Chủ đề này có 3 trả lời

[lehaison_math]

Tìm x,y,z
$\left\{ \begin{array}{l}{y^3} - 9{x^2} + 27x - 27 = 0\\{z^3} - 9{y^2} + 27y - 27 = 0\\{x^3} - 9{z^2} + 27z - 27 = 0\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 18-07-2011 - 09:46

[h.vuong_pdl]

Tìm x,y,z
$\left\{ \begin{array}{l}{y^3} - 9{x^2} + 27x - 27 = 0\\{z^3} - 9{y^2} + 27y - 27 = 0\\{x^3} - 9{z^2} + 27z - 27 = 0\end{array} \right.$

Đặt $f(a) = a^3, g(a) = 9a^2-27a+27$. hệ đã cho trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}f(y)=g(x)\\ f(z)=g(y)\\f(x)= g(z) \end{array}\right.$

lại để ý: $g(a) = 9(a^2-3a+3) = 9\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4} \Rightarrow x^3, y^3, z^3 \ge \dfrac{27}{4}.$

Xét: $f'(a) = a^3 = 3a^2 >0$, với mọi a nên hàm f(a) đồng biến.

Xét $g'(a)=18a-27 > 0$ với mọi $a \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$ nên g(a) cũng là hàm đồng biến.

Lại do vai trò hoán vị vòng quanh nên không mất tính tổng quát, giả sử $x = \max\left{x; y; z\right}$ thì ta có:

$f(x) \ge f(y) \Rightarrow g(z) \ge g(x) \Rightarrow z \ge x.$ Vậy suy ra $x=y=z.$

Thay lại hệ giải có ngay $x=y=z = 3$ là nghiệm duy nhất của hệ đã cho.

[pretty_sp2]

Đặt $f(a) = a^3, g(a) = 9a^2-27a+27$. hệ đã cho trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}f(y)=g(x)\\ f(z)=g(y)\\f(x)= g(z) \end{array}\right.$

lại để ý: $g(a) = 9(a^2-3a+3) = 9\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4} \Rightarrow x^3, y^3, z^3 \ge \dfrac{27}{4}.$

Xét: $f'(a) = a^3 = 3a^2 >0$, với mọi a nên hàm f(a) đồng biến.

Xét $g'(a)=18a-27 > 0$ với mọi $a \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$ nên g(a) cũng là hàm đồng biến.

Lại do vai trò hoán vị vòng quanh nên không mất tính tổng quát, giả sử $x = \max\left{x; y; z\right}$ thì ta có:

$f(x) \ge f(y) \Rightarrow g(z) \ge g(x) \Rightarrow z \ge x.$ Vậy suy ra $x=y=z.$

Thay lại hệ giải có ngay $x=y=z = 3$ là nghiệm duy nhất của hệ đã cho.

g'(a)=18a-27 > 0 với mọi a \geq 3/2

[alex_hoang]

Tìm x,y,z
$\left\{ \begin{array}{l}{y^3} - 9{x^2} + 27x - 27 = 0\\{z^3} - 9{y^2} + 27y - 27 = 0\\{x^3} - 9{z^2} + 27z - 27 = 0\end{array} \right.$

Đây là một dạng hệ phương trình nổi tiếng vì sử dụng tính đơn điệu hàm số có rất nhiều bài toán mà ta gặp tuy nhiên sseeuf ở dạng
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(x) = g(y)}\\{f(y) = g(z)}\\{f(z) = g(x)}\end{array}} \right.$
với f(x) và g(x)là những hàm đơn điệu tên một khoảng nào đó mà ta xét