Chủ đề này có 4 trả lời

[phuonganh_lms]

Bài 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}(x + \sqrt {{x^2} + 1} )(y + \sqrt {{y^2} + 1} ) = 1\\y + \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} + \dfrac{{35}}{{12}} = 0\end{array} \right.$
Bài 2: Kí hiệu $N$ chỉ tập hợp các số tự nhiên. Tìm tất cả các hàm số $ f:N-->N$ thỏa mãn các điều kiện $f(1)>0$ và:
$f(m^2+3n^2)=(f(m))^2+3(f(n))^2$ với $m,n \in N$
Bài 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ có các góc thỏa mãn $C<B<A$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$, $N$ là trung điểm $BC$. Điểm $E$ đối xứng với $I$ qua $N$. Đường thẳng $ME$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$.
CMR:
$(i)$. Điểm $Q$ thuộc cung nhỏ $AC$ của đường tròn $(O)$
$(ii)$. $BQ=AQ+CQ$
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $ 7^n+147$ là số chính phương.
Bài 5: Một hội nghị Toán học quốc tế có $2011$ nhà toán học tham dự. Biết rằng 1 nhà toán học bất kì trong số đó quen biết ít nhất với $1509$ nhà toán học khác. Hỏi có thể lập ra 1 tiểu ban gồm $5$ nhà toán học mà người bất kì nào trong $5$ người đó đều quen biết những người còn lại của tiểu ban đó?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 02-08-2011 - 17:21

[phuonganh_lms]

Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $ 7^n+147$ là số chính phương.
Xét 2 trường hợp:
* $ n=2k+1$ $k \in N$
$ 7^n+147=7^{2k+1}+147$
Ta có $7^{2k+1}+147$ chia 4 dư 2
Ko tồn tại k thỏa mãn.
*$n=2k$
$ 7^{2k}+147=x^2$
$\Leftrightarrow (x-7^k)(x+7^k)=147$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - {7^k} = 1\\x + {7^k} = 147\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - {7^k} = 3\\x + {7^k} = 49\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - {7^k} = 7\\x + {7^k} = 21\end{array} \right.\end{array} \right.$
$ k=1$
$ \Rightarrow n=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 02-08-2011 - 01:05

[alex_hoang]

Bài 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}(x + \sqrt {{x^2} + 1} )(y + \sqrt {{y^2} + 1} ) = 1\\y + \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} + \dfrac{{35}}{{12}} = 0\end{array} \right.$
Bài 2:Kí hiệu $N$ chỉ tập hợp các số tự nhiên. Tìm tất cả các hàm số $ f:N-->N$ thỏa mãn các điều kiện $f(1)>0$ và:
$f(m^2+3n^2)=(f(m))^2+3(f(n))^2$ với $m,n \in N$

Bài 1 là dạng hệ quen thuộc ví dụ có trong đề thi 45 năm toán học tuổi trẻ
Xét phương trình: $(x+ \sqrt {{x^2} + 1} )(y + \sqrt {{y^2} + 1} ) = 1$
Phương trình này tương đương với: $x+ \sqrt {{x^2} + 1} = \sqrt {{y^2} + 1}-y$
Hàm số $f(t)=t+\sqrt{t^2+1}$ có $f'(t)=\dfrac{\sqrt{t^2+1}+t}{\sqrt {t^2} + 1}}>0$ với mọi $t$
Ta có $f(x)=f(-y)$ suy ra $x=-y$
Thế vào phương trình thứ 2 của hệ ta có
$x+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \dfrac{35}{12}$ suy ra $x>0$
Bình phương 2 vế ta có
$x^2 +\dfrac{x^2}{x^2-1}+2. \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}= \dfrac{35^2}{12^2}$
Hay $\dfrac{x^4}{x^2-1}+2. \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{35^2}{12^2}$
Đặt $t=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}>0$. Ta có phương trình:$t^2+2t=\dfrac{35^2}{12^2}$
Đến đây thì đơn giản rồi.
Bài 2 cũng quen thuộc có trong cuốn giải tích của thầy Nguyễn Văn Mậu(Tương tự) và trong tạp chí toán học tuổi trẻ nếu thay số 3 bởi số 1 và số 2


@ supermember :


Bạn Alex Hoàng còn duy trì kiểu post bài nham nhở thế này mình sẽ có biện pháp đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 05-08-2011 - 01:36

[Peter Pan]

Bài 5: Một hội nghị Toán học quốc tế có $2011$ nhà toán học tham dự. Biết rằng 1 nhà toán học bất kì trong số đó quen biết ít nhất với $1509$ nhà toán học khác. Hỏi có thể lập ra 1 tiểu ban gồm $5$ nhà toán học mà người bất kì nào trong $5$ người đó đều quen biết những người còn lại của tiểu ban đó? [/font][/size]

Vẫn thích bài tổ hợp hơn cả.
Yêu cầu bài toán có thể phát biểu lại cho dễ hiểu là tồn tại 5 người đôi một quen nhau.
Ta biểu thị 2011 nhà toán học là 2011 điểm trên mặt phẳng và xem như là đỉnh của đa giác lồi 2011 cạnh ( xem như là đa giác chưa có cạnh)
hai người quen nhau thì ta nối hai đỉnh lại với nhau. Yêu cầu bài toán xem như là chứng minh tồn tại một ngũ giác có các cạnh và các đường chéo
Xét hai đỉnh đã được nối với nhau, mỗi trong hai người này sẽ còn được nối với 1508 đỉnh còn lại, mà số đỉnh còn lại là 2009, nên hai đỉnh này sẽ nối chung với ít nhất $1508-(2009-1508)=1007$
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh trong 1007 điểm này sẽ tồn tại 3 điểm tạo thành một tam giác nữa là xong. Thật vậy! Gọi $A$ là tập chứa 1007 điểm đó. Trong 1007 đỉnh này mỗi đỉnh vẫn còn nối được với 1507 đỉnh còn lại trong số 2008điểm ( vì bỏ đi 2 điểm ban đầu và điểm đang xét) và mỗi điểm trong tập $A$ sẽ nối được ít nhất $ 1507-(2008-1006)=505$ điểm trong tập A. Như vậy bài toán trở thành chứng minh tồn tại một tam giác trong 1007 điểm mà mỗi điểm bất kì nối được vs 505 điểm còn lại
Tương tự phần lập luân trên, lấy 2 điểm trong tập A , thì nó sẽ có số điểm chung (điểm này thuộc A) là $505-(1005-505)=5>0$ suy ra trong tập A cũng tồn tại một tam giác vậy 3 đỉnh của tam giác này và 2 đỉnh ban đầu lập thành một ngũ giác có các cạnh và các đường chéo
Bài toán được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi winwave1995: 05-08-2011 - 00:05

[Zaraki]

Phương trình tương đương với

Bài 1: Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}(x+ \sqrt {{x^2} + 1} )(y + \sqrt {{y^2} + 1} ) = 1(*)\\y + \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} + \dfrac{{35}}{{12}} = 0(**)\end{array} \right.$

$x+\sqrt{x^2+1} = \sqrt{y^2+1} - y$

$\leftrightarrow x+ y = \sqrt{y^2+1} -\sqrt{x^2+1}$

$\to 1-xy = \sqrt{(x^2+1)(y^2+1)$

$\to -2xy = x^2+y^2 \leftrightarrow x+y = 0$

Thế $y=-x $ vào phương trình $(**)$ được:

$x+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \dfrac{35}{12}$

Đặt $t = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ thì $xt \ge 0 $ và $\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{t^2} = 1$

và $x+t =\dfrac{35}{12}$ (1)

Suy ra $\begin{cases} x^2+t^2=x^2t^2\\ x+t = \dfrac{35}{12} \end{cases}$

$\leftrightarrow (x+y)^2+1=(xt+1)^2 = \dfrac{35^2}{12^2}+1=\dfrac{37^2}{12^2}$

Vì $xt \ge 0$ nên $xt + 1 = \dfrac{37}{12} \to xt = \dfrac{25}{12}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra x,t là 2 nghiệm của phương trình bậc 2:

$X^2-\dfrac{35}{12}X+\dfrac{25}{12} = 0$ (định lý Viete đảo)

$\to X_1 = \dfrac{5}{3};X_2=\dfrac{5}{4}$

Từ đó suy ra $(x,y) = (\dfrac{5}{3};-\dfrac{5}{3})$
hoặc $(x,y) =(\dfrac{5}{4};-\dfrac{5}{4})$

Thử lại ta thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn hệ phương trình đã cho.

Vậy hệ đã cho có các hệ nghiệm $(x,y) = (\dfrac{5}{3};-\dfrac{5}{3})$
hoặc $(x,y) =(\dfrac{5}{4};-\dfrac{5}{4})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 12-08-2011 - 07:54