Chủ đề này có 436 trả lời

[vietfrog]

Thêm một Bất đẳng thức nữa khá hay:
Đây là một câu trong đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2008-2009:
Bài 21:Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn :$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 9 \\ x \ge 5;x + y \ge 8 \\ \end{array} \right.$
Chứng minh rằng : $xyz \le 15$
(sơ sơ bài này cũng có 3 cách )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:25

[loveyou]

Thêm một Bất đẳng thức nữa khá hay:
Đây là một câu trong đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2008-2009:
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn :$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 9 \\ x \ge 5;x + y \ge 8 \\ \end{array} \right.$
Chứng minh rằng : $xyz \le 15$
(sơ sơ bài này cũng có 3 cách )

Bài này cũ rồi thây, vô đây (#12 & #17) cũng có mấy người giải rồi http://diendantoanho...?...=42147&st=0, đều vài dòng cả, mỗi tội mất Text, Quote để trả lời thì nhìn thấy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loveyou: 29-07-2011 - 15:24

[vietfrog]

Thử sức với bài Bất đẳng thức này nữa (dùng AM-GM)
Bài 22:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn :$21ab + 2bc + 8ac \le 12$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge \dfrac{{15}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:25

[alex_hoang]

Thử sức với bài Bất đẳng thức này nữa (dùng AM-GM)
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn :$21ab + 2bc + 8ac \le 12$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge \dfrac{{15}}{2}$

Bài này là đề thi hsg quốc gia bài toán tổng quát là đề thi VMEO

[Crystal]

Thử sức với bài Bất đẳng thức này nữa (dùng AM-GM)
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn :$21ab + 2bc + 8ac \le 12$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge \dfrac{{15}}{2}$

Sao lại cho x,y,z mà ở dưới là a,b,c. Bạn nhầm rồi. Mình làm theo a,b,c.

Đặt $x = \dfrac{1}{a},\,y = \dfrac{1}{b},\,z = \dfrac{1}{c}$ bài toán trở thành:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $2x + 8y + 21z \le 12xyz$. Chứng minh rằng: $x + 2y + 3z \ge \dfrac{{15}}{2}\,\,\,\,(1)$

Từ giả thiết $z(12xy - 21) \ge 2x + 8y > 0$, từ đó $z \ge \dfrac{{2x + 8y}}{{12xy - 21}}$ với $x > \dfrac{7}{{4y}}\,\,\,(2)$.
Suy ra VT(1)$\ge x + 2y + \dfrac{{2x + 8y}}{{4xy - 7}}\,\,\,(3)$.

Xét hàm số $f(x) = x + \dfrac{{2x + 8y}}{{4xy - 7}} = \dfrac{{4x^2 y - 5x + 8y}}{{4xy - 7}}$ với biến $x > \dfrac{7}{{4y}}$ và y là tham số thực dương
$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{{16x^2 y^2 - 56xy - 32y^2 + 35}}{{\left( {4xy - 7} \right)^2 }}$

Trên $\left( {\dfrac{7}{{4y}}; + \infty } \right)$ thì $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = x_0 = \dfrac{7}{{4y}} + \dfrac{{\sqrt {32y^2 + 14}}}{{4y}}$ và qua $x_0 $ thì $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên f(x) đạt cự tiểu tại $x_0 $.
Suy ra $f(x) \ge f(x_0 ) = 2x_0 - \dfrac{5}{{4y}} \Rightarrow VT(1) \ge f(x) + 2y \ge f(x_0 ) + 2y = g(y)\,\,\,\,(4)$.

Xét hàm số $g(y) = 2y + \dfrac{9}{{4y}} + \dfrac{1}{2}\sqrt {32y^2 + 14}$
$ \Rightarrow g'(y) = 0 \Leftrightarrow (8y^2 - 9)\sqrt {32y^2 + 14} - 28=0$.

Đặt $t = \sqrt {32y^2 + 14} > 0$ thì pt trên trở thành $t^3 - 50t - 112 = 0$. Phương trình này có duy nhất một nghiệm dương $t = 8 \Leftrightarrow y = y_0 = \dfrac{5}{4}$.
Vậy $g'\left( {\dfrac{5}{4}} \right) = 0$. Với y>0 và qua $y_0 $ thì $g'(y)$ đổi dấu từ âm sang dương nên g(y) đạt cực tiểu tại $y_0 $. Lúc đó $g(y_0 ) = g\left( {\dfrac{5}{4}} \right) = \dfrac{{15}}{2}$.

Từ đó kết hợp với (4) suy ra VT(1) $\ge g(y) \ge g(y_0 ) = \dfrac{{15}}{2}$. Dấu "=" xảy ra với $x = 3,\,y = \dfrac{5}{4},\,z = \dfrac{2}{3}$ hay $a = \dfrac{1}{3},\,\,b = \dfrac{4}{5},\,\,c = \dfrac{3}{2}$.


P/s: Bài này có thể sử dụng pp cân bằng hệ số nhưng mình nghĩ sử dụng pp hàm số là khá đơn giản.


---------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Crystal]

Mọi người thử sức với 2 bài này nhé.
Bài 23: Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng: $10\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) - 9\left( {a^5 + b^5 + c^5 } \right) \ge 1$.

Bài 24: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\dfrac{{a + b + c}}{3} - \sqrt[3]{{abc}} \le m{\rm{ax}}\left\{ {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2 ,\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2 ,\left( {\sqrt c- \sqrt a } \right)^2 } \right\}$



--------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:26

[vietfrog]

Thử sức với bài Bất đẳng thức này nữa (dùng AM-GM)
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn :$21ab + 2bc + 8ac \le 12$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge \dfrac{{15}}{2}$

Một cách giải khác cho bài này.
Đặt :$a = 3x;b = \dfrac{5}{4}y;c = \dfrac{2}{3}z$ (chỗ này dự đoán điểm rơi trước)
Giả thiết trở thành:
$3x + 5y + 7z \le 15xyz$
Mặt khác áp dụng AM-GM ta có:
$3x + 5y + 7z \ge 15\sqrt[{15}]{{{x^3}{y^5}{z^7}}}$

$ \Rightarrow 15xyz \ge 15\sqrt[{15}]{{{x^3}{y^5}{z^7}}} \Rightarrow {x^6}{y^5}{z^4} \ge 1$
Ta có:
$P = 3x + 2.\dfrac{5}{4}y + 3.\dfrac{2}{3}z = \dfrac{1}{2}(6x + 5y + 4z) \ge \dfrac{1}{2}.15\sqrt[{15}]{{{x^6}{y^5}{z^4}}} \ge \dfrac{{15}}{2}$
Dấu = xảy ra khi $a = \dfrac{1}{3};b = \dfrac{4}{5};c = \dfrac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 31-07-2011 - 10:58

[Crystal]

Một cách giải khác cho bài này.
Đặt :$a = 3x;b = \dfrac{5}{4}y;c = \dfrac{2}{3}z$ (chỗ này dự đoán điểm rơi trước)
Giả thiết trở thành:
$3x + 5y + 7z \le 15xyz$
Mặt khác áp dụng AM-GM ta có:
$3x + 5y + 7z \ge 15\sqrt[{15}]{{{x^3}{y^5}{z^7}}}$

$ \Rightarrow 15xyz \ge 15\sqrt[{15}]{{{x^3}{y^5}{z^7}}} \Rightarrow {x^6}{y^5}{z^4} \ge 1$
Ta có:
$P = 3x + 2.\dfrac{5}{4}y + 3.\dfrac{2}{3}z = \dfrac{1}{2}(6x + 5y + 4z) \ge \dfrac{1}{2}.15\sqrt[{15}]{{{x^6}{y^5}{z^4}}} \ge \dfrac{{15}}{2}$
Dấu = xảy ra khi $a = \dfrac{1}{3};b = \dfrac{4}{5};c = \dfrac{3}{2}$

Cảm ơn bạn! Cách này khá hay nhưng việc dự đoán điểm rơi có đơn giản không bạn.

-----------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[vietfrog]

Cảm ơn bạn! Cách này khá hay nhưng việc dự đoán điểm rơi có đơn giản không bạn.

Việc dự đoán này cũng tương đối. Nhưng muốn có một lời giải đẹp thì kì công 1 chút cũng không sao mà.

[Crystal]

Việc dự đoán này cũng tương đối. Nhưng muốn có một lời giải đẹp thì kì công 1 chút cũng không sao mà.

Thế ak. Dù sao bạn đã có 1 lời giải hay!

--------------

[dark templar]

Mọi người thử sức với 2 bài này nhé.
Bài 1: Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng: $10\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) - 9\left( {a^5 + b^5 + c^5 } \right) \ge 1$.
Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\dfrac{{a + b + c}}{3} - \sqrt[3]{{abc}} \le m{\rm{ax}}\left\{ {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2 ,\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2 ,\left( {\sqrt c- \sqrt a } \right)^2 } \right\}$

Cả 2 bài đều chỉ là hệ quả của BĐT Schur bậc 3 mà thôi
P/s:Bài 2 có thể tổng quát cho n biến số và là 1 bài toán phức tạp,khá thú vị

[Crystal]

Cả 2 bài đều chỉ là hệ quả của BĐT Schur bậc 3 mà thôi
P/s:Bài 2 có thể tổng quát cho n biến số và là 1 bài toán phức tạp,khá thú vị

Giải xem nào!!!

--------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[dark templar]

Giải xem nào!!!

Chiều bạn thôi(post 1 bài trước đã,bài còn lại sẽ post sau)
Bài 2:Ta chỉ cần chứng minh BĐT sau là xong:

$a+b+c-3\sqrt[3]{abc} \le 2(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca})$

hay

$2\sum_{cyc}\sqrt{ab}-\sum_{sym}a \le 3\sqrt[3]{abc}$

Theo BĐT Schur bậc 3,ta có:

$VT \le \dfrac{9\sqrt{abc}}{\underset{sym}{\sum}\sqrt{a}} \overset{AM-GM}{\le}3\sqrt[3]{abc}=VP$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 25:Tổng quát:Cho $n$ số thực dương $a_1;a_2;...;$.Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i} -\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^{n}a_{i}} \le \max \{(\sqrt{a_{i}}-\sqrt{a_{j}})^2 \};1 \le i \neq j \le n.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:27

[Crystal]

Chiều bạn thôi(post 1 bài trước đã,bài còn lại sẽ post sau)
Bài 2:Ta chỉ cần chứng minh BĐT sau là xong:

$a+b+c-3\sqrt[3]{abc} \le 2(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca})$

hay

$2\sum_{cyc}\sqrt{ab}-\sum_{sym}a \le 3\sqrt[3]{abc}$

Theo BĐT Schur bậc 3,ta có:

$VT \le \dfrac{9\sqrt{abc}}{\underset{sym}{\sum}\sqrt{a}} \overset{AM-GM}{\le}3\sqrt[3]{abc}=VP$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng quát:Cho $n$ số thực dương $a_1;a_2;...;$.Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i} -\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^{n}a_{i}} \le \max \{(\sqrt{a_{i}}-\sqrt{a_{j}})^2 \};1 \le i \neq j \le n.$

Cảm ơn bạn nha!

-----------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[vietfrog]

Bài tiếp theo nhé. Mọi người làm xong nhớ post thêm một bài Bất đẳng thức khác.
Nghiêm cấm việc rũ bỏ trách nhiệm, làm xong thì bỏ đi
Cảnh cáo '' dark_templar '' nhớ
Bài tiếp
Bài 26:Cho $x,y>0$
thỏa mãn$x+y=1$
Tìm Min của :
$P = \dfrac{{{x^3} + {y^3} + x + y + 3xy}}{{{x^3} + {y^3}}} + \dfrac{2}{{xy.{{(x + y)}^2}}}$

P/s: Tìm dấu ''='' nhé. Không quên post thêm bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:28

[Crystal]

Bài tiếp theo nhé. Mọi người làm xong nhớ post thêm một bài Bất đẳng thức khác.
Nghiêm cấm việc rũ bỏ trách nhiệm, làm xong thì bỏ đi
Cảnh cáo '' dark_templar '' nhớ
Bài tiếp
Cho $x,y>0$
thỏa mãn$x+y=1$
Tìm Min của :
$P = \dfrac{{{x^3} + {y^3} + x + y + 3xy}}{{{x^3} + {y^3}}} + \dfrac{2}{{xy.{{(x + y)}^2}}}$

P/s: Tìm dấu ''='' nhé. Không quên post thêm bài

Ta có: $x + y = 1 \Rightarrow \left( {x + y} \right)^3 = 1 \Rightarrow x^3 + y^3 + 3xy\left( {x + y} \right) = 1 \Rightarrow x^3 + y^3 + 3xy = 1$

$\Rightarrow P = \dfrac{{2\left( {x^3 + y^3 } \right) + 6xy}}{{x^3 + y^3 }} + \dfrac{{2\left( {x^3 + y^3 + 3xy} \right)}}{{xy}}$

$= 8 + \dfrac{{6xy}}{{x^3 + y^3 }} + \dfrac{{2\left( {x^3 + y^3 } \right)}}{{xy}}\mathop \ge \limits^{C{\rm{\^o s}}i} 8 + 2\sqrt{\dfrac{{6xy}}{{x^3 + y^3 }}.\dfrac{{2\left( {x^3 + y^3 } \right)}}{{xy}}} = 8 + 4\sqrt 3 $

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{6xy}}{{x^3 + y^3 }} = \dfrac{{2\left( {x^3 + y^3 } \right)}}{{xy}} \\ x,\,y > 0,\,\,x + y = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \dfrac{{\sqrt {2\sqrt 3 } }}{{3 + \sqrt 3 }}} \right) \\ y = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {2\sqrt 3 } }}{{3 + \sqrt 3 }}} \right) \\ \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {2\sqrt 3 } }}{{3 + \sqrt 3 }}} \right) \\ y = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \dfrac{{\sqrt {2\sqrt 3 } }}{{3 + \sqrt 3 }}} \right) \\ \end{array} \right.$.

Vậy $minP = 8 + 4\sqrt 3 $.

-------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Crystal]

Bài 27:Cho $x, y, z$ là các số thực không âm và $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của hàm số $f(x,y,z) = x^n y + y^n z + z^n x\,\,,\,n \in N$.

----------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:28

[vietfrog]

Cho x, y, z là các số thực không âm và $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của hàm số $f(x,y,z) = x^n y + y^n z + z^n x\,\,,\,n \in N$.

----------------

KH�”NG THỬ SAO BIẾT!!!

Cảm ơn em đã tham gia topic này.
Bài làm
Ta có:
$f(x,y,z) = {x^n}y + {y^n}z + {z^n}x = \underbrace {x.x.x...x}_n.y + \underbrace {y.y.y...y}_n.z + \underbrace {z.z.z...z}_n.x$
Áp dụng AM-GM cho n+1 số:

$f(x,y,z) \le \dfrac{1}{{n + 1}}(nx + y) + \dfrac{1}{{n + 1}}(ny + x) + \dfrac{1}{{n + 1}}(nz + x)$
$= \dfrac{1}{{n + 1}}.(n + 1)(x + y + z) = 1$

Vậy $Maxf = 1 \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{3}; n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01-08-2011 - 11:29

[Crystal]

Cảm ơn em đã tham gia topic này.
Bài làm
Ta có:
$f(x,y,z) = {x^n}y + {y^n}z + {z^n}x = \underbrace {x.x.x...x}_n.y + \underbrace {y.y.y...y}_n.z + \underbrace {z.z.z...z}_n.x$
Áp dụng AM-GM cho n+1 số:

$f(x,y,z) \le \dfrac{1}{{n + 1}}(nx + y) + \dfrac{1}{{n + 1}}(ny + x) + \dfrac{1}{{n + 1}}(nz + x)$
$= \dfrac{1}{{n + 1}}.(n + 1)(x + y + z) = 1$

Vậy $Maxf = 1 \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{3}$

Anh ơi! Bài giải của anh không đúng rồi. Anh kiểm tra lại ạ.

---------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Crystal]

Em xin giới thiệu tiếp 1 bài
Bài 28:Xét trên miền $D = \left\{ {\left( {x,y,z,t} \right):a\left( {x^2 + y^2 } \right) + b\left( {z^2 + t^2 } \right) = 1} \right\}$, a và b là hai số dương cho trước. Tìm GTLN của hàm số $f(x,y,z,t) = (x + z)(y + t)$.

---------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-08-2011 - 20:29