Bài 1: (IMO 2001)
Gọi G={số thí sinh nữ}.B={số thí sinh nam},P={số bài toán}
p_bài toán được giải, $ p\inP$
G(p)={t/s nữ giải được p}, B(p)={t/s nam giải được p}
Giả sử $|G(p)|\le2$, $|G(p)|\le2$
Xét bảng 21x21: $ [g\inG, b\inB$, $ p\in P(g) \cap P(b)$ tô màu cho bài toán này.
KH: p màu trắng nếu $|G(p)|\le2$
p màu đen nếu $|B(p)|\le2$
- Khi đó ta có 441 ô được tô 2 màu trắng và đen
và có 1 màu được tô ít nhất bởi $[ \dfrac{441}{2}]=221$ ô.
Giả sử 221 ô đó là màu đen.
Chia 221 ô đen về 21 hàng, sẽ có ít nhất 1 hàng chứa $[\dfrac{221}{21}]=11$ ô đen
Xét $g\inG$ ở hàng có ít nhất 11 ô đen
Với mỗi một ô đen trong 11 ô đen chỉ giải được bởi nhiều nhất là 2 nam .
$[\dfrac{11}{2}]=6$ bài toán được giải bởi g
Với 6 bài toán g giải được thì sẽ có nhiều nhất 12 nam giải được => mâu thuẫn
Bài 2:(IMO...)
Giả sử 6 quốc gia là A,B,C,D,E,F
Khi đó có ít nhất 1 nước có số thành viên $>[\dfrac{1978}{6}]=330$
- Giả sử là nước A
KH các thành viên của nước A $ a_1,a_2,...,a_{330} t/m a_1<a_2<....<a_{330}$
Giả sử ko có hội viên nào mà có STT= tổng các STT của 2 hội viên thuộc cùng 1 nước với hội viên đó hoặc = 2 lần STT của 1 hội viên thuộc cùng 1 nước với hội viên đó.
Khi đó xét 329 hiệu $ a_2-a_1,a_3-a_1,...,a_{330}-a_1$
Ta có các hiệu này phân biệt và ko là STT của thành viên nào trong A
Khi đó 329 hiệu đó là STT của các thành viên trong 5 năm nước còn lại
Khi đó sẽ có ít nhất 1 nước sẽ có sô thành viên là $[\dfrac{329}{5}]=66. $
- Giả sử là nước B và được đánh số: $ b_1,b_2,...b_{66} (b_1<b_2<...<b_{66})$
Xét 65 hiệu $ b_2-b_1,...b_{66}-b_1$ và cũng ko là STT của TV nào trong B, và là STT của 65 TV thuộc 4 nước còn lại
Khi đó có ít nhất 1 nước có số TV là$[\dfrac{65}{4}]=17$
Lập luận tương tự
Cuối cùng ta có $f_2-f_1$ ko là STT của thành viên nào ( Vô lý)
=> DPCM
