Chủ đề này có 10 trả lời

[NguyThang khtn]

Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Bắc Giang
Năm học 2011-2012
Môn thi : Toán
Ngày thi : 04/7/2011
Thời gian làm bài : 150 phút ,ko kể thời gian phát đề.

Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức :
$A=\left [ \dfrac{ a - x }{ \sqrt{a} - \sqrt{x} } -\dfrac{ a \sqrt{a} - x \sqrt{x} }{ a - x } \right ]\left [ \dfrac{( \sqrt{a} + \sqrt{x} )^2}{ a \sqrt{a}+x \sqrt{x}} \right ]:\left ( \sqrt[3]{\dfrac{7-5\sqrt{2}}{8}} +\sqrt[3]{\dfrac{7+5\sqrt{2}}{8}} \right )$
1) Rút gọn .A
2) TRong trường hợp A có nghĩa hãy so sánh ( có giải thích ) A với $A^{2011} $
Câu 2 : ( 3,0 điểm) Giải hệ phuơng trình :
$\begin{cases} x (x^2+4y^2) =8y^4(y^2+1) \\ \sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}=7\end{cases}$
Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho các số $a=111...11$( gồm 2012 chữ số 1), $b=1000...005$( trong đó có 2011 chữ số 0) và $T= \sqrt{ab+1}$ .CMR T là số nguyên .Hãy tìm số dư trong phép chia T cho 7
Câu 4 : ( 6,0 điểm) Trên đường tròn C tâm O, bán kính R vẽ dây AB < 2R.Từ A,Bvẽ các tiếp tuyến Ax,By với đường tròn C .Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ AB .Gọi H,K,I lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống AB,Ax và By.
1) CMR: $MH^2 = MK.MI $
2) Gỉa sử AM cắt KH tại E,BM cắt HI tại F.CMF: EF là tiếp tuyến chong của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK,MFI.
3) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI.CMR: khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định .
Câu 5: (2,0 điểm) Cho hai đa thức
$P(x)= x^4+ax^3+bx^2+cx+1;Q(x)= x^4+cx^3+bx^2+ax+1$ với $a \neq c $.Biết các phương trình $P(x)=0;Q(x)=0 $ có hai nghiệm chung .
Hãy tìm tất cả các nghiệm của hai phương trình đó.
Câu 6 : ( 2,0 điểm) Cho các số thực $a_1;a_2;...;a_{2011} \in [1;3]$ và thoả mãn :
$S=a_1^3+a_2^3+...+a_{2011}^3=12307 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$P=a_1+a_2+...+a_{2011} $
p\s: Làm hết!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 22-04-2015 - 10:35

[Cherry love]

Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Bắc Giang
Năm học 2011-2012
Môn thi : Toán
Ngày thi : 04/7/2011
Thời gian làm bài : 150 phút ,ko kể thời gian phát đề.

Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức :
$ A = [ \dfrac{ a - x }{ \sqrt{a} - \sqrt{x} } -\dfrac{ a \sqrt{a} - x \sqrt{x} }{ a - x }] [ \dfrac{( \sqrt{a} + \sqrt{x} )^2] : (\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}{8} +\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}{8} ) $
1) Rút gọn .A
2) TRong trường hợp A có nghĩa hãy so sánh ( có giải thích ) A với $A^{2011} $
Câu 2 : ( 3,0 điểm) Giải hệ phuơng trình :
$\begin{cases} x (x^2+4y^2) =8y^4(y^2+1) \\ \sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}=7\end{cases}$
Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho các số $a=111...11$( gồm 2012 chữ số 1), $b=1000...005$( trong đó có 2011 chữ số 0) và $T= \sqrt{ab+1}$ .CMR T là số nguyên .Hãy tìm số dư trong phép chia T cho 7
Câu 4 : ( 6,0 điểm) Trên đường tròn C tâm O, bán kính R vẽ dây AB < 2R.Từ A,Bvẽ các tiếp tuyến Ax,By với đường tròn C .Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ AB .Gọi H,K,I lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống AB,Ax và By.
1) CMR: $MH^2 = MK.MI $
2) Gỉa sử AM cắt KH tại E,BM cắt HI tại F.CMF: EF là tiếp tuyến chong của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK,MFI.
3) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI.CMR: khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định .
Câu 5: (2,0 điểm) Cho hai đa thức
$P(x)= x^4+ax^3+bx^2+cx+1;Q(x)= x^4+cx^3+bx^2+ax+1$ với $a \neq c $.Biết các phương trình $P(x)=0;Q(x)=0 $ có hai nghiệm chung .
Hãy tìm tất cả các nghiệm của hai phương trình đó.
Câu 6 : ( 2,0 điểm) Cho các số thực $a_1;a_2;...;a_{2011} \in [1;3]$ và thoả mãn :
$S=a_1^3+a_2^3+...+a_{2011}^3=12307 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$P=a_1+a_2+...+a_{2011} $
p\s: Làm hết!

Đề năm nay thế này không biết lấy bao điểm nhỉ?

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu 2 : ( 3,0 điểm) Giải hệ phuơng trình :
$\begin{cases} x (x^2+4y^2) =8y^4(y^2+1) (1) \\ \sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}=7 (2) \end{cases}$
Giải :
Do vế phải của phương trình (1) $ \geq 0 \Rightarrow VT \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$
Nhận thấy $ x = 2y^2 $ là một nghiệm của phương trình thứ nhất.
Thật vậy, với $ x = 2y^2 $, phương trình thứ nhất trở thành :
$ 2y^2 [ ( 2y^2)^2 + 4y^2 ] = 8y^4 ( y^2 + 1)$
$ \Leftrightarrow 2y^2 [ 4y^4 + 4y^2 ] = 8y^4( y^2 + 1 ) $
$ \Leftrightarrow 8y^4( y^2 + 1 ) = 8y^4( y^2 + 1 )$ ( luôn đúng )
- Với $ x > 2y^2 \Rightarrow x.( x^2 + 4y^2 ) > 2y^2 [(2y^2)^2 + 4y^2 ] = 2y^2.4y^2 ( y^2 + 1 ) = 8y^4( y^2 + 1) $
Phương trình vô nghiệm.
- Với $ 0 \leq x < 2y^2 $
$ \Rightarrow x.( x^2 + 4y^2 ) < 2y^2 [(2y^2)^2 + 4y^2 ] = 2y^2.4y^2 ( y^2 + 1 ) = 8y^4( y^2 + 1) $
Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) chỉ có nghiệm $ x = 2y^2$.
Thế $ x = 2y^2$ vào phương trình (2), ta có phương trình hệ quả :
$ \sqrt{10y^2+6}+\sqrt{2y^2+7}=7$
$ \Leftrightarrow ( \sqrt{10y^2 + 6} - 4) + ( \sqrt{2y^2 + 7 } - 3) = 0$
$ \Rightarrow \dfrac{10y^2 + 6 - 16}{\sqrt{10y^2 + 6} + 4} + \dfrac{2y^2 + 7 - 9}{\sqrt{2y^2 + 7 } + 3} = 0 $
$ \Leftrightarrow ( y^2 - 1 )( \dfrac{10}{\sqrt{10y^2 + 6} + 4} + \dfrac{2}{\sqrt{2y^2 + 7 } + 3}) = 0$
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} y^2 = 1\\\dfrac{10}{\sqrt{10y^2 + 6} + 4} + \dfrac{2}{\sqrt{2y^2 + 7 } + 3} =0 \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} y = \pm 1\\\dfrac{10}{\sqrt{10y^2 + 6} + 4} + \dfrac{2}{\sqrt{2y^2 + 7 } + 3} =0\end{array}\right.$
Dễ thấy $ \dfrac{10}{\sqrt{10y^2 + 6} + 4} + \dfrac{2}{\sqrt{2y^2 + 7 } + 3} >0 $. Do đó chỉ có $ y = \pm 1 $ thỏa mãn.
Với $ y = \pm 1 \Rightarrow x = 2$.
Vậy phương trình có hai nghiệm $ ( x; y ) = ( 2; 1 ); ( 2; -1 )$
P/S : Không biết đúng không nữa !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 05-07-2011 - 21:16

[sunshine_2605]

Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Bắc Giang
Năm học 2011-2012
Môn thi : Toán
Ngày thi : 04/7/2011
Thời gian làm bài : 150 phút ,ko kể thời gian phát đề.

Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức :
$ A = [ \dfrac{ a - x }{ \sqrt{a} - \sqrt{x} } -\dfrac{ a \sqrt{a} - x \sqrt{x} }{ a - x }] [ \dfrac{( \sqrt{a} + \sqrt{x} )^2] : (\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}{8} +\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}{8} ) $
1) Rút gọn .A
2) TRong trường hợp A có nghĩa hãy so sánh ( có giải thích ) A với $A^{2011} $
Câu 2 : ( 3,0 điểm) Giải hệ phuơng trình :
$\begin{cases} x (x^2+4y^2) =8y^4(y^2+1) \\ \sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}=7\end{cases}$
Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho các số $a=111...11$( gồm 2012 chữ số 1), $b=1000...005$( trong đó có 2011 chữ số 0) và $T= \sqrt{ab+1}$ .CMR T là số nguyên .Hãy tìm số dư trong phép chia T cho 7
Câu 4 : ( 6,0 điểm) Trên đường tròn C tâm O, bán kính R vẽ dây AB < 2R.Từ A,Bvẽ các tiếp tuyến Ax,By với đường tròn C .Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ AB .Gọi H,K,I lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống AB,Ax và By.
1) CMR: $MH^2 = MK.MI $
2) Gỉa sử AM cắt KH tại E,BM cắt HI tại F.CMF: EF là tiếp tuyến chong của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK,MFI.
3) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI.CMR: khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định .
Câu 5: (2,0 điểm) Cho hai đa thức
$P(x)= x^4+ax^3+bx^2+cx+1;Q(x)= x^4+cx^3+bx^2+ax+1$ với $a \neq c $.Biết các phương trình $P(x)=0;Q(x)=0 $ có hai nghiệm chung .
Hãy tìm tất cả các nghiệm của hai phương trình đó.
Câu 6 : ( 2,0 điểm) Cho các số thực $a_1;a_2;...;a_{2011} \in [1;3]$ và thoả mãn :
$S=a_1^3+a_2^3+...+a_{2011}^3=12307 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$P=a_1+a_2+...+a_{2011} $
p\s: Làm hết!

Câu 1:
Rút gọn (đơn giản ^^)
A <=A^2011 (dấu "=" xảy ra khi a=0 hoặc x=0)
Câu 2: Hệ có nghiệm (x=2;y=1); (x=2;y=-1)
Câu 3:
Cm T nguyên (chắc ai cũng làm được)
T chia 7 dư 6
Câu 4: Ko khó
Câu 5: hình như mỗi pt có 4 nghiệm (cái này tớ ko chắc)
Câu 6: P min= 2803, đạt được khi có 396 số 3, còn lại là 1
P/s: đề ko khó nhưng hơi dài. Mình làm hết (nhưng chẳng biết có đúng hết ko)

[NguyThang khtn]

Mình nghĩ lấy tâm : 17 hay 17,5

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu 5: (2,0 điểm) Cho hai đa thức
$P(x)= x^4+ax^3+bx^2+cx+1;Q(x)= x^4+cx^3+bx^2+ax+1$ với $a \neq c $.Biết các phương trình $P(x)=0;Q(x)=0 $ có hai nghiệm chung .
Hãy tìm tất cả các nghiệm của hai phương trình đó.
Giải :
Gọi $ x_1; x_2 $ lần lượt là các nghiệm chung của hai phương trình $ P(x) = 0; Q(x) = 0$
Do $ x_1 $ là nghiệm của phương trình $ P(x) = 0 \Rightarrow x_1^4 + ax_1^3 + bx_1^2 + cx_1 + 1 = 0 $
Do $ x_1 $ là nghiệm của phương trình $ Q(x) = 0 \Rightarrow x_1^4 + cx_1^3 + bx_1^2 + ax_1 + 1 = 0 $
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có :
$ ( x_1^4 - x_1^4 ) + x_1^3( a - c ) + ( bx_1^2 - bx_1^2 ) + x_1( c - a ) + 1 - 1 = 0 $
$ \Leftrightarrow ( a - c )( x_1^3 - x_1 ) = 0 \Leftrightarrow ( a - c )x_1( x_1 - 1 )(x_1 + 1 ) = 0$
Mặt khác, $ a \neq c$, ta thử thấy $ x_1 = 0 $ không thỏa mãn. Do vậy $ x_1$ chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc -1.
Tương tự, $ x_2$ cũng chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc -1.
Mặt khác, hai phương trình $ P(x) = 0; Q(x) = 0 $ có hai nghiệm chung, do vậy, hai nghiệm chung đó chỉ có thể là 1 và -1 .
Trường hợp 1: Có nghiệm chung kép là 1:
Phương trình có nghiệm kép là 1, do vậy P(x) có thể viết dưới dạng :
$ P(x) = ( x -1 )^2.( x^2 + mx + n )$
$ \Rightarrow P = x^4 + ( m - 2 )x^3 + ( n - 2m + 1 )x^2 + ( m - 2n )x+ n = 0 $
Đồng nhất hệ số, dễ thấy ngay $ n = 1 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = m - 2\\b = 2 - 2m\\c = m - 2\end{array}\right.$
Do đó $ a = c = m - 2$ ( trái với giả thiết ). Vậy nghiệm chung không phải là nghiệm kép x = 1.
Tương tự với trường hợp nghiệm kép $ x = -1$.
Vậy nghiệm chung của hai phương trình đó là $ x_{1; 2} = \pm 1$
Phương trình P(x) có nghiệm bằng $ \pm 1$
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}P(1) = 0 \\P(-1) = 0\end{array}\right. $
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1^4 + a.1^3 + b.1^2 + c.1 + 1 = 0\\( -1)^4 + a.( -1 )^3 + b.( -1 )^2 + c.( -1 ) + 1 = 0\end{array}\right. $
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a + b + c =-2\\-a + b - c = -2\end{array}\right. $
$ \Rightarrow b = -2 \Rightarrow c = - a $
Thay vào $ P(x) = 0 \Rightarrow x^4 + ax^3 - 2x^2 - ax + 1 = 0 $
$ \Leftrightarrow ( x^2 - 1 )^2 + ax.( x^2 - 1 ) = 0$
$ \Leftrightarrow ( x^2 - 1) ( x^2 + ax - 1 ) = 0 $
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm 1\\x = \dfrac{- a \pm \sqrt{a^2 + 4}}{2}\end{array}\right.$
Tương tự $ Q(x) = 0 \Rightarrow ( x^2 - 1 )( x^2 + cx - 1 ) = 0$
$ \Rightarrow x = \pm 1 ;\left[\begin{array}{l} x = \pm 1\\x = \dfrac{- c \pm \sqrt{c^2 + 4}}{2}\end{array}\right.$
P/S : Chắc sai rồi.

[NguyThang khtn]

Câu 5: (2,0 điểm) Cho hai đa thức
$P(x)= x^4+ax^3+bx^2+cx+1;Q(x)= x^4+cx^3+bx^2+ax+1$ với $a \neq c $.Biết các phương trình $P(x)=0;Q(x)=0 $ có hai nghiệm chung .
Hãy tìm tất cả các nghiệm của hai phương trình đó.
Giải :
Gọi $ x_1; x_2 $ lần lượt là các nghiệm chung của hai phương trình $ P(x) = 0; Q(x) = 0$
Do $ x_1 $ là nghiệm của phương trình $ P(x) = 0 \Rightarrow x_1^4 + ax_1^3 + bx_1^2 + cx_1 + 1 = 0 $
Do $ x_1 $ là nghiệm của phương trình $ Q(x) = 0 \Rightarrow x_1^4 + cx_1^3 + bx_1^2 + ax_1 + 1 = 0 $
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có :
$ ( x_1^4 - x_1^4 ) + x_1^3( a - c ) + ( bx_1^2 - bx_1^2 ) + x_1( c - a ) + 1 - 1 = 0 $
$ \Leftrightarrow ( a - c )( x_1^3 - x_1 ) = 0 \Leftrightarrow ( a - c )x_1( x_1 - 1 )(x_1 + 1 ) = 0$
Mặt khác, $ a \neq c$, ta thử thấy $ x_1 = 0 $ không thỏa mãn. Do vậy $ x_1$ chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc -1.
Tương tự, $ x_2$ cũng chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc -1.
Mặt khác, hai phương trình $ P(x) = 0; Q(x) = 0 $ có hai nghiệm chung, do vậy, hai nghiệm chung đó chỉ có thể là 1 và -1 .
Trường hợp 1: Có nghiệm chung kép là 1:
Phương trình có nghiệm kép là 1, do vậy P(x) có thể viết dưới dạng :
$ P(x) = ( x -1 )^2.( x^2 + mx + n )$
$ \Rightarrow P = x^4 + ( m - 2 )x^3 + ( n - 2m + 1 )x^2 + ( m - 2n )x+ n = 0 $
Đồng nhất hệ số, dễ thấy ngay $ n = 1 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = m - 2\\b = 2 - 2m\\c = m - 2\end{array}\right.$
Do đó $ a = c = m - 2$ ( trái với giả thiết ). Vậy nghiệm chung không phải là nghiệm kép x = 1.
Tương tự với trường hợp nghiệm kép $ x = -1$.
Vậy nghiệm chung của hai phương trình đó là $ x_{1; 2} = \pm 1$
Phương trình P(x) có nghiệm bằng $ \pm 1$
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}P(1) = 0 \\P(-1) = 0\end{array}\right. $
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1^4 + a.1^3 + b.1^2 + c.1 + 1 = 0\\( -1)^4 + a.( -1 )^3 + b.( -1 )^2 + c.( -1 ) + 1 = 0\end{array}\right. $
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a + b + c =-2\\-a + b - c = -2\end{array}\right. $
$ \Rightarrow b = -2 \Rightarrow c = - a $
Thay vào $ P(x) = 0 \Rightarrow x^4 + ax^3 - 2x^2 - ax + 1 = 0 $
$ \Leftrightarrow ( x^2 - 1 )^2 + ax.( x^2 - 1 ) = 0$
$ \Leftrightarrow ( x^2 - 1) ( x^2 + ax - 1 ) = 0 $
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm 1\\x = \dfrac{- a \pm \sqrt{a^2 + 4}}{2}\end{array}\right.$
Tương tự $ Q(x) = 0 \Rightarrow ( x^2 - 1 )( x^2 + cx - 1 ) = 0$
$ \Rightarrow x = \pm 1 ;\left[\begin{array}{l} x = \pm 1\\x = \dfrac{- c \pm \sqrt{c^2 + 4}}{2}\end{array}\right.$
P/S : Chắc sai rồi.

Đúng rùi cậu ơi!
Mình cũng làm ra thế!

[trinhthuhuong]

Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho các số $a=111...11$( gồm 2012 chữ số 1), $b=1000...005$( trong đó có 2011 chữ số 0) và $T= \sqrt{ab+1}$ .CMR T là số nguyên .Hãy tìm số dư trong phép chia T cho 7
Ta có:
a= 111...11 ( gồm 2012 chữ số 1)
=> 9a = 999...99 ( gồm 2012 chữ số 9)
$ = 10^{2012} - 1 $
=> $ a = \dfrac{10^{2012} - 1}{9} $
$ b= 1000...005 = 10^{2012} +5 $
$ \Rightarrow ab +1 = \dfrac{10^{2012} - 1}{9}. (10^{2012 }+5) = (\dfrac{10^{2012}+ 2}{3})^2 $
Do 10 chia 3 dư 1 nên ta có đpcm
còn phần tìm số dư mình học ngu lắm nên không nghĩ ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 11-07-2011 - 18:59
mũ > 9 cần để trong dấu { }

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu 3 : Không cần phải làm rắc rối vậy đâu Thu Hương à ! Theo mình nghĩ có thể làm như sau :
Giải :
Ta có : $ b = 1000...005$ ( 2011 chữ số 0 )
$ = 1000...000 + 5 $ ( 2012 chữ số 0, số 1000..000 có 2013 chữ số )
$ = 999..99 + 1 + 5$ ( 2012 chữ số 9 )
$ = 9.a + 6 $
Do đó : $ T = \sqrt{ab + 1} = \sqrt{a( 9a + 6 ) + 1} = \sqrt{9a^2 + 6a + 1} $
$ = \sqrt{( 3a + 1 )^2} = 3a + 1 = 333...33 + 1 = 333...334 $ ( 2011 chữ số 3 )
b, Ta có : $ T = 333...334 $ ( có 2011 chữ số 3 )
$ = 333...300 + 34 $ ( số 333...300 có 2010 chữ số 3 )
$ = 100. ( 333333. 10^{2010 - 6} + 333333.10^{2010 - 6.2} + .... + 333333 ) + 34$
$ = 33333300 ( 10^{2004} + 10^{1998} + .... + 1 ) + 34$
Mặt khác : $333333$ $ \vdots$ $7$
$ \Rightarrow $ Số dư trong phép chia T cho 7 là số dư trong phép chia 34 : 7, đó là 6.
Vậy T chia 7 dư 6.

[issacband365]

Cau 6 lam nhu the nao ak????

[dogsteven]

Bài 6. Dùng phương pháp cát tuyến. $a^3\leqslant 13a-12$ với $a\in [1,3]$

Khi đó $P\geqslant \dfrac{a_1^3+a_2^3+...+a_{2011}^3+24132}{13}=2803$