Chủ đề này có 4 trả lời

[caubeyeutoan2302]

Bạn Bình và Nam chơi một trò chơi khá thú vị với một đa thức bậc ít nhất là 4 được cho sau đây :
$x^{2n}+...x^{2n-1}+...x^{2n-2}+....................+...x+1$
Họ lần lượt điền vào các hệ số còn trống trong đa thức trên bằng các số thực tùy ý . Nếu quá trình điền số hoàn tất mà đa thức nhận được vô nghiệm thì bạn Bình là người thắng cuộc , còn ngược lại thì bạn Nam thắng.
Nếu bạn Bình điền số trước thì ai sẽ đảm bảo có chiến thuật thắng cuộc chơi .

[minhduc3001]

 Đây là lời giải của mình, không biết có đúng không ?

 

 Do bậc của đa thức ít nhất là 4 nên luôn đảm bảo cả hai bạn có ít nhất một lượt đi.

 Vì bạn Bình là người điền trước nên bạn sẽ điền hệ số của bậc $2n-1$ (tức là bậc lẻ), tiếp tục đến bạn Nam điền hệ số của bậc $2n-2$ (tức là bậc chẵn)... Quá trình cứ tiếp tục lặp lại như vậy và kết thúc là hệ số của bậc $1$ nên sẽ là lượt đi của bạn Bình. Vì vậy, bạn Bình là người đảm bảo có chiến thuật thắng cuộc chơi.

[ilovelife]

 Đây là lời giải của mình, không biết có đúng không ?

 

 Do bậc của đa thức ít nhất là 4 nên luôn đảm bảo cả hai bạn có ít nhất một lượt đi.

 Vì bạn Bình là người điền trước nên bạn sẽ điền hệ số của bậc $2n-1$ (tức là bậc lẻ), tiếp tục đến bạn Nam điền hệ số của bậc $2n-2$ (tức là bậc chẵn)... Quá trình cứ tiếp tục lặp lại như vậy và kết thúc là hệ số của bậc $1$ nên sẽ là lượt đi của bạn Bình. Vì vậy, bạn Bình là người đảm bảo có chiến thuật thắng cuộc chơi.

Người cuối cùng chơi chắc gì đã chiến thắng, biết đâu với mọi hệ số của $x$ (bậc 1) thì đa thức đều có nghiệm. Lời giải trên chưa thuyết phục.
Mà cứ cho giả thiết có bạn là đúng, tức sẽ tìm được hệ số bậc 1 để đa thức vô nghiệm, vậy tìm thế nào ? Bạn làm ơn giải chi tiết hơn

 

UPDATE: Bài giải của mình thì Nam mới là người chiến thắng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 21-05-2013 - 14:04

[trananh2771998]

Người cuối cùng chơi chắc gì đã chiến thắng, biết đâu với mọi hệ số của $x$ (bậc 1) thì đa thức đều có nghiệm. Lời giải trên chưa thuyết phục.
Mà cứ cho giả thiết có bạn là đúng, tức sẽ tìm được hệ số bậc 1 để đa thức vô nghiệm, vậy tìm thế nào ? Bạn làm ơn giải chi tiết hơn

 

UPDATE: Bài giải của mình thì Nam mới là người chiến thắng

BẠN  giải giùm MÌNH được không

[whatever2507]

Đây là 1 bài trong đề thi China 1995 

Nam là người chiến thắng với chiến thuật sau: Đầu tiên vào mỗi lượt đi Nam điền vào tất cả các hệ số bậc chẵn (nếu còn), vì chỉ có $n-1$ hệ số bậc chẵn nên sau khi điền $2n-3$ hệ số và đến lượt Nam thì luôn còn $1$ só hạng bậc lẻ chưa được điền hệ số.

Đặt đa thức nhận được lúc này là: $P(x)=Q(x)+x^s+x^{2t-1}$ với $s, t \in \mathbb{N^*}$ và $Q(x)$ là đa thức nhận được từ các hạng tử đã được điền hệ số.

Ta tìm số $a$ để Nam điền vào hệ số bậc $s$ sao cho với mọi số thực b mà Bình điền vào bậc $2t-1$ thì đa thức luôn có nghiệm.

Ta có: $$\frac{1}{2^{2t-1}}P(2)+P(-1)=[\frac{1}{2^{2t-1}}Q(2)+Q(-1)]+a[2^{s-2t+1}+(-1)^s].$$

Do $s\neq 2t-1$ nên $2^{s-2t+1}+(-1)^s \neq 0$, ta chọn $$a=- \frac{\frac{1}{2^{2t-1}}Q(2)+Q(-1)}{2^{s-2t+1}+(-1)^s}$$

Rõ ràng $a$ không phụ thuộc $b$ và lúc này $\frac{1}{2^{2t-1}}P(2)+P(-1)=0$ nên $P(x)$ tồn tại nghiệm thuộc $[-1;2]$ Q.E.D.

Nhận xét: Có thể thay $2$ bằng một số $a$ bất kỳ chỉ cần $a \neq 1$ và $a \neq -1$ để $a^{s-2t+1}+(-1)^s \neq 0$ là được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whatever2507: 27-05-2013 - 18:01