Đến nội dung


Hình ảnh

Những điểm có thể nhìn thấy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 02-08-2011 - 12:15

Một điểm được gọi là nguyên trên mặt phẳng tọa độ Oxy nếu cả hoành độ và tung độ nó đều là những số nguyên
Xét phát biểu : Một điểm nguyên $A$ được gọi là có thể nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$ khi và chỉ khi trên đoạn $OA$ không chứa bất kì 1 điểm nguyên nào khác
Chứng minh rằng . Với $n \in N^*$ thì ta có thể dựng được 1 hình vuông có kích thước $n*n$ sao cho các điểm nguyên trên biên và cả trong hình vuông đều không thể nào nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$


CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#2 takarin1512

takarin1512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-11-2016 - 09:37

Ta chỉ xét đến trường hợp bảng nằm trên góc phần từ thứ I.

Ta xét một điểm $A(x,y)$ bất kỳ, dễ thấy nếu điểm $A(x,y)$ không thể nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$ thì trên $OA$ tồn tại một điểm nguyên $A'(x',y')$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} \frac{x'}{y'}=\frac{x}{y}\\ 0< x'< x \end{matrix}\right.$. Thay vào đó ta có thể nói nếu tồn điểm điểm $A(x,y)$ thỏa mãn $gcd\left ( x,y \right )>1$ thì $A$ không thể nhìn thấy từ $O$.

Vì dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn nên ta có thể chọn ra được $(n+1)^2$ số nguyên tố $p_{i-j}\left ( i=\overline{1,n+1},j=\overline{1,n+1} \right )$ đôi một khác nhau.

Ta xét một bảng có $4$ đỉnh có tọa độ $\left ( a+1,b+1 \right );\left ( a+n+1,b+1 \right ),\left ( a+1,b+n+1 \right )$ và $\left ( a+n+1,b+n+1 \right )$

Ta xét hệ phương trình sau $a\equiv -i\left ( mod\prod_{j=1}^{n}p_{i-j} \right )\left ( i=\overline{1,n+1} \right )$. Theo định lý hệ thặng dư Trung Hoa thì hệ phương trình có nghiệm $a$ thỏa mãn.

Tương tự ta cũng xét hệ phương trình $b\equiv -j\left ( mod\prod_{i=1}^{n}p_{i-j} \right )\left ( j=\overline{1,n+1} \right )$ có nghiệm $b$ thỏa mãn. 

Hai số $\left ( a,b \right )$ này là hai số thỏa mãn mà ta cần tìm. Thật vậy xét điểm $I\left ( a+i,b+j \right )$ bất kỳ thì $p_{i-j}|gcd\left ( a+i,b+j \right )\Rightarrow \left ( a+i,b+j \right )>1$(dpcm).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 10-11-2016 - 12:08





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh