Đến nội dung


Hình ảnh

Topic: Các bài toán về tính chia hết


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 303 trả lời

#1 cuacon1599

cuacon1599

    T_T

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:C1-một nơi có thần cupid

Đã gửi 05-07-2011 - 16:35

Bài 1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. CMR: Luôn tồn tại 1 số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết p

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 17:00


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 05-07-2011 - 18:57

Như ta đã biết dấu hiệu chia hết cho 11, ta dễ dàng tìm được một số gồm toàn chữ số 1 thỏa mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 17:01

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 06-07-2011 - 08:22

Bài 2. Chứng minh:
Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 17 là tổng của 3 lần chữ số hàng chục và 2 lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 17 (Thanks).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 17:02

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#4 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 06-07-2011 - 08:54


Bài 2:
Giải:
Giả sử N gồm a chục, b đơn vị : $N = 10a + b$ trong đó a, b là các chữ số khác 0. Ta cần chứng minh: N chia hết cho 17 khi và chỉ khi số $ M = 3a + 2b$ chia hết cho 17
Ta có :

$ M + 17a = 3a + 2b + 17a = 2(10a+b) = 2N$

- Nếu N chia hết 17 thi 2N chia hết cho 17, do đó M + 17a chia hết cho 17, suy ra M chia hét cho 17 (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 17:05

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#5 cuacon1599

cuacon1599

    T_T

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:C1-một nơi có thần cupid

Đã gửi 06-07-2011 - 15:21

Như ta đã biết dấu hiệu chia hết cho 11, ta dễ dàng tìm được một số gồm toàn chữ số 1 thỏa mãn đề bài.

Nhưng p là số nguyên tố lớn hơn 5 cơ mà, không nhất thiết p = 11, phải tổng quát.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 17:05


#6 cuacon1599

cuacon1599

    T_T

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:C1-một nơi có thần cupid

Đã gửi 06-07-2011 - 15:27

Bài 3: Chứng minh:
Tổng 95 số tự nhiên khác 0 đúng bằng 1995. Hỏi UCLN của 95 số đó là bao nhiêu?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 17:06


#7 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4405 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-07-2011 - 17:20

Bài 1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. CMR: Luôn tồn tại 1 số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết p

Ta xét các số sau: $11;111;1111;....;\underbrace {11..11}_{p + 1}$ thì có p+1 số như vậy.
Lấy p+1 số đó chia cho p, thì theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại 2 số có cùng dư khi chia cho p. Tính hiệu 2 số đó, ta có:
$\underbrace {11..11}_m\underbrace {00..00}_n \vdots p$

$ \Leftrightarrow \underbrace {11..11}_m.10^n \vdots p$

do p là số nguyên tố nên

$\left[ \begin{array}{l} \underbrace {11..11}_m \vdots p \\ 10^n \vdots p \\ \end{array} \right.$
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên $10^n \not \vdots p$. Suy ra đpcm.

Bài 3:
Tổng 95 số tự nhiên khác 0 đúng bằng 1995. Hỏi UCLN của 95 số đó là bao nhiêu

Phải là tìm GTLN của UCLN có 95 số đó chứ nhỉ :)
Nếu vậy thì làm như sau:
Gọi 95 số đó theo thứ tự bé đến lớn là:

$a_1 ;a_2 ;...;a_{95} $

$ \Rightarrow 95a_1 \le a_1 + a_2 + ... + a_{95} = 1995 \Rightarrow a_1 \le 21$

Gọi $d = UCLN\left( {a_1 ;a_2 ;...;a_{95} } \right) \Rightarrow d \le a_1 \le 21$

Dễ thấy $1995 \vdots d \Rightarrow d \in U\left( {1995} \right)$
Từ đây ta có $maxd=21 \Leftrightarrow a_1=a_2=...=a_{95}=21$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 17:08

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#8 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 12-07-2011 - 15:00

Bài 4: Chứng minh $P=2^{2^{n+1}}-1 \vdots 15 (n \in \mathsub{N};n>0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 17:08

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#9 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4405 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 13-07-2011 - 16:12

Lâu rồi không ai chém, chơi luôn:

$n \ge 1 \Rightarrow 2^{n+1} \ge 4 \Rightarrow 2^{n+1} \vdots 4 \Rightarrow 2^{n+1}=4k(k \in \mathsub{N})$

$\Rightarrow P= 2^{2^{n+1}}-1=2^{4t}-1=16^t-1 \vdots 16-1 \vdots 15$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 17:09

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#10 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 13-07-2011 - 16:49

Ta có
$2^{\2^{n+1}}-1 = 2^{(\2^{n+1})}-1= 2^{(\2^n.2)}-1= (2^{2})^{2n}-1$
$=\4^{2n}-1=\(4^{n})^2-1=\(4^n-1)(4^n+1)$

Dễ dàng nhận thấy $4^n$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow (4^n-1)(4^n+1)$ chia hết cho 3. (1)
Mặt khác $4^n$ tận cùng bằng 4;6 nên $(4^n-1)(4^n+1)$ chia hết cho 5 (2)

Từ (1) &(2) suy ra điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 18:54

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#11 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 23-07-2011 - 19:00

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n>0$ ta luôn có

$ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} $ chia hết cho $38$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:02

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#12 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 24-07-2011 - 13:41

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n>0$ ta luôn có

$ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} $ chia hết cho $38$.

Vì n > 0 nên ta đặt $ n = k+1 (k \ge 0)$

Thay n = k+1 vào n ta có biểu thức tương đương với: $ 5^{2k+1}.2^{k+2} + 3^{k+2}.2^{2k+1}= 50^{k}.20+ 12^{k}.18 \equiv 12^{k} .1+ 12^{k}.(-1)(mod19)$
Từ đây ta thấy k chẵn hay lẻ đều đồng dư với 0(mod19)

Ta có$ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 2$

Vậy $ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 38((2,19)=1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:05


#13 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 24-07-2011 - 19:04

Bài này mọi người có thể giải bằng quy nạp giúp mình được không, cảm ơn nhiều!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:05

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#14 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 24-07-2011 - 20:16

Bài 6: Cho $2k+1$ và $3k+1$ là số chính phương. CMR: k chia hết cho 40

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:07

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#15 Hoa Hồng Lắm Gai

Hoa Hồng Lắm Gai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-07-2011 - 10:42

Bài 7: Cho 3 số nguyên x, y, z thoả mãn $x^{2}+ y^{2} =z^{2}$
CMR: xyz chia hết cho 60

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:09

Ác Ma Học Đường- Cá Sấu


#16 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 25-07-2011 - 13:00

Gợi ý , xét các tính chất đơn giản về số chính phương :
Một số chính phương khi chia cho 3 dư 0 hay 1.
Một số chính phương khi chia cho 4 dư 0 hay 1.
Một số chính phương khi chi cho 5 dư 0,1, hay 4.
Do đó điều ta cần cm là đối với 1 trong 3 số x, y, z có số chia hết cho 3, 4, 5 ( không bắt buộc là chỉ 1 số ). Sau đó suy ra kết luận xyz chia hết cho 60.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:10

CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#17 Hoa Hồng Lắm Gai

Hoa Hồng Lắm Gai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-07-2011 - 16:46

vì n > 0 nên ta đặt $ n=k+1 (k \ge 0)$
Thay n=k+1 vào n ta có biểu thức tương đương với:

$ 5^{2k+1}.2^{k+2} + 3^{k+2}.2^{2k+1}= 50^{k}.20+ 12^{k}.18 \equiv 12^{k} .1+ 12^{k}.(-1)(mod19)$

Từ đây ta thấy k chẵn hay lẻ đều đồng dư với 0(mod19)
Ta có: $ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 2$

Vậy $ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 38((2,19)=1)$


Em có thể sửa chỗ này giúp bài giải đỡ dài dòng:

Vì n > 0 nên ta đặt $ n=k+1 (k \ge 0)$
Thay n = k + 1 vào n ta có biểu thức tương đương với:
$ 5^{2k+1}.2^{k+2} + 3^{k+2}.2^{2k+1}= 50^{k}.20+ 12^{k}.18 \equiv 12^{k}.38 \equiv 0 (mod 38)$

Vvậy $ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 38$(đpcm)

Có gì sai mọi người chỉ giùm em với. với lại cái latex của diễn đàn khó dùng quá :).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:13

Ác Ma Học Đường- Cá Sấu


#18 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4405 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 25-07-2011 - 18:38

Bài này mọi người có thể giải bằng quy nạp giúp mình được không, cảm ơn nhiều!

Chiều theo ý Toàn đây.
Đặt $f\left( n \right) = 5^{2n - 1} .2^{n + 1} + 3^{n + 1} .5^{2n - 1} \left( {n \in \mathbb{N};n > 0} \right)$.
Ta có:
$f\left( 1 \right) = 38 \vdots 38$

Giả sử $f\left( k \right) \vdots 38$, ta cm $f\left( {k+1} \right) \vdots 38$.
Thật vậy, dễ thấy

$f\left( {k + 1} \right) = 50.5^{2k - 1} .2^{k + 1} + 12.3^{k + 2} .2^{k - 1} = 12f\left( k \right) + 38.5^{2k - 1} .2^{k + 1} \vdots 38$.

Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:15

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#19 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 26-07-2011 - 11:09

Bài 6:
Giải:
Đặt $2k+1=u^2$ và $3k+1=v^2$.
Ta thấy $u$ hiển nhiên là số lẻ.
Nếu $v$ chẵn thì $k$ lẻ và do đó $u^{2}\equiv 3\pmod 4$, vô lí.
Vậy $v$ lẻ, khi đó $u^{2}\equiv v^{2}\equiv 1\pmod 8$ nên $u^{2}-v^{2}\equiv 0\pmod 8$.

$u^{2}+v^{2}=5k+2\equiv 2\pmod 5$, nên $x^{2}\equiv 0,1,4\pmod 5$ , ta cũng kết luận $ u^{2}\equiv v^{2}\equiv 1\pmod 5 $, nên $u^{2}-v^{2}\equiv 0\pmod 5$ .

Do vậy $ k=v^{2}-u^{2}\equiv 0\pmod{40}. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:17

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#20 nguyenbao8ekyanh

nguyenbao8ekyanh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đã gửi 27-07-2011 - 07:50

Bài 8: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 1 và b + 2007 đều chia hết cho 6
Chứng minh rằng $ 4^a +a+b $ chia hết cho 6

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:18

Một cây làm chẳng lên non
Ba cây chụm lại nên hòn núi cao





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh