Đến nội dung

Hình ảnh

$x_{n + 1}^3 - 3x_{n + 1} = \sqrt {x_n + 2}$.Tìm $\lim x_{n}$.

* * * * - 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-04-2013 - 17:16

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#3
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2

 

Có lẽ đảo hai bước sẽ dễ chứng minh hơn!

Nhận xét: Nếu $x^3-3x\ge 2$ thì $x\ge 2.$


Đời người là một hành trình...


#4
NguToanHoc

NguToanHoc

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2

bạn rút xn+1 và xn thành 1 vế kiểu gì vậy ạ ko rút dc sao cm dãy giảm 



#5
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2

 

 

Chứng minh $x_n$ giảm phía dưới

$(**)$ CM $x_n > 2(1)$ theo qui nạp

Với $n=0$ thì $x_0 = 3 > 2$(đúng)

Với $n = k \ge 0$ thì $x_k > 2$ 

Ta phải CM $x_{k+1} > 2$

Thật vậy, xét hiệu $x_{k+1}^3 -3x_{k+1} - 2 = \sqrt{x_k+2} - 2$

$\to (x_{k+1}-2)(x_k+1)^2 = \dfrac{x_k - 2}{\sqrt{x_k+2} + 2}$

Theo gtqn thì $x_k - 2 > 0$ nên $\dfrac{x_k-2}{\sqrt{x_k+2}+2}$

Mà $(x_k + 1)^2 > 0$ với mọi $k > 0$ nên $x_{k+1} > 2$

Theo nguyên lí qui nạp thì $(1)$ đúng.

Vậy $x_n > 2$

Do dãy $x_n$ giảm và bị chặn dưới bởi $2$ nên tồn tại gh hữu hạn

Đặt $\lim x_n = t(2 \le t < 3)$ ta có:

$t^3 - 3t = \sqrt{t + 2} \to t = 2(\text{satisfied})$

Vậy $\lim x_n = 2$

 

P/s : ai ktra cho e phần tô đỏ vs ạ  :ukliam2:  :ukliam2: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 23-03-2023 - 22:27


#6
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ta có $x_{n+1}^3 - x_{n+1}  = \sqrt{x_n+2}$

$\to x_n = x_{n+1}^6 - 6x_{n+1}^7 + 9x_{n+1}^2 - 2$

Xét hàm $f(x) = x^6 - 6x^7  + 9x^2 - 2$ ta có 

$f'(x) = -42x^6 + 6x^5 + 18x$

$=(6x^5 - 6x^6) + (18x - 18x^6) - 18x^6$

$=6x^5(1-x) + 18x(1-x^5) - 18x^6$

Hàm $f$ nghịch biến với mọi $x > 1$

Với $x_n > 1$ thì dãy $x_n$ giảm

Đoạn này chưa đúng. Chẳng hạn giả sử $x_1 < x_2$. Ta có $f(x_2) = x_1 < x_2 = f(x_3)$. Mà $f$ nghịch biến nên $x_2 > x_3$, tức dãy cứ tăng, giảm, tăng, giảm,...

Bài này hình như có cách nhanh hơn là xét $(x_{n+1} - 2)(x_{n+1}+1)^2 = \frac{x_n-2}{\sqrt{x_n+2} + 2}\Rightarrow |x_{n+1}-2| < c|x_n-2|$, trong đó $c$ là hằng số nhỏ hơn $1$

$\Rightarrow \lim x_n - 2 = 0$.



#7
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Đoạn này chưa đúng. Chẳng hạn giả sử $x_1 < x_2$. Ta có $f(x_2) = x_1 < x_2 = f(x_3)$. Mà $f$ nghịch biến nên $x_2 > x_3$, tức dãy cứ tăng, giảm, tăng, giảm,...

Bài này hình như có cách nhanh hơn là xét $(x_{n+1} - 2)(x_{n+1}+1)^2 = \frac{x_n-2}{\sqrt{x_n+2} + 2}\Rightarrow |x_{n+1}-2| < c|x_n-2|$, trong đó $c$ là hằng số nhỏ hơn $1$

$\Rightarrow \lim x_n - 2 = 0$.

 

Bn cho t hỏi cái này chút . Có phải ý bạn như này?

$(x_{n+1}-2)(x_{n+1}+1)^2 = \dfrac{x_n-2}{\sqrt{x_n+2}+2}$

 

$\to x_{n+1} - 2 = \dfrac{1}{(x_{n+1}+1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$

 

Dễ thấy $0 < \dfrac{1}{(x_{n+1} + 1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$

 

Đặt $c = \dfrac{1}{(x_{n+1}+1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$ ($ c \in (0;1)$  )

 

Khi đó : $x_{n+1} -2 = c(x_n - 2)$

$\to |x_{n+1} - 2| = c|x_n - 2|$

 

Mà $|x_{n+1} - 2| > 0$ , $c|x_n - 2| < 0$ ( do $c \in (0;1)$ )

 

Áp dụng định lí giới hạn kẹp suy ra  $\lim(x_{n+1} - 2) = 0 \to \lim(x_n - 2) = 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 23-03-2023 - 21:51
Chỉnh font lại như bình thường


#8
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Đặt $c = \dfrac{1}{(x_{n+1}+1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$ ($ c \in (0;1)$  )

Đoạn này $c$ phải là hằng số nên phải đặt $c = \frac{1}{2}$ thì $|x_{n+1} - 2| < \frac{1}{2}|x_n-2|$. 



#9
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Đoạn này $c$ phải là hằng số nên phải đặt $c = \frac{1}{2}$ thì $|x_{n+1} - 2| < \frac{1}{2}|x_n-2|$. 

 

Sao bạn biết là $c = \dfrac{1}{2}$ mặc dù giá trị của $x_n$ có thể thay đổi?



#10
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

@Nesbit  Nhờ anh check hộ em với ạ

 

Chứng minh $x_n > 2$ bằng qui nạp như trên

Ta có: $x^3_{n+1} - 3x_{n+1} - x^3_n + 3x_n = \sqrt{x_n + 2} - x_n^3 + 3x_n$

$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2) -3(x_{n+1} - x_n) = \sqrt{x_n + 2} - (x_n^3 - 3x_n)$

$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3) = \dfrac{x_n + 2 - (x_n^3 - 3x_n)^2}{\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n}$

$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3) = \dfrac{7x_n + 2 - x_{n+1}^6 - 9x_n^2}{\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n}(*)$

Mà $x_n > 2(\text{chứng minh trên}) \to x_n^2 > 4$ nên $x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3 > 0(1)$

Tương tự ta cũng có

$7x_n + 2 - x_{n+1}^6 - 9x_n^2$

$= x_n(7 - 9x_n) + (2 - x_{n+1}^6)$

Do $x_n > 2$ nên $x_n(7 - 9x_n) < 0$ và $2 - x_{n+1}^6 < 0(2)$

$\to x_n(7 - 9x_n) + (2 - x_{n+1}^6) < 0$

Hiển nhiên ta có $\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n > 0(3)$

Từ $(*),(1),(2)$ và $(3)$ ta suy ra được $x_{n+1} - x_n < 0 \to x_{n+1} < x_n$ hay dãy $(x_n)$ giảm

Vì dãy giảm và chặn dưới nên theo đ/lý weierstrass thì dãy có giới hạn và làm tương như trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 23-03-2023 - 21:51
Chỉnh font lại như bình thường


#11
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Anh giả sử là em biến đối đúng, thì lời giải như vậy là đúng rồi đấy. Kiểm tra chi tiết thì xin nhờ một bạn khác vậy. Anh thì thích giải thích phương pháp và ý tưởng cho em hiểu hơn. Có hai câu hỏi em cần phải biết câu trả lời:

 

1. Tại sao trong một số trường hợp có thể xét tính đồng điệu của hàm số để suy ra dãy tăng hay giảm?

2. Tại sao ở trên em suy luận "$f$ nghịch biến thì dãy giảm" là sai? 

 

@Hoang72 đã giải thích ở trên rồi nhưng em cần chắc chắn là mình đã hiểu được, điều này quan trọng hơn là giải được bài toán ở trên.

 

Nói thêm là về lời giải bài toán thì @Hoang72 đã đưa ra một cách rất hay rồi. Từ $$x_{n+1} - 2 = \frac{1}{(x_{n+1}+1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$$ kết hợp với $$\frac{1}{(x_{n+1}+1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)} \le \frac{1}{2+\sqrt{2}}\qquad \text{do } x_n \ge 0\ \forall n$$ suy ra $|x_{n+1} - 2| \le c|x_n-2|$ với $c=\frac{1}{2+\sqrt{2}}$. Tất nhiên là cũng cần chứng minh $x_n\ge 0$ (sẽ đơn giản hơn là $x_n\ge 2$).


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh