Đến nội dung

Hình ảnh

Tản mạn BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 436 trả lời

#421
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

Lời giải :
Ta dễ dàng nhận ra , đây là bài tìm giá trị nhỏ nhất cua ba bất đẳng thức nhỏ :

$A = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} ( Nesbit )$
$B=\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2} =\frac{1}{2}$
$C=\frac{c^3}{b+c}+\frac{a^3}{c+a}+\frac{b^3}{a+b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+c^2+ac+a^2+ab+b^2}$
$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$ $\geq \frac{a+b+c}{6}=\frac{1}{6}$
$A+B+C=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$
$\Longrightarrow$ điều phải chứng minh

$a,b,c$ đã dương đâu mà áp dụng như vậy. Xem lại nhé! :D

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#422
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Thêm ít bài cho phong phú :D
Bài 174.
Cho $a,b,c,d \in \left (0, \dfrac{1}{2}\right ]$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{abcd}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}\le \dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{(1-a)^4+(1-b)^4+(1-c)^4+(1-d)^4}$$
Bài 175.
Cho $n \ge 1$ . Chứng minh rằng :
$$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt{...+\sqrt{2n-1}}}}} <2$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#423
Jelouis

Jelouis

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

$a,b,c$ đã dương đâu mà áp dụng như vậy. Xem lại nhé! :D


Xin lỗi ạ . thiếu đề ;)
đây là một câu trong đề thi thử , nguyên văn đề của nó là :
Cho các số thực dương $a,b,c$ thay đổi thoả mãn $a+b+c=1 $. Chứng minh rằng :
$\frac{a+b^2}{b+c}+\frac{b+c^2}{a+c}+\frac{c+a^2}{a+b} \geq 2$

@vietfrog: Chế đề hả :D. Anh đã sửa đề! Mọi người thử xem xét xem Bài 168 nếu đề cho là 3 số thực thì có giải được không và giải như thế nào nhé. :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 02-05-2012 - 21:54

Hope for the best , prepare for the worst.!!!

#424
nhana1

nhana1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Bài 176 : cho a,b,c>0 vvà abc=1. tìm min P

p=
$\frac{b}{1+ab}+\frac{c}{1+bc}+\frac{a}{1+ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhana1: 14-06-2012 - 21:47

Hình đã gửi

Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?

#425
kainguyen

kainguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

Bài 176 : cho a,b,c>0 vvà abc=1. tìm min P

p=
$\frac{b}{1+ab}+\frac{c}{1+bc}+\frac{a}{1+ca}$



Do $abc=1$ nên không mất tính tổng quát, ta đặt: $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$

Khi đó, ta có:

$P=\frac{b}{1+ab}+\frac{c}{1+bc}+\frac{a}{1+ca}$

$=\frac{\frac{y}{z}}{1+\frac{x}{y}.\frac{y}{z}}+ \frac{\frac{z}{x}}{1+\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}+ \frac { \frac{x}{y}}{1+\frac{z}{x}.\frac{x}{y}}$

$=\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}$

Theo Cauchy - Schwarz, ta có:

$P \geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Vậy $MinP=\frac{3}{2}$ tại $a=b=c=1$

#426
nhana1

nhana1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Bài 177:cho a,b,c>0 và a+b+c=$\frac{3}{4}$ tìm MinP

P=
$\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$
Bài178 choa,b,c>0 a2 +b2 +c2=3. Tìm min P

P=
$\frac{a^3{}}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{b^3{}}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{c^3{}}{\sqrt[3]{c+3a}}$
Hình đã gửi

Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?

#427
kainguyen

kainguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

Bài 177:cho a,b,c>0 và a+b+c=$\frac{3}{4}$ tìm MinP

P=
$\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$



Theo AM - GM, ta có:

$P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{(a+3b)(b+3c)(c+3a)}}}$

Cũng theo AM - GM, ta có:

$(a+3b)(b+3c)(c+3a)\leq (\frac{4(a+b+c)}{3})^3=1$

Từ đây, ta suy ra: $P\geq 3$

Vậy $MinP=3$ tại $a=b=c=\frac{1}{4}$

#428
kainguyen

kainguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

Bài178 choa,b,c>0 a2 +b2 +c2=3. Tìm min P

P=
$\frac{a^3{}}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{b^3{}}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{c^3{}}{\sqrt[3]{c+3a}}$



Theo Cauchy - Schwarz, ta có:

$P=\frac{a^3}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{b^3}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{c^3}{\sqrt[3]{c+3a}}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a\sqrt[3]{a+3b}+b\sqrt[3]{b+3c}+c\sqrt[3]{c+3a}}$

Cũng theo Cauchy - Schwarz, ta có:

$(a\sqrt[3]{a+3b}+b\sqrt[3]{b+3c}+c\sqrt[3]{c+3a})^2\leq (a^2+b^2+c^2)(\sqrt[3]{(a+3b)^2}+\sqrt[3]{(b+3c)^2}+\sqrt[3]{(c+3a)^2})=3(\sqrt[3]{(a+3b)^2}+\sqrt[3]{(b+3c)^2}+\sqrt[3]{(c+3a)^2})$

Theo AM - GM, ta có:

$\sqrt[3]{(a+3b)^2}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\sqrt[3]{(a+3b)(a+3b).4}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{4}}.\frac{2a+6b+4}{3} $

Tương tự với các biểu thức còn lại, cộng theo từng vế, ta được:

$\sqrt[3]{(a+3b)^2}+\sqrt[3]{(b+3c)^2}+\sqrt[3]{(c+3a)^2}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{4}}.\frac{8(a+b+c)+12}{3}\leq \frac{12}{\sqrt[3]{4}}$

do $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow a+b+c\leq 3$

Từ đây, suy ra:

$(a\sqrt[3]{a+3b}+b\sqrt[3]{b+3c}+c\sqrt[3]{c+3a})^2\leq 3.\frac{12}{\sqrt[3]{4}}=\frac{36}{\sqrt[3]{4}}$

$\Rightarrow a\sqrt[3]{a+3b}+b\sqrt[3]{b+3c}+c\sqrt[3]{c+3a}\leq \frac{6}{\sqrt[6]{4}}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{\frac{6}{\sqrt[6]{4}}}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

Vậy $MinP=\frac{3}{\sqrt[3]{4}} $ tại $a=b=c=1$.

#429
pnhungqt

pnhungqt

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Bài178 choa,b,c>0 a2 +b2 +c2=3. Tìm min P

P=
$\frac{a^3{}}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{b^3{}}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{c^3{}}{\sqrt[3]{c+3a}}$

Lời giải:
Ta có Theo BĐT Cauchy:
$\sqrt[3]{16}.\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{4.4.(a+3b)}\leq \frac{a+3b+8}{3}\Leftrightarrow \sqrt[3]{a+3b}\leq \frac{a+3b+8}{3\sqrt[3]{16}}$$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{3\sqrt[3]{16}.a^{3}}{a+3b+8}=\frac{3\sqrt[3]{16}.a^{4}}{a^{2}+3ab+8a}$
Tương tự ta cũng có các BĐT:$\frac{b^{3}}{\sqrt[3]{b+3c}}\geq \frac{3\sqrt[3]{16}.b^{4}}{b^{2}+3bc+8b}$ và $\frac{c^{3}}{\sqrt[3]{c+3a}}\geq \frac{3\sqrt[3]{16}.c^{4}}{c^{2}+3ca+8c}$
Vậy theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$P=\sum \frac{a^{3}}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq \sum \frac{3\sqrt[3]{16}.a^{4}}{a^{2}+3ab+8a}\geq 3\sqrt[3]{16}.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca)+8(a+b+c)}$
Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho các bộ 3 số ta có:
$3(ab+bc+ca)\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$8(a+b+c)\leq 8\sqrt{(1^{2}+1^{2}+1^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=8\sqrt{3.3}=24$
Vậy $P\geq 3\sqrt[3]{16}.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+24}=\frac{3\sqrt[3]{16}.9}{4.3+24}\doteq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Vậy $Min P=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ tại $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pnhungqt: 15-06-2012 - 21:54


#430
nhana1

nhana1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Bài 179: cho a,b,c>0 cm

$\frac{a^{2}}{b^{5}}+ \frac{b^{2}}{c^{5}}+\frac{c^{2}}{d^{5}}+\frac{d^{2}}{a^{}5}\geq \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{}3}+\frac{1}{d^{3}}$
Hình đã gửi

Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?

#431
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Bài 179: cho a,b,c>0 cm

$\frac{a^{2}}{b^{5}}+ \frac{b^{2}}{c^{5}}+\frac{c^{2}}{d^{5}}+\frac{d^{2}}{a^{}5}\geq \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{}3}+\frac{1}{d^{3}}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$$\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{a^{3}} \geq \frac{5}{b^3}$$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 15-06-2012 - 23:08

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#432
nhana1

nhana1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Bài180 cho a,b,c $\in$ R. Cm

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Hình đã gửi

Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?

#433
kainguyen

kainguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

Bài180 cho a,b,c $\in$ R. Cm

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$



Bạn ơi, bđt này đúng với $a,b,c>0$ thôi (cứ thử với $a=-3;b=-2;c=-1$ là rõ :) )

Ta sẽ chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$

Thật vậy, ta có:

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$

$\Rightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$

đúng do $a,b,c >0$

Tương tự với các biểu thức khác, cộng lại ta được đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 16-06-2012 - 10:02


#434
nhana1

nhana1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Bạn ơi, bđt này đúng với $a,b,c>0$ thôi (cứ thử với $a=-3;b=-2;c=-1$ là rõ :) )

Ta sẽ chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$

Thật vậy, ta có:

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$

$\Rightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$

đúng do $a,b,c >0$

Tương tự với các biểu thức khác, cộng lại ta được đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$


bạn ơi theo mình nghĩ thì a,b,c thuộc R là đúng mà !
____
Theo mình là a,b,c>0 mới đúng đó bạn ạ. :closedeyes:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-06-2012 - 12:39

Hình đã gửi

Hỡi nhân gian ai là người giỏi toán
Xin giải cho tôi bài toán về tình yêu
Giả thiết cho rằng tôi yêu người đó
Chứng minh rằng người đó cũng yêu tôi?

#435
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Bài toán 181.
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng :
$$3\sqrt[9]{\dfrac{a^9+b^9+c^9}{3}}\ge \sqrt[10]{\dfrac{a^{10}+b^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\dfrac{b^{10}+c^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\dfrac{c^{10}+a^{10}}{2}}$$
Bài toán 182.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\dfrac{(4\sqrt{2}-3)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 4\sqrt{2}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#436
MaiAn2604

MaiAn2604

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Ta có $2=a+\frac{2*b}{2}+\frac{3*c}{3}+\frac{6*36abc}{6}\geq 12\sqrt[12]{\frac{36^6*a^7*b^8*c^9}{2^2*3^3*6^6}}=12\sqrt[12]{432*P}
 

cho mình hỏi tại sao bạn lại suy ra chỗ này. 



#437
MaiAn2604

MaiAn2604

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Ta có $2=a+\frac{2*b}{2}+\frac{3*c}{3}+\frac{6*36abc}{6}\geq 12\sqrt[12]{\frac{36^6*a^7*b^8*c^9}{2^2*3^3*6^6}}=12\sqrt[12]{432*P}\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{11^{12}*432}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{1}{6},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{2}$

cho mình hỏi cái đầu tiên bạn suy ra ntn vậy. dấu $\geq$ đầu tiên ấy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MaiAn2604: 09-09-2014 - 23:04





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh