Đến nội dung

Hình ảnh

Tản mạn BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 436 trả lời

#401
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 161: Cho hai số dương $x, y$ thỏa mãn $12{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=5.$
Chứng minh rằng $$x+y+\frac{1}{xy}\ge \frac{7}{2}.$$
Đề thi thử Đại học khối A năm 2012 - lần 2 - trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)
Bài 162: Cho các số dương $a,b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3.$
Chứng minh rằng $$a\sqrt[3]{1-b+c}+b\sqrt[3]{1-c+a}+c\sqrt[3]{1-a+b}\le 3.$$
Đề thi thử Đại học khối B năm 2012 - lần 2 - trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#402
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 163: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\geq \frac{3}{2}$$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#403
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Bài 161: Cho hai số dương $x, y$ thỏa mãn $12{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=5.$
Chứng minh rằng $$x+y+\frac{1}{xy}\ge \frac{7}{2}.$$
Đề thi thử Đại học khối A năm 2012 - lần 2 - trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)
Bài 162: Cho các số dương $a,b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3.$
Chứng minh rằng $$a\sqrt[3]{1-b+c}+b\sqrt[3]{1-c+a}+c\sqrt[3]{1-a+b}\le 3.$$
Đề thi thử Đại học khối B năm 2012 - lần 2 - trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)

Giải :
Bài 161
Ta có :$$5 = 4x^2 + 4x^2 + 4x^2 + y^2 + y^2 \ge 5\sqrt[5]{64.x^6y^4}\Leftrightarrow x^3y^2 \le \dfrac{1}{8}$$
Ta có $$x + y + \dfrac{1}{xy} = x + \dfrac{y}{2} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{1}{4xy} + \dfrac{1}{4xy} + \dfrac{1}{4xy} + \dfrac{1}{4xy}\ge 7\sqrt[7]{\dfrac{xy^2}{2^2.4^4.x^4y^4}}$$ $$ = \dfrac{7}{\sqrt[7]{4^5.x^3y^2}} \ge \dfrac{7}{\sqrt[7]{4^5.\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{7}{2}$$
Bài 162.
Áp dụng $AM-GM$ ta có :
$$a\sqrt[3]{1 - b + c} = \sqrt[3]{a.a.(a - ab + ac)} \le \dfrac{a + a + a - ab + ac}{3} = \dfrac{3a - ab + ac}{3}$$
Nên $$VT \le \dfrac{3(a + b + c)}{3} = a + b + c$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 28-03-2012 - 22:30

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#404
tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Bài 163: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\geq \frac{3}{2}$$

Có:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b}$
$=\frac{a^{4}}{b^{2}a+ac}+\frac{b^{4}}{c^{2}b+ab}+\frac{c^{4}}{a^{2}c+bc}$
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c+ca+ab+bc} $
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}}{2}+\frac{c^{2}b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{a^{2}c^{2}+a^{2}}{2}+ca+ab+bc}$
$= \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}b^{2}+c^{2}b^{2}+a^{2}c^{2})+(a+b+c)^{2}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+\frac{(a+b+c)^{4}}{9}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\geq \frac{3}{2}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 31-03-2012 - 08:05

Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#405
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Hưởng ứng lời kêu gọi của Kiên , Mình xin tiếp tực với một số bài toán sau :
Bài 164.
Cho các số thực bất kì $a,b,c$ .Chứng minh rằng :
$$a(a+b)^3+b(b+c)^3)+c(c+a)^3\ge 0$$
Bài 165.
'Cho các số thực $x\ge y\ge z>0$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\ge2\left (x^2+y^2+z^2\right ) -\left (xy+yz+zx\right )$$

VMO 1991


Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#406
huou202

huou202

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết
Bài 166
Cho các số thực không âm x,y,z và không có 2 số nào đồng thời bằng 0 .Chứng minh
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$

#407
reddevil123

reddevil123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Bài 166
Cho các số thực không âm x,y,z và không có 2 số nào đồng thời bằng 0 .Chứng minh
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$


Giả sử có 1 số bằng 0, không mất tính tổng quát giả sử x=0 ta cần chứng minh:
$$\begin{aligned} & \frac{y}{z} + \frac{z}{y} + 4 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 6 \\ \Leftrightarrow& \frac{y^2+z^2}{yz} + 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} + 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 6 \end{aligned} $$
Mà điều này đúng theo BĐT AM-GM cho 3 số dương : $$ \frac{y^2+z^2}{yz} + 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} + 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{y^2+z^2}{yz} . 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} . 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}}} = 6 $$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $$ \frac{y^2+z^2}{yz} =2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \Leftrightarrow y=z $$

Nếu $x,\ y,\ z>0$ thì ta có: $$ \dfrac{y}{z+x}+\dfrac{x}{y+z}+ \dfrac{z}{x+y} = \dfrac{y^2}{yz+xy}+\dfrac{x^2}{xy+xz}+ \dfrac{z^2}{xz+yz} > \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} $$
Lại theo BĐT AM-GM thì ta có: $$ \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} + 2\sqrt{\frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}} + 2\sqrt{\frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}} \ge 3.2 = 6 \text{(điều phải chứng minh)} $$
Phép chứng minh hoàn tất!
Đẳng thức xảy ra khi: 1 số bằng 0, 2 số còn lại bằng nhau.

Nguồn: boxmath.vn
________________________nản______________________

#408
huou202

huou202

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết
Vẫn còn cách khác ngắn hơn bạn ạ , các bạn tiếp tục suy nghĩ nha

#409
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 167: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=xyz$ . CMR:
$$xy+zy+zx+9\geq 4(x+y+z)$$
Đề thi thử Trường THPT Trần Hưng Đạo Hưng Yên 2012

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 29-04-2012 - 09:12

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#410
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Bài 165:

Xin trả lễ Lâm và Tú bài này:

Bài 8:Cho $x \ge y \ge z > 0$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y} \ge xy + yz + xz$


Chém luôn :
Theo BCS thì :
$(\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y})(\dfrac{{x^2}z}{y}+\dfrac{{y^2}x}{z}+\dfrac{{z^2}y}{x}) \ge (x^2+y^2+z^2)^2$(1)
Mà $ x \ge y \ge z$
Thế nên :
$\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y}-(\dfrac{{x^2}z}{y}+\dfrac{{y^2}x}{z}+\dfrac{{z^2}y}{x}) \ge \dfrac{(xy+yz+xz)(x-y)(y-z)(x-z)}{xyz} \ge 0$(2)
Từ (1),(2) thì :
$(\dfrac{{{x^2}y}}{z} + \dfrac{{{y^2}z}}{x} + \dfrac{{{z^2}x}}{y})^2 \ge (x^2+y^2+z^2)^2 \ge (xy+yz+zx)^2 $
Từ đó suy ra dpcm
Đây là bài VMO 1991 , có lẽ anh vietfrog đã cố tình thêm vài BĐT $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$ đẩ làm cho BĐT ban đầu khó hơn phải không , hihi


Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#411
Jelouis

Jelouis

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Bài 167: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=xyz$ . CMR:
$$xy+zy+zx+9\geq 4(x+y+z)$$
Đề thi thử Trường THPT Trần Hưng Đạo Hưng Yên 2012



Lâu quá mới được onl , toàn cắm đầu vào thi , chán ghê =.=!!
Ta có :
$xy+yz+zx+9 \geq 4\sqrt[4]{9x^2y^2z^2} = 4 \sqrt{3xyz} $
$= 4\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh :
$\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} \geq x+y+z .$
Điều này đúng theo $Cauchy-Schwarz.$
$\Longrightarrow$ điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jelouis: 02-05-2012 - 13:26

Hope for the best , prepare for the worst.!!!

#412
Jelouis

Jelouis

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
Bài 168 : Cho các số thực dương $a,b,c$ thay đổi thoả mãn $a+b+c=1.$Chứng minh rằng :
$\frac{a+b^2+c^3}{b+c}+\frac{b+c^2+a^3}{c+a}+\frac{c+a^2+b^3}{a+b} \geq \frac{13}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 21:50
thiếu đề

Hope for the best , prepare for the worst.!!!

#413
werfdsa

werfdsa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
cho em hỏi:
$\left(a+b+c\right )^{2}\geq \left( ac+ab+bc\right )$
phải không ạ?

@vietfrog: Không nên hỏi những câu let tẻ như thế này nhé :D.
P/s: ${\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3.\left( {xy + yz + xz} \right)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 16:52


#414
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Bài 170.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$ . Chứng ,minh rằng :
$$\dfrac{1+ab^2}{c^3}+\dfrac{1+bc^2}{a^3}+\dfrac{1+ca^2}{b^3}\ge \dfrac{18}{a^3+b^3+c^3}$$
Bài 171.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#415
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

Bài 170.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$ . Chứng ,minh rằng :
$$\dfrac{1+ab^2}{c^3}+\dfrac{1+bc^2}{a^3}+\dfrac{1+ca^2}{b^3}\ge \dfrac{18}{a^3+b^3+c^3}$$

Lời giải
Áp dụng lần lượt BĐT Cauchy -Schwarz , Minkowsky ,AM-GM, Giả thiết ta có: :D
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{1 + a{b^2}}}{{{c^3}}} + \frac{{1 + b{c^2}}}{{{a^3}}} + \frac{{1 + c{a^2}}}{{{b^3}}} \ge \frac{{{{\left( {\sqrt {1 + a{b^2}} + \sqrt {1 + b{c^2}} + \sqrt {1 + c{a^2}} } \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} \ge \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {b\sqrt a + c\sqrt b + a\sqrt c } \right)}^2}} } \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}}\\
{ \ge \frac{{{3^2} + {{\left( {3\sqrt[3]{{abc\sqrt {abc} }}} \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} = \frac{{{3^2} + {3^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} = \frac{{18}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}}
\end{array}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 17:16

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#416
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

Bài 171.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz và AM-GM ta có:
\[a\sqrt b + b\sqrt c + c\sqrt a \le \sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + ac + bc} \right)} = \sqrt {ab + ac + bc} \le \sqrt {\frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
Dấu $=$ khi $a=b=c=1/3$

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#417
Jewellery

Jewellery

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Bài 171.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-Cop-ski ta có:
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ac)}=\sqrt{ab+bc+ac}$$
Mà $$(ab+bc+ac)\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$$
Nên $$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Điều phải chứng minh $\square$

#418
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Lâu lắm không làm BĐT ở đây, dạo này cũng hơi bận :D. Cảm ơn Huy và Kiên cùng mọi người đã duy trì topic. :D
Xin góp vài bài.
Bài 172: ( Bài này chắc cũng quen nhưng chế đi tí :D )
Cho $a,b,c>0;a+b+c=k$ với $k$ là số thực.
Tìm GTNN của biểu thức: \[P = \frac{{a + 1}}{{{b^2} + 1}} + \frac{{b + 1}}{{{c^2} + 1}} + \frac{{c + 1}}{{{a^2} + 1}}\]
Bài 173: (Sưu tầm )
Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác nhau. Chứng minh rằng:
\[3m < a + b + c - \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < a + b + c + \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < 3M\]
Trong đó: $m = Min\{ a,b,c\} ;M = Max\{ a,b,c\} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 17:38

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#419
Jelouis

Jelouis

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Bài 168 : Cho các số thực $a,b,c$ thay đổi thoả mãn $a+b+c=1.$Chứng minh rằng :
$\frac{a+b^2+c^3}{b+c}+\frac{b+c^2+a^3}{c+a}+\frac{c+a^2+b^3}{a+b} \geq \frac{13}{6}$


Lời giải :
Ta dễ dàng nhận ra , đây là bài tìm giá trị nhỏ nhất cua ba bất đẳng thức nhỏ :

$A = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} ( Nesbit )$
$B=\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2} =\frac{1}{2}$
$C=\frac{c^3}{b+c}+\frac{a^3}{c+a}+\frac{b^3}{a+b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+c^2+ac+a^2+ab+b^2}$
$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$ $\geq \frac{a+b+c}{6}=\frac{1}{6}$
$A+B+C=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$
$\Longrightarrow$ điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jelouis: 02-05-2012 - 18:48

Hope for the best , prepare for the worst.!!!

#420
Jewellery

Jewellery

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Bài 173: (Sưu tầm )
Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác nhau. Chứng minh rằng:
\[3m < a + b + c - \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < a + b + c + \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < 3M\]
Trong đó: $m = Min\{ a,b,c\} ;M = Max\{ a,b,c\} $

#418 em làm trùng ^_^ anh xóa hộ
Chả biết làm như thế này được không
Giả sử $a<b<c$
Ta quy về chứng minh BĐT sau
\[
3a < a + b + c - \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} < 3b < a + b + c + \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} < 3c
\]
Xét hàm số $f(x) = (x - a)(x - b)(x - c) \Rightarrow f(a) = f(b) = f© = 0$
Theo định lý Lagrage tồn tại $a < x_1 < b < x_2 < c$ sao cho $f(a) - f(b) = (a - b)f'(x_1 )$
\[
f© - f(b) = (c - b)f'(x_1 ) \Rightarrow f'(x_1 ) = f'(x_2 ) = 0
\]
\[
f'(x) = 3x^2 - 2(a + b + c)x + ab + bc + ca
\]
\[
\Rightarrow x_1 = \frac{{a + b + c - \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} }}{3}
\]
\[
x_2 = \frac{{a + b + c + \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} }}{3}
\]
Do đó từ $a < x_1 < b < x_2 < c$
Suy ra $$3a < a + b + c - \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} < 3b < a + b + c + \sqrt {a^2+ b^2 + c^2 ab -bc -ca} < 3c$$
Suy ra điều phải chứng minh :icon10:.
@vietfrog: Lời giải bài 173 của bạn rất hay. :D. Ngoài ra bài làm ở #418 hoàn toàn đúng nên mình sẽ không xóa đâu :D.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 21:56





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh