Chủ đề này có 93 trả lời

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ cùng nhau thảo luận về các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai, có thể chia theo các dạng sau :
- Dạng 1 : Giải phương trình bậc hai.
- Dạng 2 : Biện luận phương trình theo tham số.
- Dạng 3 : Hệ thức Viet và các dạng toán liên quan
- Dạng 4 : Các phương trình có thể đưa được về dạng phương trình bậc hai.
Mong các bạn qua đây sẽ "hiểu ” và "biết” thêm về phương trình bậc hai - một loại phương trình tưởng đơn giản nhưng thực ra rất thú vị và phức tạp.

Quy định chung của topic :
- Các bạn post các bài toán liên quan đến PT bậc hai, tuyệt đối không post các bài phương trình vô tỉ sử dụng các phương pháp khác trong topic. Các bài toán này cần được đánh số theo thứ tự, có thể thuộc 1 trong 4 dạng đã nói ở đầu topic. Các bạn nên tập trung giải những bài toán chưa có lời giải hoặc lời giải không chính xác. Nếu như chưa làm được nhưng có hướng làm thì có thể điền phía trước thông tin là ì Hướng làm bài ”.
- Các bạn viết bằng Tiếng Việt, tuyệt đối không dùng ngôn ngữ chat, không SPAM, nếu chưa biết viết latex thì viết đầy đủ thông tin .
Chẳng hạn, để viết : $ \dfrac{x + 1}{x + 2} $ , thì phải viết là : ( x + 1 )/(x + 2) chứ không được viết là x + 1/ x + 2.
Nhưng tốt hơn hết là phải biết viết latex
- Nếu bạn nào hiểu rõ về dạng toán của một bài toán nào đó thì có thể viết thêm ở dưới bài viết ì Cách giải tổng quát”.
- Đọc kỹ quy định topic trước khi post bài.
- Viết TIẾNG VIỆT phải đúng chuẩn, đầu dòng viết hoa, không viết tắt đại loại như : ko ( không ), vs ( với)…
- Các bài toán yêu cầu giải phương trình bậc hai thì nên giải ra nghiệm rõ ràng.
VD : Giải phương trình :
$ x^2 + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}x - \sqrt{3} = 2$
Mong rằng topic này sẽ là nơi cho các bạn khóa sau, sau nữa làm nơi tham khảo và bổ sung kiến thức về PT bậc hai để có kiến thức vững vàng trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.
Một số bài toán đầu tiên :
Bài 1 : Gọi $ x_1, x_2 $ là các nghiệm của của phương trình $ x^2 - 3x - 7 = 0$.
Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là : $ \dfrac{1}{x_1 - 1}$ và $ \dfrac{1}{x_2 - 1}$
Bài 2 : Cho phương trình : $ x^2 - m^2x + 2m + 1 = 0$
a, Giải phương trình khi $ m = \sqrt{2}$
b, Gọi $ x_1, x_2 $ là hai nghiệm của phương trình trên. Lập hệ thức liên hệ giữa $ x_1 $ và $ x_2 $ không phụ thuộc vào tham số m.
c, Tìm m sao cho : $ ( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2})^2 = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-11-2012 - 21:58

[caubeyeutoan2302]

Mình cám ơn Phạm Hữu Bảo Chung rất nhiều về việc lập ra toic này. Các chuyên đề Phương trình bậc 2 và ứng dụng rất cần thiết cho các em lớp 9 chuẩn bị chuyển cấp kể cả các học sinh bậc Trung Học Phổ Thông. Mình mong mọi người nhiệt tình đóng góp những ý kiến hay cho topic và tuân thủ đúng các quy định mà bạn Chung đã đặt ra . Mình xin giải Bài 1, Bài 2 trước:
Bài 1:
Do $x_1;x_2$ lần lượt là các nghiệm của phương trình $x^2-3x-7=0$ cho nên theo định lí Viet ta có :
$ \begin{cases} x_1+x_2=3 \\ x_1x_2=-7 \end{cases} $
Gọi $y_1=\dfrac{1}{x_1-1}; y_2=\dfrac{1}{x_2-1}$. mục tiêu ta là tìm ra PT bậc 2 chứa 2 nghiệm $y_1;y_2$
Thật vậy , ta có :$y_1.y_2=\dfrac{1}{(x_1-1)(x_2-1)}=\dfrac{1}{x_1x_2-(x_1+x_2)+1}=\dfrac{1}{-7-3+1}=-\dfrac{1}{9}$ (1)
$y_1+y_2=\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=\dfrac{x_1+x_2-2}{x_1x_2-(x_1+x_2)+1}=\dfrac{3-2}{-7-3+1}=-\dfrac{1}{9}$(2)
Từ (1),(2), theo định lí Viet đảo ta có $y_1;y_2$ là ngiệm của Phương Trình:$y^2+\dfrac{1}{9}y-\dfrac{1}{9}=0$ hay$9y^2+y-1=0$
Bài 2:
Câu a:Với giả thuyết của đề bài ta có Phương trình:$x^2-2x+2\sqrt{2}+1=0$. Vì Biệt thức của Phương trình:$\delta=1-(2\sqrt{2}+1)=-2\sqrt{2}<0$. Do đó Phương trình đã cho vô ngiệm
Câu b:
Vì $x_1;x_2$ là các nghiệm của Phương trình $x^2-m^2x+2m+1=0$ cho nên theo Định lí Viet ta có :
$\begin{cases} x_1+x_2=m^2 \\ x_1x_2=2m+1 \end{cases} $ Vậy:
$4(x_1+x_2)-x_1^2.x_2^2=4m^2-(2m+1)^2=-4m-1 =-2(2m+1)+1=-2x_1x_2+1 \\ \Leftrightarrow 4(x_1+x_2)-x_1^2.x_2^2+2x_1x_2=1$
Vậy biểu thức liên hệ giữa $x_1;x_2$ là biểu thức $ 4(x_1+x_2)-x_1^2.x_2^2+2x_1x_2=1$
Câu c: Ta có
$(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2})^2=1 \\ \Leftrightarrow (\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2})^2=1 \\ \Leftrightarrow (\dfrac{m^2}{2m+1})^2=1 \\ \Leftrightarrow m^4=(2m+1)^2 \\ \Leftrightarrow m^2=|2m+1|$
Xét TH1 với $m \ge -\dfrac{1}{2}$ , ta có:
$m^2-2m-1=0 \Leftrightarrow m=1 \pm \sqrt{2}$( Cả 2 giá trị m đều thỏa điều kiện)
Xét TH2 với $ m \le -\dfrac{1}{2}$ , ta có :
$m^2=-2m-1 \Leftrightarrow (m+1)^2=0 \Leftrightarrow m=-1$( Giá trị này thỏa điều kiện)
KL m thuộc {$-1;1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}$}

[caubeyeutoan2302]

Mình xin góp tiếp 2 bài về phương trình bậc 2 như sau:
Bài 3:Cho phương trình: $x^2-2(m-1)x-m=0$
a)Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm $x_1,x_2$ với mọi m
b) Với m khác 0 , lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là $x_1+\dfrac{1}{x_2}$ và $x_2+\dfrac{1}{x_1}$
Bài 4: Giả sử a,b là 2 nghiệm của phương trình $x^2+px+1=0$ và c,d là 2 nghiệm của phương trình :$x^2+qx+1=0$
Hãy chứng minh hệ thức: $(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)=q^2-p^2$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cảm ơn bạn caubeyeutoan2302 đã ủng hộ topic. Rất tiếc là vì nút thank đã bị mất nên không thể cảm ơn bằng hành động mà thay vào đó là bằng lời nói.
Từ 2 bài trên, ta đã động chạm đến 4 dạng bài toán liên quan đến phương trình bậc hai.
Đó là :
Bài 1 :
Lập phương trình bậc hai khi biết nghiệm số của nó.
Bài 2 :
a, Giải phương trình bậc hai khi cho giá trị cụ thể của tham số.
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
c, Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.
Ta dễ dàng nhận thấy là dạng toán ở câu a bài 2 khá dễ, chỉ cần HS nắm vững những lí thuyết cơ bản và cẩn thận trong khi thay giá trị tham số thì sẽ dễ dàng xử lý những bài toán kiểu này.
Do đó ta chỉ bàn về các dạng toán ở bài 1 và các câu b, c bài 2 :

PHẦN 1
Lập phương trình bậc hai khi biết nghiệm số của nó.

Phần này có ba dạng toán chủ yếu, đó là :
Dạng 1 : Lập phương trình bậc hai với nghiệm số là các số cụ thể.
Dạng bài này chỉ cần sử dụng định lý đảo của định lý Viét thì dễ dàng giải quyết.
Ta có : Nếu 2 số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
$ x^2 - Sx + P = 0 $
Điều kiện để có hai số đó là $ S^2 - 4P \geq 0 $
Dạng 2 : Lập phương trình bậc hai với nghiệm số là các biểu thức chứa nghiệm của một phương trình bậc hai cho trước.
Ở dạng này, theo mình thì có thể chia làm 2 loại :
+ Phương trình cho trước không chứa tham số. Dạng này đã có ở bài 1. Các nghiệm số của phương trình cần lập là các biểu thức có chứa nghiệm số của phương trình cho trước.
Bài 5 : Cho $ x_1, x_2 $ là các nghiệm ( nếu có ) của phương trình $ x^2 - 2x - 8= 0$
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm : $ 2x_1 + x_2$ và $ 2x_2 + x_1$
Bài 6 : Cho $ x_1, x_2 $ là các nghiệm( nếu có ) của phương trình $ x^2 - 5x + 9 = 0$
Bài 7 ( Đề thi tuyển sinh vào trường PTNK - ĐHQG TP.HCM, 2000 - 2001)
Gọi $ x_1, x_2 $ là hai nghiệm của phương trình $ x^2 - 7x + 3 = 0$
a, Hãy lập phương tình bậc hai có hai nghiệm là $ 2x_1 - x_2$ và $ 2x_2 - x_1$
b, Hãy tính giá trị của biểu thức : $ A = |2x_1 - x_2| + |2x_2 - x_1|$
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $ x_1^2 + x_2 $ và $ x_2^2 + x_1$
+ Phương trình cho trước có chứa tham số. Thực ra việc giải bài toán này
cũng không quá phức tạp. Dạng toán này đòi hỏi kỹ năng biến đổi đại số và tính cẩn thận.
Bài 8 : Cho phương trình $ x^2 - 2 ( m + 2 ).x + m^2 - 1 = 0 $ ( với m là tham số ) có hai nghiệm $ x_1, x_2$. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là : $ y_1 = 4x_1^2 - 1; y_2 = 4x_2^2 - 1$
Dạng 3 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm số thỏa mãn các đẳng thức.
Những bài toán thuộc dạng này thường có các đẳng thức đối xứng giữa các nghiệm ( có nghĩa là nếu thay các nghiệm này cho nhau thì đẳng thức không thay đổi hay nói cách khác là vai trò của các biến là như nhau).
VD : $ x_1.x_2; x_1^2 + x_2^2 ; \dfrac{1}{x_1^3} + \dfrac{1}{x_2^3}…$
Cách giải : Đa số các bài toán thuộc dạng này đều dùng cách đặt ẩn phụ $ S = x_1 + x_2, P = x_1.x_2$ sau đó đưa các đẳng thức cần tính về các biểu thức có chứa S và P. Bước cuối cùng là giải các phương trình hoặc hệ phương trình có ẩn S, P và lập phương trình cần tìm.
Bài 9 : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $ x_1, x_2 $ thỏa mãn :
$ x_1.x_2 = 4$ và $ \dfrac{x_1}{x_1 - 1 } + \dfrac{x_2}{x_2 - 1} = \dfrac{a^2 - 7}{a^2 - 4}$.
Bài 10 : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $ x_1, x_2 $ thỏa mãn :
$ \left\{\begin{array}{l}4x_1x_2 - 5( x_1 + x_2 ) + 4 = 0\\( x_1 - 1 )( x_2 - 1 ) = \dfrac{1}{m + 1}\end{array}\right.$
* Ngoài ra còn có một số dạng toán lập phương trình với các hệ số, nghiệm thỏa mãn những điều kiện cho trước :
Bài 11 : Lập phương trình bậc hai có các hệ số hữu tỉ và có một nghiệm là :

$ \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$

Bài 12 ( Đề thi chọn HSG TP. Hải Phòng, 1993 )
Hãy viết phương trình bậc hai ( ẩn x ) dạng : $ x^2 + px + q = 0$. Biết rằng phương trình có nghiệm nguyên, các hệ số p, q đều là nguyên và p + q + 1 = 1993.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 3: Cho phương trình: $x^2-2(m-1)x-m=0$
a, Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm $x_1,x_2$ với mọi m
b, Với m khác 0 , lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là $x_1+\dfrac{1}{x_2}$ và $x_2+\dfrac{1}{x_1}$
Gợi ý :
a, Tính biệt thức $ \Delta' = [- ( m - 1 )]^2 - 1.( - m ) = m^2 - 2m + 1 + m = m^2 + m + 1$
Chứng minh $ m^2 + m + 1 \geq 0 $ ( dấu " = " không xảy ra )
b, Câu này thuộc Dạng 2, PHẦN 1.
Dùng hệ thức Viét để tính $ S = x_1 + x_2 $ và $ P = x_1.x_2$
Ta có :
$ ( x_1 + \dfrac{1}{x_2}) + ( x_2 + \dfrac{1}{x_1}) = ( x_1 + x_2 ) + ( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}) = S + \dfrac{S}{P}$
$ ( x_1 + \dfrac{1}{x_2})( x_2 + \dfrac{1}{x_1}) = x_1x_2 + 2 + \dfrac{1}{x_1x_2} = P + 2 + \dfrac{1}{P}$
P/S : Các bạn khác tự giải nhé.
Bài 4 ( Đề thi chọn HSG Toán toàn quốc, 1992 - 1993 )
Giải :
Do a, b là nghiệm của phương trình : $ x^2 + px + 1 = 0 $ nên theo định lý Viét, ta có :
$ \left\{\begin{array}{l}a + b = - p \\ab = 1\end{array}\right.$
Tương tự, ta có : $ \left\{\begin{array}{l}c + d = -q\\cd = 1\end{array}\right.$
Ta có : $ ( a - c )( b - c )( a + d )( b + d) = [( a - c )( b + d )].[( b - c )( a + d)]$
$ = [ab + ad - bc - cd][ab + bd - ac - cd] = [1 + ad - bc - 1][1 + bd - ac - 1]$
$ = ( ad - bc )( bd - ac ) = abd^2 - a^2cd - b^2cd + abc^2 = d^2 - a^2 - b^2 + c^2$
$ = ( c^2 + 2 + d^2 ) - ( a^2 + 2 + b^2 ) $
$ = ( c^2 + 2cd + d^2 ) - ( a^2 + 2ab + b^2 ) = ( c + d )^2 - ( a + b )^2 = q^2 - p^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 10-07-2011 - 20:30

[taitwkj3u]

Bài 5:
theo định lý viét
$ x_1 + x_2 = 2 $ và $ x_1x_2= -8$
ta có $ (2x_1 +x_2)+(x_1+2x_2)= 3(x_1+x_2) =6 $
$ (2x_1 +x_2)+(2x_2+x_1)= 2(x_1^2 +x_2^2) +5x_1x_2 =2((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)+5x_1x_2= -16 $
phương trình đó là:
$ x^2 -6x-8 $

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 13 : Xác định phương trình bậc 2
$ P_x=ax^2+bx+c $
Thỏa mãn điều kiện $ |P_x| \leq 10 $ với mọi $ x \in [-1;1] $ và |a| + |b| + |c| đạt giá trị max.
P/S : Đầu dòng viết hoa nha bạn, tiếp đó là phải đánh số thứ tự của bài. Muốn viết dấu GTTĐ thì bạn giữ phím Shift , rồi nhấn vào phím \ ( nằm phía trên phím Enter, bên cạnh phím Back Space). Bạn sửa lại bài nhé !
Bài 5 : Phương trình chỉ có một vế thôi à ! Và ở chỗ dòng thứ 4 từ trên xuống phải là $ ( 2x_1 + x_2 )( 2x_2 + x_1 ) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 10-07-2011 - 21:05

[Phạm Hữu Bảo Chung]

PHẦN 2
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số.

Các bước để giải bài toán dạng này ( Trích từ sách : Phương pháp giải các dạng toán : Bài tập căn bản và nâng cao lớp 9 tập hai )
Trước tiên, cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vì nếu phương trình vô nghiệm thì sẽ không áp dụng được hệ thức Viét.
• Bước 1 : Lập $S$ ( phụ thuộc theo tham số $m$ )
• Bước 2 : Lập $P$ ( phụ thuộc theo tham số $m$ )
• Bước 3 : Khử $m$ để lập một hệ thức giữa $S$ và $P$.
• Bước 4 : Thay $S = x_1 + x_2$ và $P = x_1x_2$ thì được hệ thức phải tìm.

Chú ý : Nếu $P$ hay $S$ bằng hằng số thì đó chính là hệ thức phải tìm, không cần 2 bước sau.

Có một cách khác được trình bày trong cuốn sách "Phương trình bậc hai và một số ứng dụng”, như sau :
Xét biểu thức: $aP + bS$ , trong đó $a, b$ là những số phải xác định để khử $m$ khỏi biểu thức đó. Sau đó đưa biểu thức về dạng :
$$ M.a + N.b + P_{m} = 0 $$
( $M, N$ là hằng số )
Biểu thức $ P_{m}$ lúc này còn chứa $a, b$. Chỉ cần xác định $a, b$ sao cho $ P_{m} = 0$ là ta có hệ thức cần tìm. ( Cách này thường được áp dụng cho các biểu thức mà trong đó số mũ cao nhất của $m$ là 1 ).

Ngoài ra, ở những biểu thức có các hệ số đơn giản. ta có thể tự mò ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số.
Ví dụ Cho phương trình : $ x^2 - m^2x + 2m + 1 = 0$. Gọi $ x_1, x_2 $ là hai nghiệm của phương trình trên. Lập hệ thức liên hệ giữa $ x_1 $ và $ x_2 $ không phụ thuộc vào tham số $m$.
Giải
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
$$ \Delta = (- m^2) - 4.1.( 2m + 1 ) \geq 0$$
$$ \Leftrightarrow m^4 - 8m - 4 \geq 0 \Leftrightarrow m^4 \geq 8m + 4$$
Theo định lý Viét, ta có :
$$ \left\{\begin{array}{l}S = x_1 + x_2 = m^2\\P = x_1.x_2 = 2m + 1\end{array}\right. ( S^2 \geq 4P ) $$
Ta có : $P = 2m + 1 \Rightarrow m = \dfrac{P - 1}{2}$
Thay $ m = \dfrac{P - 1}{2} $ vào biểu thức $ S = m^2 $, ta có :
$$ S = m^2 = (\dfrac{P - 1}{2})^2 = \dfrac{P^2 - 2P + 1}{4}$$
$$ \Leftrightarrow 4S = P^2 - 2P + 1 \Leftrightarrow P^2 - 2P - 4S + 1 =0$$
$$ \Leftrightarrow x_1^2.x_2^2 - 2x_1x_2 - 4( x_1 + x_2 ) + 1 = 0$$

Bài tập
Bài 14 : Cho phương trình $ ( m - 1 )x^2 - 2 ( m - 4 )x + m - 5 = 0 ( m \neq 1 )$
Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc tham số $m$.

Bài 15 (Thi HSG Quốc gia - 1995 )
Cho phương trình bậc hai $ x^2 + mx + n = 0 $, biết rằng $ n \leq m - 1$.
Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2$. Chứng minh $ x_1^2 + x_2^2 \geq 1 $ với mọi $m, n$ thỏa mãn điều kiện đó.

Bài 16 : Cho phương trình bậc hai : $ ( m - 2 )x^2 - 2( m + 2 )x + 2( m - 1) = 0 $. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số $m$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-12-2012 - 15:54

[Phạm Hữu Bảo Chung]

PHẦN 3
Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bổ sung một số kiến thức về phần này :
Bổ sung 1 : Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai :
Giả sử phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 ( a \neq 0 )$ có hai nghiệm $ x_1, x_2 $. Ta có các hệ thức sau :
• $ x_1^2 + x_2^2 = ( x_1 + x_2 )^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P$
• $ ( x_1 - x_2 )^2 = ( x_1 + x_2 )^2 - 4x_1x_2 = S^2 - 4P $
• $ x_1^3 + x_2^3 = ( x_1 + x_2 )^3 - 3x_1x_2( x_1 + x_2 ) = S^3 - 3PS $
• $ x_1^4 + x_2^4 = ( x_1^2 + x_2 ^2 )^2 - 2x_1^2x_2^2 = ( S^2 - 2P )^2 - 2P^2$
• $ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{S}{P}$.
• $ \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \dfrac{S^2 - 2P}{P}$
• $ ( x_1 - a)( x_2 - a ) = x_1x_2 - a( x_1 + x_2 ) + a^2 = P - aS + a^2$
• $ \dfrac{1}{x_1 - a} + \dfrac{1}{x_2 - a} = \dfrac{x_1 + x_2 - 2a}{(x_1 - a )(x_2 - a )} = \dfrac{S - 2a}{P - aS + a^2 } $

Bài tập 17 : Gọi $ x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ 5x^2 - 3x - 1 = 0 $. Tính giá trị các biểu thức sau :
a, $ A = x_1^2 + x_2^2$
b, $ B = | x_1 - x_2|$
c, $ C = \dfrac{1}{x_1 - 1} + \dfrac{1}{x_2 - 1}$
d, $ D = ( 3x_1 + x_2 )( 3x_2 + x_1 )$
e, $ E = 2x_1^3 - 3x_1^2x_2 + 2x_2^3 - 3x_1x_2^2$
f, $ F = \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_1}{x_2 + 1} + \dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_2}{x_1 + 1} - (\dfrac{1}{x_1} - \dfrac{1}{x_2})^2$
g, $ G = \dfrac{3x_1^2 + 5x_1x_2 + 3x_2^2}{4x_1x_2^3 + 4x_1^3x_2}$

Bổ sung 2 : Xác định dấu của các nghiệm, xác định các hệ số của phương trình theo điều kiện về dấu của nghiệm.
Dấu của nghiệm số phương trình bậc hai :
Cho phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0, ( a \neq 0 )$. Gọi $ x_1, x_2 $ là các nghiệm của phương trình. Ta có các kết quả sau :
• $ P < 0 \Rightarrow x_1 < 0 < x_2 $
• $ \left\{\begin{array}{l}\Delta \geq 0\\P > 0 \\ S > 0\end{array}\right. \Leftrightarrow 0 < x_1 \leq x_2$
• $ \left\{\begin{array}{l}\Delta \geq 0\\P > 0 \\ S < 0\end{array}\right. \Leftrightarrow x_1 \leq x_2 < 0$
• $ \left\{\begin{array}{l}P = 0 \\ S > 0\end{array}\right. \Leftrightarrow 0 = x_1 < x_2$
• $ \left\{\begin{array}{l}P = 0 \\ S < 0\end{array}\right. \Leftrightarrow x_1 < x_2 = 0$

Bài tập 18 ( Đề thi chọn HSG TP.HCM, 2000 - 2001 )
Cho phương trình $ mx^2 - 2( m + 1 )x + m + 2 = 0$
a, Định $m$ để phương trình có nghiệm.
b, Định $m$ để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu.

Bổ sung 3 : So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước.
( Bài tập phần này khá khó )

Bài tập 19 ( Đề thi chọn HSG Toán Ba Lan, 1950 )
Cho hai phương trình bậc hai :

$$ x^2 + mx + n = 0 (1) $$

$$ x^2 + px + q = 0 (2) $$

Các tham số $m, n, p, q$ phải thỏa điều kiện gì để các nghiệm $ x_1, x_2 $ của (1) và $ x_3, x_4$ của (2) thỏa điều kiện: Mỗi phương trình có một nghiệm bị kẹp giữa các nghiệm của phương trình kia.

Bài tập 20 ( Đề thi chọn HSG Hungary, 1915 )
Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là những số dương thì phương trình :
$

$ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - a} + \dfrac{1}{x + b} = 0$$

có hai nghiệm $ x_1, x_2 ( x_1 > x_2 )$ sao cho : $ \dfrac{a}{3} < x_1 < \dfrac{2a}{3}$ và $ \dfrac{-2b}{3} < x_2 < \dfrac{- b}{3}$.

* Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phần này chỉ có hai dạng chủ yếu, đó là :
- Xác định tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một đẳng thức.
- Xác định tham số để một biểu thức có chứa các nghiệm số của phương trình ban đầu đạt cực trị.
Dạng 1 : Xác định tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một đẳng thức.
Các bài toán thuộc dạng này đòi hỏi người làm phải có tính nhẫn nại và đôi khi là sự liều lĩnh.
Cách làm :
• Bước 1 : Lập $S$ ( phụ thuộc theo tham số $m$ )
• Bước 2 : Lập $P$ ( phụ thuộc theo tham số $m$ )
• Bước 3 : Đưa các đẳng thức trên về dạng $f(S) + f(P) = k$ ( với $f(S), f(P)$ là các biểu thức chứa $S, P; k$ là hằng số )
• Bước 4 : Thay $S, P$ theo $m$. Giải phương trình vừa tìm được và kết luận.
Có thể chia dạng này thành 2 loại :
- Đẳng thức đã cho đối xứng giữa các nghiệm.
VD : $ \dfrac{1}{x_1 - 2} + \dfrac{1}{x_2 - 2} = 2; x_1^2x_2 + x_2^2x_1 = 1$

Bài 21 :
Tìm $m$ để phương trình $ 3x^2 + 4( m - 1 )x + m^2 - 4m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $ x_1, x_2$ thỏa mãn:
$

$\dfrac{1}{x_1} +\dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{2}( x_1 + x_2 )$$

Bài 22 : Cho hai phương trình :

$$ ax^2 + bx + c = 0 (1)$$

$$ cx^2 + bx + a = 0 (2)$$

Tìm liên hệ giữa các số $a, b, c$ biết rằng các nghiệm $ x_1, x_2 $ của phương trình (1) và các nghiệm $ x_3, x_4 $ của phương trình (2) thỏa mãn đẳng thức:
$$ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 4$$

Bài 23 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT Trần Đại Nghĩa, TPHCM, 2002 - 2003 )
a, Cho phương trình $ x^2 - 5x - 1 = 0$. Gọi $ x_1, x_2 $ là các nghiệm của phương trình trên. Tính :

$$ A = ( x_1^2 - 4x_1 - 1 )( x_2^2 - 4x_2 - 1 ) $$

$$ B = ( x_1^3 - 5x_1^2 + 2 )( x_2^3 - 5x_2^2 + 2 )$$

b, Cho phương trình $ mx^2 + ( m^2 - 1 )x + 5 = 0$. Định $m$ để phương trình có hai nghiệm $ x_1^3 + x_2^3 = 0$.

- Đẳng thức đã cho không đối xứng giữa các nghiệm.
VD : $ 3x_1^2 + 4x_2^2 = 5; x_1 - x_2^3 = 5$

Bài 24 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT Thạnh Mỹ Tây, TP.HCM, 1992 - 1993 )
Cho phương trình : $ x^2 + px + q = 0$. Tìm p và q, biết rằng phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2$ thỏa mãn :
$

$ \left\{\begin{array}{l}x_1 - x_2 = 5\\x_1^3 - x_2^3 = 35\end{array}\right. $$

Bài 25 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT Trần Đại Nghĩa, TPHCM, 2002 - 2003 )
Định $m$ để phương trình $ 5x^2 + mx - 28 = 0 $ có hai nghiệm $ x_1, x_2$ thỏa mãn hệ thức $ 5x_1 + 2x_2 = 1$

Dạng 2 : Xác định tham số để một biểu thức có chứa các nghiệm số của phương trình ban đầu đạt cực trị.
• Bước 1 : Lập $S$ ( phụ thuộc theo tham số $m$ )
• Bước 2 : Lập $P$ ( phụ thuộc theo tham số $m$ )
• Bước 3 : Đưa các biểu thức trên về dạng $f(S) + f(P) + k$ ( với $f(S), f(P)$ là các biểu thức chứa $S, P; k$ là hằng số )
• Bước 4 : Thay $S, P$ theo $m$. Tìm cực trị của biểu thức vừa tìm.

Bài 26 : Cho phương trình $ 2x^2 + 2( m + 1)x + m^2 + 4m + 3 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2$ và $ A = | x_1x_2 - 2( x_1 + x_2 )|$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 27 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTNK, Tỉnh Hải Hưng, 1995 - 1996 )
Cho phương trình $ x^2 - ( a - 1 )x - a^2 + a - 2 = 0$
a, Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu.
b, Ký hiệu $m, n$ là nghiệm của phương trình, tìm giá trị của $a$ để $ m^2 + n^2 $ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 28 : Xác định $a, b$ để phương trình $ ( m^2 + 1 )x^2 - ( m^2 + am + b )x - 1 = 0$ có tổng $ S = x_1 + x_2$ đạt giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là - 1 ( với $ x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình đã cho )

- Ngoài ra cũng có một số dạng toán xác định tham số để biểu thức chứa nghiệm của phương trình là số nguyên, nghiệm số của phương trình thuộc khoảng nào đó…
Bài 29 : Định $m$ để phương trình $f(x) = ( m + 1 )x^2 - 3mx + 4m = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(2; 5 )$

Bài 30 : Gọi $ x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình bậc hai $ x^2 - mx + 1 = 0$ ( m là số nguyên dương ).
a, Chứng minh rằng : $ x_1^5 + x_2^5$ là số nguyên.
b, Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất để $ x_1^5 + x_2^5$ $ \vdots$ $ 25$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-12-2012 - 16:01

[perfectstrong]

Đóng góp vì đàn em
Bài 14:

$\vartriangle ' = \left( {m - 4} \right)^2 - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 5} \right) = 11 - 2m$

$\exists x_{1;2} \Leftrightarrow \vartriangle ' \geqslant 0 \Leftrightarrow 11 - 2m \geqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \dfrac{{11}}{2}\left( {m \ne 1} \right)$

$\left\{ \begin{gathered} x_1 + x_2 = \dfrac{{2m - 8}}{{m - 1}} = 2 - \dfrac{6}{{m - 1}} \hfill \\ x_1 x_2 = \dfrac{{m - 5}}{{m - 1}} = 1 - \dfrac{4}{{m - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow 2\left( {x_1 + x_2 } \right) - 3x_1 x_2 = 4 - \dfrac{{12}}{{m - 1}} - 3 + \dfrac{{12}}{{m - 1}} = 1$


p/s: rất khoái cái dạng tìm hệ thức độc lập với m này

[caubeyeutoan2302]

Bài 15:
Xét phương trình: $x^2+mx+n=0$ , theo định lí Viét ta có :
$\begin{cases} x_1+x_2=-m \\ x_1.x_2=n \end{cases}$( Trong đó $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của Phương trình)
Do vậy ta cần chứng minh:$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=m^2-2n \ge 1 $ ( Với ĐK là $n \le m-1$)
Thật vậy từ giả thuyết ta có: $2n \le 2m-2$(1) và lại có điều hiển nhiên là$0 \le (m-1)^2 \Leftrightarrow 2m-2 \le m^2-1$(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra $m^2-1 \ge 2m-2 \ge 2n \Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=m^2-2n \ge 1 $ ( Vậy ta có điều phải chứng minh)
Bài 16
Hoàn toàn tương tự như bài 14, có thể tham khảo cách làm của perfectstrong

[khapham_1411]

Bài 31:

Cho phương trình $(m-2)x^4-2m.x^2+m+4=0$. Định $m$ để phương trình có 4 nghiệm $x_1<x_2<x_3<x_4$ thỏa mãn $x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khapham_1411: 11-07-2011 - 15:44

[vietfrog]

Bài 31:

Cho phương trình $(m-2)x^4-2m.x^2+m+4=0$. Định $m$ để phương trình có 4 nghiệm $x_1<x_2<x_3<x_4$ thỏa mãn $x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3$

Bạn Chung lập topic này kì công quá! Không đóng góp được gì, mình xin giải bài 31 (bài 17 thui nhỉ)
Để ý yêu cầu bài toán là dạng PT bậc 4 trùng phương có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng.
Đặt :$t = {x^2}$
Ta có PT : $(m - 2){t^2} - 2mt + m + 4 = 0{\rm{ (1)}}$
Đầu tiên: Để PT ban đầu có 4 nghiệm pb thì pt (1) có 2 nghiệm pb dương.(${t_1} > {t_2}$)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 2 \ne 0\\\Delta ' > 0\\{t_1}.{t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\1 - (m - 2)(m + 4) > 0\\\dfrac{{m + 4}}{{m - 2}} > 0\\\dfrac{{2m}}{{m - 2}} > 0\end{array} \right.$
Bạn giải ra ĐK của m nhé.
Tiếp theo:
PT có 4 nghiệm thỏa mãn.
Giả sử PT đã cho có 4 nghiệm thỏa mãn( dùng ĐK cần và đủ nhé).
Với cách đặt như trên thì 4 nghiệm của PT ban đầu sẽ là:
$ - \sqrt {{t_1}} < - \sqrt {{t_2}} < \sqrt {{t_2}} < \sqrt {{t_1}} $ do ${t_1} > {t_2}$
theo bài :${x_2} - {x_1} = {x_3} - {x_2} \Rightarrow - \sqrt {{t_2}} - - \sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_2}} - - \sqrt {{t_2}} $
$ \Leftrightarrow \sqrt {{t_1}} = 3\sqrt {{t_2}} \Leftrightarrow {t_1} = 9{t_2}$
Ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 9{t_2}\\{t_1}.{t_2} = \dfrac{{m + 4}}{{m - 2}}\\{t_1} + {t_2} = \dfrac{{2m}}{{m - 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{t_2}^2 = \dfrac{{m + 4}}{{m - 2}}\\10{t_2} = \dfrac{{2m}}{{m - 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_2}^2 = \dfrac{{m + 4}}{{9(m - 2)}}\\{t_2} = \dfrac{m}{{5(m - 2)}}\end{array} \right.$

$ \Rightarrow {(\dfrac{m}{{5(m - 2)}})^2} = \dfrac{{m + 4}}{{9(m - 2)}}$

Được PT bậc 2 rồi bạn giải ra m sau đó đối chiếu ĐK ở trên.
Cuối cùng nhớ bứơc thử lại ( chính là làm ĐK đủ nhé )
Chúc thành công!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 11-07-2011 - 16:28

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 16 : Một cách khác :
Điều kiện để phương trình có nghiệm ( Loại trừ trường hợp m = 2 bởi vì phương trình đã cho là phương trình bậc hai )
Biệt số $ \Delta' = [ - ( m + 2 )]^2 - 2( m - 1 )( m - 2 ) = -m^2 + 10m $
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
$ \Delta' \geq 0 \Leftrightarrow m^2 - 10m \leq 0 \Leftrightarrow m( m - 10) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 10 $
Gọi các nghiệm của phương trình là $ x_1, x_2$. Theo định lý Viét, ta có :
$ \left\{\begin{array}{l}S = x_1 + x_2 = \dfrac{2( m + 2 )}{m - 2} (1)\\P = x_1.x_2 = \dfrac{2( m - 1 )}{m - 2} (2)\end{array}\right.$
Xét biểu thức : aP + bS , trong đó a, b là những số phải xác định để khử tham số m khỏi hệ thức đó. Ta có :
$ aP + bS = \dfrac{2a( m - 1 ) + 2b( m + 2 )}{m - 2} = \dfrac{2( a + b )m - 2a + 4b }{m - 2}$
$ = \dfrac{2( a + b )m - 4( a + b ) + 2a + 8b}{m - 2} = 2( a + b ) + \dfrac{2( a + 4b)}{m - 2}$
Để cho biểu thức $ aP + bS $ không phụ thuộc vào tham số m thì ta có :

$ 2( a + 4b ) = 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} a = 4\\b = -1\end{array}\right.$

Thay vào biểu thức, ta được :
$ 4P - S = 2( 4 - 1 ) = 6 \Leftrightarrow 4x_1x_2 - ( x_1 + x_2 ) = 6$
Chú ý : Nhiều bạn sẽ thắc mắc tại sao lại chọn cặp số ( a; b ) = (4; - 1) mà không chọn cặp số khác. Đơn giản là vì cặp số này nguyên, dễ tính toán hơn và hơn nữa với các cặp số khác ta cũng tìm được hệ thức tương tự.

[caubeyeutoan2302]

Những bài toán trong phần 3 của Chung rất hay.
Bài 30:
Xét phương trình: $ x^2-mx+1=0$ ( Với m nguyên dương )
Theo Định lí Viet ta có:
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=m^2-2$
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=m^3-3m$
$x_1^2.x_2^2(x_1+x_2)=m$
Do thế ta có:
$P=x_1^5+x_2^5=(x_1^2+x_2^2)(x_1^3+x_2^3)-x_1^2.x_2^2(x_1+x_2)=(m^2-2)(m^3-3m)-m=m^5-5m^3+5m$( * )
Với m nguyên dương ta thấy $P=x_1^5+x_2^5$ là số nguyên .
Nhận thấy nếu P chia hết cho 25 thì P chia hết cho 5, Vậy từ ( * ) ta có : m chia hết cho 5, đặt m=5k( k nguyên dương), vậy ta có :
$P=3125k^5-625k^3+25k$ , với k bất kì thì VP luôn chia hết cho 25, do thế ta có P chia hêt cho 25, mà m=5k , do đó m đạt min thì k đạt min , mà k nguyên dương , do vậy k=1 , suy ra m=5 là giá trị cần tìm.
Mình xin đóng góp 1 bài hay tiếp theo các ý tưởng trên , đây là đề thi Chuyên Toán của thành phố Hồ chí minh năm 2011_2012:
Bài 32
a) Tìm đa thức dư khi chia $x^6$ cho $x^2-x-1$
b) Giả sử $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của PT:$x^2-x-1$. Hãy tính giá trị của biểu thức:

$A=(x_1^{2011}-x_1^{2012}+x_1^{2008}+x_1^{2009}+x_1^6-5+x_2)(x_2^{2011}-x_2^{2012}+x_2^{2008}+x_2^{2009}+x_2^6-5+x_1)$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 32
a) Tìm đa thức dư khi chia $x^6$ cho $x^2-x-1$
b) Giả sử $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của PT:$x^2-x-1$. Hãy tính giá trị của biểu thức:
$A=(x_1^{2011}-x_1^{2012}+x_1^{2008}+x_1^{2009}+x_1^6-5+x_2)$ $(x_2^{2011}-x_2^{2012}+x_2^{2008}+x_2^{2009}+x_2^6-5+x_1)$
Giải :
a, Thực hiện phép chia đa thức : Ta tính được đa thức dư trong phép chia $ x^6$ cho $ x^2 - x - 1 $ là 8x + 5 hay nói cách khác :
$ x^6 = Q(x).( x^2 - x - 1 ) + 8x + 5$
b, Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt do $ a.c = -1 < 0$
Do $ x_1, x_2 $ là các nghiệm của phương trình : $ x^2 - x - 1 = 0 $ nên ta có :
$\left\{\begin{array}{l}x_1^2 - x_1 - 1 = 0\\x_2^2 - x_2 - 1 = 0\end{array}\right.$
Mặt khác, có : $ x_1^{2011}-x_1^{2012}+x_1^{2008}+x_1^{2009}$
$ = ( x_1^{2011} - x_1^{2012} + x_1^{2010} ) + ( x_1^{2008} + x_1^{2009} - x_1^{2010} )$
$ = - x_1^{2010}( x_1^2 - x_1 - 1 ) - x_1^{2008}( x_1^2 - x_1 - 1 ) $
$ = -( x_1^{2010} + x_1^{2008})( x_1^2 - x_1 - 1 ) = 0$
Tương tự : $ x_2^{2011}-x_2^{2012}+x_2^{2008}+x_2^{2009} = 0$
Do đó : $ A = ( x_1^6 - 5 + x_2)( x_2^6 - 5 + x_1)$
Áp dụng câu a, ta có :
$ x_1^6 = Q(x).( x_1^2 - x_1 - 1 ) + 8x _1 + 5 $
$ \Leftrightarrow x_1^6 - 5 = 8x_1$ ( do $ x_1^2 - x_1 - 1 = 0$ )
Tương tự : $x_2^6 - 5 = 8x_2$
Do đó : $ A = ( 8x_1 + x_2)( 8x_2 + x_1 ) = 8( x_1^2 + x_2^2) + 65x_1x_2$
$ = 8( S^2 - 2P) + 65P = 8[1^2 -2.( - 1 )] + 65.( - 1) = -41 $
P/S : Không biết đúng không nữa...

[wallunint]

Có một số bài toán cũ nhưng khá hay Các bạn hãy làm thử

Bài 33: Cho $x,y$ thỏa mãn:
${x^2} + 2ax + 9 = 0$ với $a \geqslant 3$
${y^2} - 2by + 9 = 0$ với $b \geqslant 3$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2}$

Bài 34: Tìm số hữu tỉ $p$ sao cho pt sau có ít nhất 1 nghiệm nguyên:
${x^2} - 2\left( {p - 1} \right)x + {p^2} - 6p + 11 = 0$

ps: Hic hic Ghi nhầm đề, mong các bạn thông cảm!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 16-07-2011 - 10:57

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 33 Cho $x,y$ thỏa mãn:
${x^2} + 2ax + 9 = 0$ với $a \geq 3$
${y^2} + 2by + 9 = 0$ với $b \geq 3$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2}$
Giải :
Ta có : $ A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2} \geq 0 $
Vậy $ min_A = 0 $ khi : $ x = y ; \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{y} \Rightarrow x = y \neq 0 $
Với $ x = y$, hai phương trình trên có thể đưa được về dạng :
$ x^2 + 2ax + 9 = 0 $
$ x^2 + 2bx + 9 = 0 $
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có : $ ( x^2 + 2ax+ 9 ) - ( x^2 + 2bx + 9) = 0$
$ \Leftrightarrow 2ax - 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x( a - b ) = 0 $
Mặt khác : $ x \neq 0 $. Do đó a = b.
Vậy $ A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2}$ nhỏ nhất khi $ a = b \geq 3$
P/S : Không biết sao nữa ! Cho nhận xét đi ! À mà nhớ đánh số thứ tự với kìa GS.

[wallunint]

Bài 33 Cho $x,y$ thỏa mãn:
${x^2} + 2ax + 9 = 0$ với $a \geq 3$
${y^2} + 2by + 9 = 0$ với $b \geq 3$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2}$
Giải :
Ta có : $ A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2} \geq 0 $
Vậy $ min_A = 0 $ khi : $ x = y ; \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{y} \Rightarrow x = y \neq 0 $
Với $ x = y$, hai phương trình trên có thể đưa được về dạng :
$ x^2 + 2ax + 9 = 0 $
$ x^2 + 2bx + 9 = 0 $
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có : $ ( x^2 + 2ax+ 9 ) - ( x^2 + 2bx + 9) = 0$
$ \Leftrightarrow 2ax - 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x( a - b ) = 0 $
Mặt khác : $ x \neq 0 $. Do đó a = b.
Vậy $ A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2}$ nhỏ nhất khi $ a = b \geq 3$
P/S : Không biết sao nữa ! Cho nhận xét đi ! À mà nhớ đánh số thứ tự với kìa GS.

Bài này mình mới sửa lại đề Bạn coi lại đi nhá
Bài này giải thế là hỏng rồi Vì khi thế $a$ và $b$ vào hai phương trính trên ta không tính được giá trị của $x$ và $y$

Ta cần chú ý rằng $x$ và $y$ trái dấu
Và ${A_{\min }} = 8\sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{{\sqrt[4]{3}}};y = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{3}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 16-07-2011 - 10:58

[vietfrog]

Cho f(x)=a x^2 + bx+c ( a 0)
a) CMR nếu tồn tại sao cho af( ) 0 thì
f(x)=0 có nghiệm
b) CMR nếu f(x)=x vô nghiệm thì f(f(x))=x vô nghiệm

Topic THCS cho anh xin phép tham gia nhé. Xin phép Chung rồi đó.
Làm câu a nhé :
Ta có:
$\begin{array}{l} a.f(\alpha ) = a.(a.{\alpha ^2} + b\alpha + c) \\ = {a^2}.({\alpha ^2} + \dfrac{b}{a}\alpha + \dfrac{c}{a}) = {a^2}.({\alpha ^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}\alpha + \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}) + ac - \dfrac{{{b^2}}}{4} \\ \end{array}$
Theo bài:
$\begin{array}{l} a.f(\alpha ) \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{b^2}}}{4} - ac \ge {a^2}.({\alpha ^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}\alpha + \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}) \ge 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{4} \ge 0 \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \\ \end{array}$
Vậy PT có nghiệm!