- Cho biểu thức $P=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(1+\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\right).$
Rút gọn $P.$ Tìm $x$ để $P\le 0.$ - Cho phương trình $x^2-2(m+2)x+2m+2=0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền có độ dài là $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
- Giải phương trình $\sqrt{x-3+\sqrt{2x-7}}+\sqrt{x+1+3\sqrt{2x-7}}=9\sqrt{2}.$
- Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}x^2+4y^2=4\\4xy+x+2y=2\end{aligned}\right..$
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm $O.$ Các đường cao $AD,BE,CF,\,(D\in BC,E\in CA,F\in AB).$ Gọi $I,J,K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $AEF,BFD,CDE.$
- Chứng minh $DI,EJ,FK$ đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
- Chứng minh $AI,BJ,CK$ đồng quy tại $O.$
- Gọi $M,N$ là hình chiếu vuông góc hạ từ $D$ xuống $AB,AC;\,P,Q$ lần lượt là hính chiếu vuông góc hạ từ $E$ xuống $BC,BA;\,R,S$ lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ $F$ xuống $CA,CB.$ Chứng minh $M,N,P,Q,R,S$ cùng nằm trên một đường tròn.
- Chứng minh $a^3+b^3\ge ab(a+b)\;\forall a,b\ge 0.$
- Cho $a,b,c\ge 0$ và $abc=\dfrac{9}{4}.$ Chứng minh $a^3+b^3+c^3>a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}.$
- Tìm số dư của $\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^{2011}\right]$ khi chia cho $3,$ với $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x.$
Trong bảng $4\,\text{x}\,4$ ô vuông có 1 trong 8 ô ở biên nhưng không phải là góc của bảng điền số $-1$ và 15 ô còn lại điền số $1.$ Một lượt, chọn 1 hàng hoặc 1 cột hoặc 1 đường chéo tùy ý (kể cả đường chéo chỉ gồm 1 ô góc), sau đó đổi dấu tất cả các ô trong đó. Hỏi có thể đến một lúc nào đó thu được tất cả các ô trong bảng đều là số $1$ không?
P\S: De nay co bai BDT giong chuyen VP!