@Nesbit Nhờ anh check hộ em với ạ
Chứng minh $x_n > 2$ bằng qui nạp như trên
Ta có: $x^3_{n+1} - 3x_{n+1} - x^3_n + 3x_n = \sqrt{x_n + 2} - x_n^3 + 3x_n$
$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2) -3(x_{n+1} - x_n) = \sqrt{x_n + 2} - (x_n^3 - 3x_n)$
$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3) = \dfrac{x_n + 2 - (x_n^3 - 3x_n)^2}{\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n}$
$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3) = \dfrac{7x_n + 2 - x_{n+1}^6 - 9x_n^2}{\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n}(*)$
Mà $x_n > 2(\text{chứng minh trên}) \to x_n^2 > 4$ nên $x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3 > 0(1)$
Tương tự ta cũng có
$7x_n + 2 - x_{n+1}^6 - 9x_n^2$
$= x_n(7 - 9x_n) + (2 - x_{n+1}^6)$
Do $x_n > 2$ nên $x_n(7 - 9x_n) < 0$ và $2 - x_{n+1}^6 < 0(2)$
$\to x_n(7 - 9x_n) + (2 - x_{n+1}^6) < 0$
Hiển nhiên ta có $\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n > 0(3)$
Từ $(*),(1),(2)$ và $(3)$ ta suy ra được $x_{n+1} - x_n < 0 \to x_{n+1} < x_n$ hay dãy $(x_n)$ giảm
Vì dãy giảm và chặn dưới nên theo đ/lý weierstrass thì dãy có giới hạn và làm tương như trên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 23-03-2023 - 21:51
Chỉnh font lại như bình thường