky) \geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)+9}=2\sqrt{3} \Rightarrow P_{min}=2\sqrt{3} \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
P/s: Còn mấy bài nữa không ai làm à...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mybubulov3: 24-06-2011 - 13:07


#5 .::skyscape::.

.::skyscape::.

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Đã gửi 24-06-2011 - 14:23

Lúc trong phòng thi rối quá tớ làm thế này, hơi dài...
$P=\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}} \geqslant \sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1} (AM-GM) \geqslant \sqrt{(a+b+c)^2+(1+1+1)^2} (Minkowsky) \geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)+9}=2\sqrt{3} \Rightarrow P_{min}=2\sqrt{3} \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
P/s: Còn mấy bài nữa không ai làm à...

Kq của cậu giổng của tớ , nhưng hinh như tớ vẫn ngắn hơn tí

#6 mybest

mybest

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Đến từ:xa tận chân trời gần ngay trước mặt

Đã gửi 24-06-2011 - 15:07

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) $(x^2-4x)^2-4(x-2)^2+19=0$
b) $\left\{\begin{array}{l}x^2+xy=2\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=x+\dfrac{2}{x+y}\end{array}\right.$

Câu 2. (3 điểm) Trong hệ trục toạ độ $Oxy$, cho parabol $(P): y=\dfrac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): mx-y+1=0$ ($m$ là tham số).
a) Chứng tỏ $(d)$ luộn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
b) Định $m$ để tam giác $OAB$ có diện tích bằng $\dfrac{3}{2}$.

Câu 3. (3 điểm)
a) Tìm đa thức dư khi chia $x^6$ cho $x^2-x-1$.
b) Giả sử $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-x-1=0$. Tính giá trị của biểu thức
$A=(x_1^{2011}-x_1^{2012}+x_1^{2008}+x_1^{2009}+x_1^6-5+x_2)(x_2^{2011}-x_2^{2012}+x_2^{2008}+x_2^{2009}+x_2^6-5+x_1)$

Câu 4. (2 điểm) Tìm các số nguyên $x, y$ thoả: $5x^2+y^2-2xy+2x-6y+1<0$.

Câu 5. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Từ điểm $D$ trên cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(O)$, ta kẻ đường thẳng vuông góc với $AD$, đường thẳng này cắt cạnh $BC$ tại $M$. Đường trung trực của $DM$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $AEMF$ là hình bình hành.

Câu 6. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ có hai đường phân giác trong $BD$ và $CE$. $M$ là một điểm bất kỳ trên đoạn $DE$. Gọi $H, K, L$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên các cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh $MH=MK+ML$.

Câu 7. (3 điểm) Cho $a, b, c$ là ba số dương thoả điều kiện $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}$

HẾT

Mọi người làm giúp mình câu 2b và câu 3 với

#7 mybubulov3

mybubulov3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 24-06-2011 - 17:09

Mọi người làm giúp mình câu 2b và câu 3 với

Câu 2b thì từ cái pt hoành độ giao điểm, cậu suy ra A, B nằm ở 2 phía đối với trục tung và ở phía trên trục hoành (không biết gọi là góc phần tư thứ mấy ;) ). Gọi C là giao điểm (d) với trục tung, suy ra C(0;1); $S_{\triangle OAB}=S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OBC}$. Đến đây thì kẻ đường cao của 2 tam giác + Viét là ra :D .
Câu 3a thì đặt tính chia đa thức thôi.
Câu 3b thì $x_1, x_2$ là nghiệm $x^2-x-1=0 \Rightarrow x_1^2-x_1-1=x_2^2-x_2-1=0$, + câu a suy ra $x_1^6=(x_1^2-x_1-1)a+b=b$ (với a,b lần lượt là đa thức thương và đa thức dư) . Thêm bớt $x_1^{2010} vào x_1^{2011}-x_1^{2012}+x_1^{2008}+x_1^{2009}$ đặt nhân tử chung là $x_1^2-x_1-1=0$. Tương tự với thừa số sau. Sau đó thì đơn giản rồi :geq.
P/s: ai làm giúp câu 4 + 2 bài hình với....

#8 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4583 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 24-06-2011 - 17:43

Bài 4: tớ làm vầy mà không biết có đúng không thì thử chọn khá nhiều.
$5x^2+y^2-2xy+2x-6y+1<0$

$\Leftrightarrow y^2 -2y(x+3)+(x+3)^2+4x^2-4x+2 -8 <0 0$

$\Leftrightarrow (y-x-3)^2+2(x-1)^2 <8$

$\Rightarrow 2(x-1)^2 <8 \Rightarrow (x-1)^2 <4 \Rightarrow (x-1)^2 \in \left\{ {0;1} \right\} $
Tới đây thử chọn
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#9 snowangel1103

snowangel1103

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-06-2012 - 08:47

4/
Đặt f(y) = y2 – 2y(x + 3) + 5x2 + 2x + 1, ta có f(y) < 0 (2)
Xem (2) là một tam thức bậc hai theo y có hệ số a = 1 > 0
Ta có : $\Delta$ = (x + 3)2 – 4(5x2 + 2x + 1)
= x2 + 6x + 9 – 20x2 – 8x – 4 = - 19x2 – 2x + 5 = - [(x + 1)2 + 18x2] + 6
Nhận xét, nếu x $\neq$ 0 (x $\epsilon$ Z), thì $\Delta$ < 0. Khi đó f(y) > 0, $\forall$ y , mâu thuẫn với (2).
Do đó x = 0.
Thay x = 0 vào (1): y2 – 6y + 1 < 0 $\Leftrightarrow$  (y – 3)2 < 8,
Vì y $\epsilon$ Z, suy ra  $\left | y-3 \right |$ $\epsilon$ {0 ; 1 ; 2} $\Leftrightarrow$ (y – 3) $\epsilon$ {0 ; 1;-1;-2 ; 2}
$\Leftrightarrow$ y $\epsilon$ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Vậy các giá trị nguyên của x, y thỏa mãn (1) là:
x = 0 ; y $\epsilon$ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi snowangel1103: 14-06-2012 - 08:48


#10 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 30-01-2014 - 19:19

 

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) $(x^2-4x)^2-4(x-2)^2+19=0$
b) $\left\{\begin{array}{l}x^2+xy=2\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=x+\dfrac{2}{x+y}\end{array}\right.$

Câu 2. (3 điểm) Trong hệ trục toạ độ $Oxy$, cho parabol $(P): y=\dfrac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): mx-y+1=0$ ($m$ là tham số).
a) Chứng tỏ $(d)$ luộn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
b) Định $m$ để tam giác $OAB$ có diện tích bằng $\dfrac{3}{2}$.

Câu 3. (3 điểm)
a) Tìm đa thức dư khi chia $x^6$ cho $x^2-x-1$.
b) Giả sử $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-x-1=0$. Tính giá trị của biểu thức
$A=(x_1^{2011}-x_1^{2012}+x_1^{2008}+x_1^{2009}+x_1^6-5+x_2)(x_2^{2011}-x_2^{2012}+x_2^{2008}+x_2^{2009}+x_2^6-5+x_1)$

Câu 4. (2 điểm) Tìm các số nguyên $x, y$ thoả: $5x^2+y^2-2xy+2x-6y+1<0$.

Câu 5. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Từ điểm $D$ trên cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(O)$, ta kẻ đường thẳng vuông góc với $AD$, đường thẳng này cắt cạnh $BC$ tại $M$. Đường trung trực của $DM$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $AEMF$ là hình bình hành.

Câu 6. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ có hai đường phân giác trong $BD$ và $CE$. $M$ là một điểm bất kỳ trên đoạn $DE$. Gọi $H, K, L$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên các cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh $MH=MK+ML$.

Câu 7. (3 điểm) Cho $a, b, c$ là ba số dương thoả điều kiện $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}$

HẾT

 

3a đa thức dư là $8x+5$



#11 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 18-04-2014 - 22:51

Không có ý spam nhưng ai giải câu hình với






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh