Bài 8: Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 1 và b + 2007 đều chia hết cho 6
Chứng minh rằng $ 4^a + a + b$ chia hết cho 6
Giải :
Do a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Do đó : a, b lẻ. Thật vậy, nếu a, b chẵn
$ \Rightarrow a + 1, b + 2007 $ $ \not \vdots $ $ 2$
$ \Rightarrow a + 1, b + 2007 $ $ \not \vdots$ $ 6$.
Điều nói trên là trái với giả thiết.
Vậy a, b luôn lẻ.
Do đó : $ 4^a + a + b $ $ \vdots $ $2$.
Ta có : $ a + 1, b + 2007 $ $ \vdots $ $ 6$.
$ \Rightarrow a + 1 + b + 2007 $ $ \vdots $ $ 6 $
$ \Rightarrow ( a + b + 1 ) + 2007 $ $ \vdots $ $ 3 $.
$ \Rightarrow a + b + 1 $ $ \vdots $ $ 3 $.
Ta thấy $ 4^a + a + b = ( 4^a - 1 ) + ( a + b + 1 ) $
Lại có : $ 4^a - 1 $ $ \vdots $ $ ( 4 - 1 ) = 3$ (*)
Từ và (*), suy ra : $ 4^a + a + b $ $ \vdots$ $3$
Mặt khác (2; 3) = 1. Do đó : $ 4^a + a + b$ $ \vdots $ $6$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 19-08-2011 - 19:21