Chưa có bài trả lời

[Yagami Raito]

Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân đốiTừ toán học có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể của tri thức - ngành nghiên cứu suy luận về lượng, cấu trúc, và sự thay đổi. Lĩnh vực của ngành học về Lịch sử Toán học phần lớn là sự nghiên cứu nguồn gốc của những khám phá mới trong toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu các phương pháp và kí hiệu toán học chuẩn trong quá khứ.

Trước thời kì hiện đại và sự phổ biến rộng rãi tri thức trên toàn thế giới, các ví dụ trên văn bản của các phát triển mới của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền cụ thể. Các văn bản toán học cổ nhất từ Lưỡng Hà cổ đại (Mesopotamia) khoảng 1900 TCN (Plimpton 322), Ai Cập cổ đại khoảng 1800 TCN (Rhind Mathematical Papyrus), Vương quốc Giữa Ai Cập khoảng 1300-1200 TCN (Berlin 6619) và Ấn Độ cổ đại khoảng 800 TCN (Shulba Sutras). Tất cả các văn tự này có nhắc đến Định lý Pythagore; đây có lẽ là phát triển toán học rộng nhất và cổ nhất sau số học cổ đại và hình học.

Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại với toán học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp và chất liệu chủ đề của toán học[1].

Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học cổ và trung đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toán học thường là sự ngưng trệ hàng thế kỉ. Bắt đầu vào Thời kì Phục Hưng tại Ý vào thế kỉ 16, các phát triển toán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới, đã được thực hiện với tốc độ ngày càng tăng, và điều này còn tiếp diễn cho tới hiện tại.


[sửa] Toán học thời sơ khai[sửa] Nguồn gốcRất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về toán học và đo thời gian dựa trên sao trời. Ví dụ các nhà cổ sinh vật học đã khám phá ra các mảnh đất thổ hoàng trong một hang động ở Nam Phi được trang trí bởi các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN[2]. Cũng các di khảo tiền sử được tìm thấy ở châu Phi và Pháp, thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000 TCN[3], cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian[4].

Các bằng chứng còn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu là do phụ nữ, những người giữ các vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trên xương hoặc hòn đá, theo sau là một vạch cách biệt khác. Hơn nữa, các thợ săn đã có khái niệm về một, hai và nhiều cũng như không khi xem xét số bầy thú[5][6].


Xương IshangoXương Ishango được tìm thấy ở thượng nguồn sông Nil (phía bắc Cộng hòa Dân chủ Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN. Bản dịch thông dụng nhất của hòn đá cho ta thấy nó là bằng chứng sớm nhất[7] thể hiện một dãy các số nguyên tố và phép nhân Ai Cập cổ đại. Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ 5 TCN đã vẽ các bức tranh về thiết kế hình học và không gian. Người ta đã khẳng định các hòn đá tế thần ở Anh và Scotland từ thiên niên kỉ thứ 3 TCN, bao gồm cả các ý tưởng hình học như hình tròn, hình elíp và bộ ba Pythagore trong thiết kế của nó[8].

Nền toán học sớm nhất từng biết trong Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN - 2600 TCN ở nền văn minh thung lũng Indus (nền văn minh Harappan) của Bắc Ấn Độ và Pakistan, đã phát triển một hệ thống các đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại sử dụng hệ cơ số 10, một công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng các tỉ lệ, các đường đi được đặt trên một góc vuông hoàn hảo, và một số các hình hình học và thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình nón, hình trụ và các bức vẽ các hình tròn và hình tam giác cắt nhau và đồng qui. Các dụng cụ toán học tìm được bao gồm một thước đo cơ số 10 với độ chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ sò hoạt động như một chiếc com pa để đo góc trên mặt phẳng hoặc theo các bội của 40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu trời, và một dụng cụ để đo vị trí của các sao nhằm mục đích định hướng. Bản viết tay Indus vẫn chưa được giải nghĩa; do đó ta biết được rất ít về các dạng viết của toán học Harappan. Các bằng chứng khảo cổ đã làm các nhà sử học tin rằng nền văn minh này đã sử dụng hệ đếm cơ số 8 và đạt được các kiến thức về tỉ lệ giữa chu vi của đường tròn đối với bán kính của nó, do đó tính được số π[9].

[sửa] Toán học của người Maya[sửa] Cận Đông cổ đại[sửa] Lưỡng HàBài chi tiết: Toán học Babylon

Bảng tính vạch trên đất sét YBC 7289 với chú giải chữ số hiện đại
Toán học Babylon là ám chỉ bất kì nền toán học nào thuộc về cư dân Lưỡng Hà (Iraq ngày nay) từ buổi đầu Sumer cho đến đầu thời kì Hy Lạp hóa. Nó được đặt tên là toán học Babylon là do vai trò trung tâm của Babylon là nơi nghiên cứu, nơi đã không còn tồn tại sau thời kì Hy Lạp hóa. Các nhà toán học Babylon đã trộn với các nhà toán học Hy Lạp để phát triển toán học Hy Lạp. Sau đó dưới Đế chế Arab, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là Baghdad, một lần nữa trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho toán học Hồi giáo.

Đối lập với sự thiếu thốn nguồn tài liệu của toán học Hy Lạp, sự hiểu biết về toán học Babylon của chúng ta là từ hơn 400 miếng đất sét khai quật được từ những năm 1850. Viết bằng kí tự Cuneiform, các miếng đất sét này được viết trong khi đất sét còn ẩm, và được nung cứng trong lò hoặc bằng nhiệt từ Mặt Trời. Một số trong đó có vẻ là bài tập về nhà.

Bằng chứng sớm nhất về các văn tự toán học là từ thời những người Sumer cổ đại, những người đã xây nên nền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà. Họ đã phát triển một hệ đo lường phức tạp từ 3000 TCN. Khoảng 2500 TCN trở về trước, người Sumer đã viết những bảng nhân trên đất sét và giải các bài tập hình học và các bài toán chia. Dấu vết sớm nhất của hệ ghi số Babylon cũng là trong khoảng thời gian này[10].

Một lượng lớn các tấm đất sét đã được phục hồi là vào khoảng 1800 TCN tới 1600 TCN, và bao gồm các chủ đề về phân số, đại số, phương trình bậc ba và bậc bốn, các tính toán về các bộ ba Pythagore (xem Plimpton 322)[11]. Các tấm này cũng bao gồm cả bảng nhân, bảng lượng giác và các phương pháp giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai. Tấm đất sét YBC 7289 đã đưa ra một xấp xỉ của số √2 chính xác tới năm chữ số thập phân.

Toán học Babylon được viết bằng hệ cơ số 60. Do việc này mà ngày nay ta sử dụng 60 giây trong một phút, 60 phút trong một giờ và 360 (60 × 6) độ trong một vòng tròn. Các tiến bộ của người Babylon trong toán học phát triển dễ dàng bởi số 60 có rất nhiều ước số. Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp và La Mã, người Babylon có một hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, trong đó các chữ số viết ở cột bên trái thể hiện giá trị lớn hơn, giống như hệ thập phân. Thế nhưng họ lại thiếu một kí hiệu tương đương của dấu thập phân, và do đó hàng trong cách viết số thường được suy ra từ ngữ cảnh.

[sửa] Ai CậpBài chi tiết: Toán học Ai Cập

Giấy cói Moskva
Giấy cọ RhindToán học Ai Cập là ám chỉ toán học được viết dưới tiếng Ai Cập.

Toán học Ai Cập cổ đại được đánh dấu bởi nhân vật truyền thuyết Thoth, người được coi là đã đặt ra mẫu tự Ai Cập, hệ thống chữ số, toán học và thiên văn học, là vị thần của thời gian.

Từ thời kì Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp đã thay thế tiếng Ai Cập trong ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập, và từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp nhất với toán học Hy Lạp và Babylon để phát triển toán học Hy Lạp. Nghiên cứu toán học ở Ai Cập sau đó được tiếp tục dưới Đế chế Arab như là một phần của toán học Hồi giáo, khi tiếng Ả Rập trở thành ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập.

Văn tự toán học cổ nhất tìm được cho tới nay là giấy cói Moskva, một văn tự bằng giấy cói của Vương quốc giữa Ai Cập vào khoảng 2000—1800 mà ngày nay ta gọi là "bài toán chữ", rõ ràng là chỉ để giải trí. Một bài toán được coi là quan trọng ở mức nói riêng bởi nó đưa ra phương pháp tìm thể tích của một hình cụt: "Nếu bạn biết: một hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ 2. Bạn sẽ bình phương số 4 này, được 16. Bạn sẽ nhân đôi 4, được 8. Bạn sẽ bình phương 2, được 4. Bạn sẽ cộng 16, 8, và 4 được 28. Bạn sẽ lấy một phần ba của 6, được 2. Bạn nhân 28 với 2 được 56. Và 56 là số bạn cần tìm."


Eratosthenes
Sàng Eratosthenes lọc số nguyên tố

Giấy cọ Rhind (khoảng 1650 TCN) là một văn bản toán học Ai Cập quan trọng khác, một hướng dẫn trong số học và hình học. Cùng với việc đưa ra các công thức diện tích và phương pháp nhân, chia và làm việc với phân số đơn vị, nó cũng chứa các bằng chứng về các kiến thức toán học khác (xem [1]) bao gồm hợp số và số nguyên tố; trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều hòa; và hiểu biết sơ bộ về sàng Eratosthenes và số hoàn hảo. Nó cũng chỉ ra cách giải phương trình tuyến tính bậc một cũng như cấp số cộng và cấp số nhân.

Cũng vậy, ba thành phần hình học có trong giấy cọ Rhind nói đến những kiến thức đơn giản nhất của hình học giải tích: (1) Đầu tiên và quan trọng nhất, làm thế nào để xấp xỉ số π chính xác tới dưới một phần trăm; (2) thứ hai, một cố gắng cổ đại trong việc cầu phương hình tròn; (3) và thứ ba, sự sử dụng sớm nhất từng biết về lượng giác.

Cuối cùng, giấy cọ Berlin cũng cho thấy người Ai Cập cổ đại có thể giải phương trình đại số bậc hai.

[sửa] Toán học Hy Lạp và Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng 550 TCN-300)Bài chi tiết: Toán học Hy Lạp
Toán học Hy Lạp là ám chỉ toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp khoảng giữa 600 TCN và 450[12]. Các nhà toán học Hy Lạp sống ở các thành phố rải rác trên toàn bộ Địa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, nhưng lại thống nhất về văn hóa và ngôn ngữ. Toán học Hy Lạp đôi khi được gọi là toán học Hellenistic (Hy Lạp hóa).


Thales xứ MiletusToán học Hy Lạp đã trở nên phức tạp hơn rất nhiều so với các nền văn hóa trước đó. Tất cả các ghi chép còn tồn tại của các nền toán học tiền Hy Lạp đều cho thấy việc sử dụng suy luận qui nạp, nghĩa là, các quan sát liên tục được sử dụng để lập nên các phép đo dựa trên kinh nghiệm. Người Hy Lạp sử dụng lí luận logic để đạt được các kết luận từ các định nghĩa và tiên đề[13].


Định lý Thales-cơ sở cho phép đo hình học và toán học mêtric: Toán học Hy Lạp dường như bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng 546 TCN) và Pythagoras (khoảng 582 — khoảng 507 TCN). Mặc dù tầm ảnh hưởng không còn, họ có thể vẫn phát triển ý tưởng từ toán học Ai Cập, Babylon, và có thể cả Ấn Độ. Theo truyền thuyết, Pythagoras đã chu du tới Ai Cập để học toán học, hình học, và thiên văn từ các đạo sĩ Ai Cập.

Thales đã sử dụng hình học để giải các bài toán như là tính chiều cao của các hình chóp và khoảng cách từ các tàu tới bờ biển. Pythagoras được coi là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho định lý Pythagore, mặc dù phát biểu của định lý đã đi qua một chặng đường lịch sử dài. Trong lời bình luận về Euclid, Proclus phát biểu rằng Pythagoras đã diễn đạt định lý mang tên ông và dựng nên bộ ba Pythagore một cách đại số hơn là hình học. Trường học của Plato có câu khẩu hiệu: "Không để những thứ nông cạn trong hình học vào đây."

Học thuyết Pythagoras đã khám phá ra sự tồn tại của các số hữu tỉ. Eudoxus (408 - khoảng 355 TCN) đã phát minh ra phương pháp vét cạn, tiền thân của khái niệm hiện đại tích phân. Aristotle (384 - khoảng 322 TCN) đã lần đầu viết ra các luật về logic. Euclid (khoảng 300 TCN) là ví dụ sớm nhất của một khuôn mẫu mà vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh. Ông cũng nghiên cứu về các đường conic. Cuốn sách của ông, Cơ bản, được tất cả những người có học biết đến ở phương Tây cho đến giữa thế kỉ 20[14]. Thêm vào các định lý quen thuộc của hình học, như định lý Pythagore, Cơ bản còn có cả chứng minh rằng căn bậc hai của hai là số vô tỉ và có vô hạn số nguyên tố. Sàng Eratosthenes (khoảng 230 TCN) đã được sử dụng để tìm các số nguyên tố.

Một số người nói rằng người vĩ đại nhất trong các nhà toán học Hy Lạp, nếu không muốn nói là mọi thời đại, là Archimedes (287—212 TCN) xứ Syracuse. Theo như Plutarch, ở tuổi 75, trong khi đang vẽ các công thức toán học ở trên cát, ông đã bị một tên lính La Mã dùng giáo đâm chết. Roma cổ đại để lại ít bằng chứng về sự quan tâm vào toán học lý thuyết.

[sửa] Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 1500 TCN-200 CN)Bài chi tiết: Toán học Ấn Độ
Toán học Vedic bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với Shatapatha Brahmana (khoảng thế kỉ 9 TCN), trong đó có xấp xỉ số π chính xác tới 2 chữ số thập phân[15] và Sulba Sutras (khoảng 800-500 TCN) là các văn bản hình học sử dụng số vô tỉ, số nguyên tố, luật ba, và căn bậc ba; tính căn bậc hai của 2 tới năm chữ số thập phân; đưa ra phương pháp cầu phương hình tròn, giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai; phát triển bộ ba Pythagore theo phương pháp đại số, phát biểu và nêu chứng minh cho Định lý Pythagore.

Pāṇini (khoảng thế kỉ 5 TCN) đã lập công thức cho ngữ pháp của tiếng Phạn. Kí hiệu của ông tương tự với kí hiệu toán học, và sử dụng các ngôn luật, các phép biến đổi, đệ qui với độ phức tạp đến mức ngữ pháp của ông có sức mạnh tính toán ngang với máy Turing. Công trình của Panini cũng đi trước cả lý thuyết hiện đại ngữ pháp hình thức (formal grammar) (có vai trò quan trọng trong điện toán), trong khi dạng Panini-Backus được sử dụng bởi những ngôn ngữ lập trình hiện đại nhất lại rất giống với luật ngữ pháp của Panini. Pingala (khoảng thế kỉ thứ 3 đến thứ nhất TCN) trong bản luận thuyết của mình về thi pháp đã sử dụng một phương pháp ứng với hệ nhị phân. Thảo luận của ông về tổ hợp của các phách, tương ứng với định lý nhị thức. Công trình của Pingala cũng chứa các ý tưởng cơ bản của các số Fibonacci (được gọi là mātrāmeru). Văn bản Brāhmī được phát triển ít nhất từ thời triều Maurya vào thế kỉ 4 TCN, với những bằng chứng khảo cổ học cho thấy nó xuất hiện vào khoảng 600 TCN. Chữ số Brahmi ở vào khoảng thế kỉ 3 TCN.

Giữa năm 400 TCN và 200 CN, các nhà toán học Jaina bắt đầu nghiên cứu toán học với mục đích duy nhất cho toán học. Họ là những người đầu tiên phát triển transfinite number, lý thuyết tập hợp, logarit, các định luật cơ bản của lũy thừa, phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, dãy số và dãy cấp số, hoán vị và tổ hợp, bình phương và lấy xấp xỉ căn bậc hai, và hàm mũ hữu hạn và vô hạn. Bản thảo Bakshali được viết giữa 200 TCN và 200 bao gồm cách giải hệ phương trình tuyến tính tới năm ẩn, nghiệm phương trình bậc hai, cấp số cộng và cấp số nhân, dãy phức hợp, phương trình vô định bậc hai, phương trình không mẫu mực, và sự sử dụng số 0 và số âm. Các tính toán chính xác cho số vô tỉ đã được tìm ra, bao gồm tính căn bậc hai của các số tới bao nhiêu chữ số sau dấu phẩy tùy thích (từ 11 chữ số trở lên).

[sửa] Toán học Trung Hoa cổ đại (khoảng 1300 TCN-200 CN)Tập tin:CCTT.gif
Cửu chương toán thuậtBài chi tiết: Toán học Trung Hoa
Bắt đầu từ thời nhà Thương (1600 TCN— 1046 TCN), toán học Trung Quốc sớm nhất còn tồn tại bao gồm các số được khắc trên mai rùa [2] [3]. Các số này sử dụng hệ cơ số 10, vì vậy số 123 được viết (từ trên xuống dưới) bằng một kí hiệu cho số 1 rồi đến một kí hiệu hàng trăm, sau đó là kí hiệu cho số 2 rồi đến kí hiệu hàng chục, sau đó là số 3. Đây là hệ cơ số tiến bộ nhất trên thế giới vào thời điểm đó và cho phép tính toán được thực hiện bởi bàn tính. Thời điểm phát minh ra bàn tính không rõ, nhưng tài liệu cổ nhất vào 190 trong Lưu ý về the Art of Figures viết bởi Xu Yue. Bàn tính có thể đã được sử dụng trước thời điểm này.

Ở Trung Quốc, vào 212 TCN, vua Tần Thủy Hoàng đã ra lệnh đốt tất cả sách trong nước. Cho dù lệnh này không được tuân thủ hoàn toàn, nhưng ta vẫn biết rất ít về toán học Trung Hoa cổ đại.

Từ triều Tây Chu (từ 1046), công trình toán học cổ nhất còn tồn tại sau cuộc đốt sách là Kinh Dịch, trong đó sử dụng 64 quẻ 6 hào cho mục đích triết học hay tâm linh. Các hào là các bộ hình vẽ gồm các đường gạch đậm liền hoặc đứt nét, đại diện cho dương và âm.

Sau cuộc đốt sách, nhà Hán (202 TCN) - 220 đã lập các công trình về toán học có thể là phát triển dựa trên các công trình mà hiện nay đã mất. Phần quan trọng nhất trong số đó là Cửu chương toán thuật, tiêu đề của nó xuất hiện trước 179 CN, nhưng là nằm trong các tiêu đề khác tồn tại trước đó. Nó bao gồm 264 bài toán chữ, chủ yếu là nông nghiệp, thương nghiệp, áp dụng của hình học để đo chiều cao và tỉ lệ trong các chùa chiền, công trình, thăm dò, và bao gồm các kiến thức về tam giác vuông và số π. Nó cũng áp dụng nguyên lí Cavalieri về thể tích hơn một nghìn năm trước khi Cavalieri đề xuất ở phương Tây. Nó đặt ra chứng minh toán học cho Định lý Pythagore, và công thức toán học cho phép khử Gauss. Công trình này đã được chú thích bởi Lưu Huy (Liu Hui) vào thế kỉ thứ 3 trước Công nguyên.

Ngoài ra, các công trình toán học của nhà thiên văn học, nhà phát minh Trương Hành (Zhang Heng, 78-139) đã có công thức cho số pi, khác so với tính toán của Lưu Huy. Trương Hành sử dụng công thức của ông cho số pi để tính thể tích hình cầu V theo đường kính D.

V=D3 + D3 = D3
Người Trung Quốc cũng sử dụng biểu đồ tổ hợp phức còn gọi là 'hình vuông thần kì', được mô tả trong các thời kì cổ đại và được hoàn chỉnh bởi Dương Huy (1238-1398).

[sửa] Toán học Trung Hoa cổ điển (khoảng 400-1300)Bài chi tiết: Toán học Trung Hoa
Tổ Xung Chi (Zu Chongzhi) (thế kỉ 5) vào thời Nam Bắc Triều đã tính được giá trị của số π chính xác tới bảy chữ số thập phân, trở thành kết quả chính xác nhất của số π trong gần 1000 năm.


Tam giác PascalTrong hàng nghìn năm sau nhà Hán, bắt đầu từ nhà Đường và kết thúc vào nhà Tống, toán học Trung Quốc phát triển thịnh vượng, nhiều bài toán phát sinh và giải quyết trước khi xuất hiện ở châu Âu. Các phát triển trước hết được nảy sinh ở Trung Quốc, và chỉ rất lâu sau mới được biết đến ở phương Tây, bao gồm số âm, định lý nhị thức, phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính và Định lý số dư Trung Quốc về nghiệm của hệ phương trình đồng dư bậc nhất.

Số âm được đề cập đến trong bảng cửu chương từ thời nhà Hán, 200TCN[16]
Định lý nhị thức và tam giác Pascal được Yang Hui nghiên cứu từ thế kỷ 13
Ma trận được người Trung Quốc nghiên cứu và thành lập bảng ma trận từ những năm 650 TCN[17]
Người Trung Quốc cũng đã phát triển tam giác Pascal và luật ba rất lâu trước khi nó được biết đến ở châu Âu. Ngoài Tổ Xung Chi ra, một số nhà toán học nổi tiếng ở Trung Quốc thời kì này là Nhất Hành, Shen Kuo, Chin Chiu-Shao, Zhu Shijie, và những người khác. Nhà khoa học Shen Kuo sử dụng các bài toán liên quan đến giải tích, lượng giác, khí tượng học, hoán vị, và nhờ đó tính toán được lượng không gian địa hình có thể sử dụng với các dạng trận đánh cụ thể, cũng như doanh trại giữ được lâu nhất có thể với lượng phu có thể mang lương cho chính họ và binh sĩ.

Thậm chí sau khi toán học Châu Âu bắt đầu nở rộ trong thời kì Phục hưng, toán học Châu Âu và Trung Quốc khác nhau về truyền thống, với sự sụt giảm của toán học Trung Quốc, cho tới khi các nhà truyền đạo Thiên Chúa giáo mang các ý tưởng toán học tới và đi giữa hai nền văn hóa từ thế kỉ 16 đến thế kỉ 18.

[sửa] Toán học Ấn Độ cổ điển (khoảng 400-1600)Bài chi tiết: Toán học Ấn Độ
Xem thêm: Lịch sử hệ ghi số Hindu-Arabic

AryabhataCuốn Surya Siddhanta (khoảng 400) giới thiệu các hàm lượng giác như sin, cosin, và sin ngược, và đưa ra các luật để xác định chuyển động chính xác của các thiên thể, tuân theo vị trí thật của chúng trên bầu trời. Thời gian vũ trụ tuần hoàn được giải thích trong cuốn sách, được sao chép từ một công trình trước đó, tương ứng với năm thiên văn với 365,2563627 ngày, chỉ dài hơn 1,4 giây so với giá trị hiện đại. Công trình này đã được dịch ra tiếng Ả Rập và Latin trong thời Trung Cổ.

Aryabhata vào năm 499 giới thiệu hàm versin, đưa ra bản sin đầu tiên, phát triển các kĩ thuật và thuật toán của đại số, vô cùng nhỏ, phương trình vi phân, và đạt được lời giải hoàn chỉnh cho các phương trình tuyến tính bằng một phương pháp ứng với phương pháp hiện đại, cùng với các tính toán thiên văn chính xác dựa trên thuyết nhật tâm. Một bản dịch tiếng Ả Rập của cuốn Aryabhatiya có từ thế kỉ 8, sau đó là bản Latin vào thế kỉ 13. Ông cũng tính giá trị π chính xác tới bốn chữ số sau dấu phẩy. Madhava sau đó vào thế kỉ 14 đã tính giá tị của số π chính xác tới chữ số thập phân thứ mười một là 3.14159265359.


Chứng minh của Brahmagupta rằng AF = FDVào thế kỉ 17, Brahmagupta đã đưa ra định lý Brahmagupta, đẳng thức Brahmagupta và công thức Brahmagupta lần đầu tiên, trong cuốn Brahma-sphuta-siddhanta, ông đã giải thích một cách rõ ràng cách sử dụng số 0 vừa là kí hiệu thay thế vừa là chữ số thập phân và giải thích hệ ghi số Hindu-Arabic. Theo một bản dịch của văn bản tiếng Ấn về toán học này (khoảng 770), các nhà toán học Hồi giáo đã được giới thiệu hệ ghi số này, mà họ gọi là hệ ghi số Ả Rập. Các nhà học giả Hồi giáo đã mang kiến thức về hệ ghi số này tới Châu Âu trước thế kỉ 12, và nó đã thay thế toàn bộ các hệ ghi số cũ hơn trên toàn thế giới. Vào thế kỉ 10, bình luận của Halayudha về công trình của Pingala bao gồm một nghiên cứu về dãy Fibonacci và tam giác Pascal, và mô tả dạng của một ma trận.

Vào thế kỉ 12, Bhaskara lần đầu tiên đặt ra ý tưởng về giải tích vi phân, cùng với khái niệm về đạo hàm, hệ số vi phân và phép lấy vi phân. Ông cũng đã chứng minh định lý Rolle (một trường hợp đặc biệt của định lý giá trị trung bình), nghiên cứu phương trình Pell, và xem xét đạo hàm của hàm sin. Từ thế kỉ 14, Madhava và các nhà toán học khác của Trường Kerala, phát triển thêm các ý tưởng của ông. Họ đã phát triển các khái niệm về thống kê toán học và số dấu phẩy động, và khái niệm căn bản cho việc phát triển của toàn bộ giải tích, bao gồm định lý giá trị trung bình, tích phân từng phần, quan hệ giữa diện tích dưới một đường cong và nguyên hàm của nó, kiểm tra tính hội tụ, phương pháp lặp để giải nghiệm phương trình phi tuyến, và một số chuỗi vô hạn, chuỗi hàm mũ, chuỗi Taylor và chuỗi lượng giác. Vào thế kỉ 16, Jyeshtadeva đã củng cố thêm rất nhiều định lý và phát triển của Trường Kerala trong cuốn Yuktibhasa, văn bản về đạo hàm đầu tiên trên thế giới, cũng đưa ra khái niệm tích phân. Phát triển toán học ở Ấn Độ chững lại từ cuối thế kỉ 16 do các rắc rối về chính trị.

[sửa] Toán học Ả Rập và đạo Hồi (khoảng 800-1500)
Muḥammad ibn Mūsā al-ḴwārizmīBài chi tiết: Toán học Đạo Hồi
Xem thêm: Lịch sử hệ ghi số Hindu-Arabic
Đế chế Ả Rập Đạo Hồi được thiết lập trên toàn bộ Trung Đông, Trung Á, Bắc Phi, Iberia, và một số phần của Ấn Độ trong thế kỉ 8 đã tạo nên những cống hiến quan trọng cho toán học. Mặc dù phần lớn các văn bản Đạo Hồi được viết bằng tiếng Ả Rập, chúng không hoàn toàn được viết bởi những người Ả Rập, rất có thể do vị thế của Hy Lạp trong thế giới Hellenistic, tiếng Ả Rập được sử dụng như là ngôn ngữ viết của các học giả không phải người Ả Rập trong thế giới Đạo Hồi thời bấy giờ. Một số trong những nhà toán học Đạo Hồi quan trọng nhất là người Ba Tư.

Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, một nhà toán học và thiên văn học Ba Tư thế kỉ thứ 9, đã viết một vài cuốn sách quan trọng về hệ ghi số Hindu-Arabic và về các phương pháp giải phương trình. Cuốn sách của ông Về tính toán với hệ ghi số Hindu, được viết khoảng năm 825, cùng với công trình của nhà toán học Ả Rập Al-Kindi, là những công cụ trong việc truyền bá toán học Ấn Độ và hệ ghi số Hindu-Arabic tới phương Tây. Từ algorithm (thuật toán) bắt nguồn từ sự Latin hóa của tên ông, Algoritmi, và từ algebra (đại số) từ tên của một trong những công trình của ông, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân đối). Al-Khwarizmi thường được gọi là "cha đẻ của đại số", bởi sự bảo tồn các phương pháp đại số cổ đại của ông và các cống hiến của ông đối với lĩnh vực này.[18] Các phát triển thêm của đại số được thực hiện bởi Abu Bakr al-Karaji (953—1029) trong học thuyết của ông al-Fakhri, ở đó ông mở rộng các quy tắc để thêm cả lũy thừa số nguyên và nghiệm nguyên vào các đại lượng chưa biết. Vào thế kỉ 10, Abul Wafa đã dịch công trình của Diophantus thành tiếng Ả Rập và phát triển hàm tang.

Chứng minh đầu tiên bằng quy nạp toán học xuất hiện trong một cuốn sách viết bởi Al-Karaji khoảng 1000 CN, người đã sử dụng nó để chứng minh định lý nhị thức, tam giác Pascal, và tổng của các lập phương nguyên.[19] Nhà nghiên cứu lịch sử toán học, F. Woepcke,[20] đã ca ngợi Al-Karaji là "người đầu tiên giới thiệu các định lí của các phép tính đại số."

Ibn al-Haytham là người đầu tiên bắt nguồn sử dụng các công thức tính tổng của lũy thừa bậc bốn sử dụng phương pháp quy nạp, từ đó phát triển thành phương pháp tính tích phân.[21]

Omar Khayyam, nhà thơ thế kỉ 12, cũng là một nhà toán học, viết Bàn luận về những khó khăn của Euclid, một cuốn sách về các thiếu sót của cuốn Cơ sở của Euclid, đặc biệt là tiên đề về đường thẳng song song, và do đó ông đặt ra nền móng cho hình học giải tích và hình học phi Euclid. Ông cũng là người đầu tiên tìm ra nghiệm hình học của phương trình bậc ba. Ông cũng có ảnh hưởng lón trong việc cải tổ lịch.


Nasir al-Din Tusi và bảng IlkhanicNhà toán học Ba Tư Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) vào thế kỉ 13 đã tạo nên những bước tiến trong lượng giác hình cầu. Ông cũng viết các công trình có ảnh hưởng lớn tới tiên đề về đường thẳng song song của Euclid.


Bút tích của Jamshīd al-KāshīVào thế kỉ 15, Ghiyath al-Kashi đã tính giá trị số π tới chữ số thập phân thứ 16. Kashi cũng có một thuật toán cho phép tính căn bậc n, là trường hợp đặc biệt của các phương pháp đã đưa ra hàng thế kỉ sau bởi Ruffini và Horner. Các nhà toán học Hồi giáo đáng lưu ý khác bao gồm al-Samawal, Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Jamshid al-Kashi, Thabit ibn Qurra, Abu Kamil và Abu Sahl al-Kuhi.

Đến thời Đế chế Ottoman (từ thế kỉ 15), sự phát triển của toán học Hồi giáo bị chững lại. Điều này song song với sự chững lại của toán học khi người Roma chinh phục được thế giới Hellenistic.

John J. O'Connor và Edmund F. Robertson viết trong cuốn MacTutor History of Mathematics archive:

"Những nghiên cứu gần đây vẽ ra một bức tranh mới về những thứ mà ta nợ toán học Đạo Hồi. Hiển nhiên rất nhiều các ý tưởng nghĩ ra trước đó đã trở thành những khái niệm tuyệt vời do toán học Châu Âu của thế kỉ mười sáu, mười bảy, mười tám theo ta biết là đã được phát triển bởi các nhà toán học Ả Rập/Đạo Hồi bốn thế kỉ trước đó. Trong nhiều khía cạnh, toán học được nghiên cứu ngày nay còn gần hơn về phong cách đối với những thứ đó của toán học Đạo Hồi hơn là những thức của toán học Hellenistic."



[sửa] Toán học châu Âu Trung cổ (khoảng 300-1400)Mối quan tâm đến toán học của châu Âu Trung cổ là do nhiều lý do rất khác so với của các nhà toán học hiện đại. Một lý do đó là niềm tin rằng toán học là chìa khóa để hiểu được thứ bậc trong tự nhiên, thường được đánh giá trong cuộc đối thoại Timaeus của Plato và chuyến đi lớn mà Chúa đã "sắp xếp tất cả mọi thứ theo kích thước, số lượng, và cân nặng" (Wisdom 11:21).

[sửa] Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100)
Boethius và các học tròBoethius (480–524) đã dành một nơi cho toán học trong môn học khi ông đưa ra khái niệm "quadrivium" (tiếng Latinh: bốn con đường) để chỉ các môn số học, hình học, thiên văn học, và âm nhạc. Ông viết De institutione arithmetica, dịch thoáng nghĩa từ tiếng Hy Lạp tiêu đề của cuốn Introduction to Arithmetic của Nicomachus; De institutione musica, cũng phát triển từ gốc Hy Lạp; và một loạt các đoạn lấy từ cuốn Cơ sở của Euclid. Công trình của ông mang tính lý thuyết hơn là thực hành, và là công trình nền tảng của toán học cho đến khi các công trình toán học của Hy Lạp và A Rập được phục hồi.[22][23]

[sửa] Sự hồi sinh của toán học tại châu Âu (1100-1400)
FibonacciVào thế kỉ 12, các nhà học giả Châu Âu đã chu du đến Tây Ban Nha và Sicily để tìm các văn bản tiếng A Rập, trong số chúng là cuốn Al-Jabr wa-al-Muqabilah của Al-Khwarizmi, được dịch thành tiếng Latinh bởi Robert of Chester và văn bản đầy đủ của cuốn Cơ sở của Euclid, được dịch thành rất nhiều phiên bản bởi Adelard of Bath, Herman of Carinthia, và Gerard of Cremona.[24][25]

Những nguồn mới này lóe lên một thời kì hồi sinh của toán học. Fibonacci, vào đầu thế kỉ 13, đưa ra công trình toán học quan trọng đầu tiên ở châu Âu kể từ thời của Eratosthenes, một khoảng thời gian hơn một nghìn năm. Thế kỉ mười bốn đã chứng kiến sự phát triển của các khái niệm toán học mới để giải quyết một loạt bài toán.[26] Một lĩnh vực quan trọng cống hiến cho sự phát triển của toán học đó là phân tích các chuyển động địa phương.

Thomas Bradwardine đưa ra rằng vận tốc (V) tăng theo tỉ lệ số học khi tỉ số của lực (F) với lực cản ® tăng theo số mũ. Bradwardine diễn tả điều này bằng một loạt các ví dụ cụ thể, nhưng mặc dù lôgarít thời đó chưa xuất hiện, ta có thể biểu diễn kết luận của ông dưới dạng V = log (F/R).[27] Phân tích của Bradwardine là một ví dụ của việc chuyển đổi kĩ thuật toán học được sử dụng bởi al-Kindi và Arnald of Villanova để định tính bản chất của thuốc trộn thành một bài toán vật lý khác.[28]

Là một người trong nhóm Oxford Calculators vào thế kỉ 14, William Heytesbury, thiếu giải tích vi phân và khái niệm giới hạn, đã đưa ra việc đo vận tốc tức thời "bằng con đường mà có thể được mô tả bởi một vật thể nếu... nó được dịch chuyển đi theo cùng một tốc độ mà với điều đó nó được di chuyển trong thời khắc đã cho". [29]

Heytesbury và những người khác đã xác định bằng toán học khoảng cách đi được của một vật thể chuyển động có gia tốc không đổi (mà ta có thể giải dễ dàng bằng Tích phân), nói rằng "một vật thể chuyển động mà nhận vận tốc giảm hoặc tăng không đổi sẽ đi trong một thời gian nào đó cho trước một khoảng cách hoàn toàn bằng với khoảng cách ấy mà sẽ đi được nếu nó đang chuyển động liên tục trong cùng một thời gian với tốc độ trung bình".[30]


Nicole Oresme
Oresme đã đi trước Galileo trong việc nghiên cứu tích phân

Nicole Oresme tại Đại học Paris và Giovanni di Casali người Italia độc lập với nhau đưa ra biểu diễn đồ thị của quan hệ này, thêm vào diện tích dưới đường thẳng biểu thị gia tốc không đổi, thể hiện tổng quãng đường đi được. [31] Trong một buổi thảo luận sau đó về cuốn Hình học của Euclid, Oresme đưa ra một phân tích chi tiết tổng quát trong đó ông nói rằng một vật thể sẽ nhận được trong mỗi số gia của thời gian một số gia của bất kì tính chất nào mà tăng như số lẻ. Do Euclid đã chứng minh tổng của các số lẻ là các số chính phương, tổng các tính chất đạt được bởi vật thể tăng theo bình phương thời gian.[32]

[sửa] Toán học hiện đại sơ khai châu Âu
Isaac NewtonỞ châu Âu vào buổi bình minh của thời kì Phục Hưng, toán học vẫn còn bị hạn chế bởi các kí hiệu cồng kềnh sử dụng hệ ghi số La Mã và diễn đạt các quan hệ bằng từ ngữ, hơn là bằng kí hiệu: không có dấu cộng, không có dấu bằng, và không sử dụng x thay cho đại lượng chưa biết.

Vào thế kỉ 16 các nhà toán học châu Âu bắt đầu tạo nên những bước tiến mới mà không cần biết đến những nơi khác trên thế giới, tới mức như ngày nay. Bước tiến đầu tiên trong số đó là nghiệm tổng quát của phương trình bậc ba, thông thường được ghi công cho Scipione del Ferro vào khoảng 1510, nhưng xuất bản lần đầu tiên bởi Johannes Petreius ở Nürnberg trong cuốn Ars magna của Gerolamo Cardano, trong đó cũng có nghiệm tổng quát của phương trình bậc bốn từ học trò của Cardano Lodovico Ferrari.


Cuốn sách của Georg von PeuerbachTừ thời điểm này, toán học phát triển nhanh chóng, bổ trợ cho và lấy lợi ích từ các tiến bộ mới cùng thời của vật lý học. Quá trình này càng được thúc đẩy bởi những tiến bộ trong ngành in. Cuốn sách toán học sớm nhất được in là cuốn Theoricae nova planetarum của Peurbach vào 1472, theo sau là một cuốn sách về số học thương mại Treviso Arithmetic năm 1478 và cuốn sách toán học thực sự của Euclid, cuốn Cơ sở được in và xuất bản bởi Ratdolt 1482.

Do nhu cầu cấp thiết về định hướng và vẽ bản đồ chính xác cho những khu vực rộng lớn, lượng giác đã phát triển thành một ngành lớn của toán học. Bartholomaeus Pitiscus là người đầu tiên sử dụng từ Trigonometria (lượng giác) trong cuốn sách cùng tên của ông vào năm 1595. Bảng sin và cosin của Regiomontanus được xuất bản vào 1533.[33]

Regiomontanus, Đức
François Viète, Pháp
Đến cuối thế kỉ, nhờ có Regiomontanus (1436-1476) và François Vieta (1540-1603), cùng với những người khác, mà toán học đã được viết bằng hệ ghi số Hindu-Arabic và theo một dạng mà không quá khác xa so với các kí hiệu sử dụng ngày nay.

[sửa] Thế kỉ 17Thế kỉ 17 chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy của các ý tưởng toán học và khoa học trên toàn Châu Âu.

Galileo, một người Italia, đã quan sát các mặt trăng của Sao Mộc trên quĩ đạo quanh hành tinh đó, sử dụng kính viễn vọng dựa trên một đồ chơi nhập khẩu từ Hà Lan.


Mô tả của Tychoo về quỹ đạo của Mặt Trăng, Mặt Trời và các hành tinhTychoo Brahe, ở vương quốc Đan Mạch, đã thu thập một lượng lớn các dữ liệu toán học mô tả các vị trí của các hành tinh trên bầu trời. Học trò của ông, nhà toán học người Đức Johannes Kepler, bắt đầu làm việc với các dữ liệu này. Một phần bởi vì muốn giúp Kepler trong việc tính toán, John Napier, ở Scotland, là người đầu tiên nghiên cứu logarit tự nhiên. Kepler thành công trong việc lập công thức toán học các định luật của chuyển động hành tinh. Hình học giải tích được phát triển bởi René Descartes (1596-1650), một nhà toán học và triết học người Pháp, đã cho phép những quĩ đạo này có thể vẽ được trên đồ thị, trong hệ toạ độ Descartes. Xây dựng dựa trên những công trình đi trước bởi rất nhiều nhà toán học, Isaac Newton, người Anh, đã khám phá ra các định luật của vật lý để giải thích định luật Kepler, và cùng đưa đến một khái niệm bây giờ ta gọi là giải tích. Một cách độc lập, Gottfried Wilhelm Leibniz, ở Đức, đã phát triển giải tích và rất nhiều các kí hiệu giải tích vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay. Khoa học và toán học đã trở thành một nỗ lực quốc tế, nhanh chóng lan ra toàn thế giới.[34]

Thêm vào ứng dụng của toán học đối với ngành thần học, toán học ứng dụng bắt đầu mở rộng ra các lĩnh vực mới khác, với các lá thư giữa Pierre de Fermat và Blaise Pascal. Pascal và Fermat đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu lý thuyết xác suất và các định luật tổ hợp tương ứng trong các thảo luận của họ về trò đánh bạc. Pascal, với Pascal's Wager, đã cố gắng sử dụng lý thuyết xác suất mới của mình để tranh luận về một cuộc sống theo tôn giáo, thực tế là dù xác suất thành công có nhỏ đi nữa, phần lợi vẫn là vô cùng. Trong hoàn cảnh này, điều đó đã dự báo trước sự phát triển của lý thuyết thỏa dụng ở nửa sau thế kỉ 18-19

[sửa] Thế kỉ 18
Leonhard Euler do Emanuel Handmann vẽ.Như ta đã thấy, sự hiểu biết về các số tự nhiên 1, 2, 3,... còn trước bất kì văn bản viết nào. Những nền văn minh sớm nhất - ở Lưỡng Hà, Ai Cập, Ấn Độ và Trung Quốc - đều đã biết đến số học.

Một cách để xem xét sự phát triển của rất nhiều hệ toán học hiện đại khác nhau là xem các hệ mới được nghiên cứu để trả lời các câu hỏi về số học của các hệ cũ hơn. Trong thời tiền sử, phân số trả lời được câu hỏi: số nào, khi nhân với 3, thì được kết quả là 1. Ở Ấn Độ và Trung Quốc, và rất lâu sau ở Đức, các số âm được phát triển đề trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi lấy một số nhỏ trừ đi số lớn. Việc phát minh ra số không có thể là để trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi trừ một số cho chính nó.

Một câu hỏi tự nhiên khác là: căn bậc hai của số hai là kiểu số gì? Người Hy Lạp đã biết rằng nó không phải một phân số, và câu hỏi này đã đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển liên phân số. Nhưng một câu trả lời tốt hơn xuất hiện cùng với sự phát minh ra chữ số thập phân, phát triển bởi John Napier (1550-1617) và được hoàn chỉnh sau đó bởi Simon Stevin. Sử dụng các chữ số thập phân, và một ý tưởng mà tiên đoán trước được khái niệm về giới hạn, Napier cũng đã nghiên cứu một hằng số mới, mà Leonhard Euler (1707-1783) đã đặt tên là số e.

Euler có rất nhiều ảnh hưởng tới việc chuẩn hóa các kí hiệu và thuật ngữ toán học. Ông đã đặt tên căn bậc hai của âm một bằng kí hiệu i. Ông cũng phổ biến việc sử dụng chữ cái Hy Lạp π để chỉ tỉ số của chu vi một đường tròn đối với đường kính của nó. Sau đó ông còn phát triển thêm một trong những công thức đáng chú ý nhất của toán học:


Xem thêm: Công thức Euler
[sửa] Thế kỉ 19
Carl Friedrich GaussXuyên suốt thế kỉ 19 toán học nhanh chóng trở nên trừu tượng. Trong thế kỉ này đã sống một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Không kể đến rất nhiều cống hiến cho khoa học, trong toán học lý thuyết ông đã làm nên các công trình có tính cách mạng về hàm số với biến phức trong hình học và về sự hội tụ của các chuỗi. Ông đã đưa ra chứng minh đầu tiên của định lý cơ bản của đại số và của luật tương hỗ bậc hai.

Thế kỉ này chứng kiến sự phát triển của hai dạng hình học phi Euclid, trong đó tiên đề về đường thẳng song song của hình học Euclid không còn đúng nữa. Trong hình học Euclid, cho một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó, thì chỉ có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và đi qua điểm đó mà thôi.

Lobachevsky
Janos Bolyai
Riemann