Chủ đề này có 8 trả lời

[alex_hoang]

Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-04-2013 - 17:16

[alex_hoang]

Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2

[An Infinitesimal]

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2

 

Có lẽ đảo hai bước sẽ dễ chứng minh hơn!

Nhận xét: Nếu $x^3-3x\ge 2$ thì $x\ge 2.$

[NguToanHoc]

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2

bạn rút xn+1 và xn thành 1 vế kiểu gì vậy ạ ko rút dc sao cm dãy giảm 

[Ruka]

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2

 

Ta có $x_{n+1}^3 - x_{n+1}  = \sqrt{x_n+2}$

$\to x_n = x_{n+1}^6 - 6x_{n+1}^7 + 9x_{n+1}^2 - 2$

Xét hàm $f(x) = x^6 - 6x^7  + 9x^2 - 2$ ta có 

$f'(x) = -42x^6 + 6x^5 + 18x$

$=(6x^5 - 6x^6) + (18x - 18x^6) - 18x^6$

$=6x^5(1-x) + 18x(1-x^5) - 18x^6$

Hàm $f$ nghịch biến với mọi $x > 1$

Với $x_n > 1$ thì dãy $x_n$ giảm

$(**)$ CM $x_n > 2(1)$ theo qui nạp

Với $n=0$ thì $x_0 = 3 > 2$(đúng)

Với $n = k \ge 0$ thì $x_k > 2$ 

Ta phải CM $x_{k+1} > 2$

Thật vậy, xét hiệu $x_{k+1}^3 -3x_{k+1} - 2 = \sqrt{x_k+2} - 2$

$\to (x_{k+1}-2)(x_k+1)^2 = \dfrac{x_k - 2}{\sqrt{x_k+2} + 2}$

Theo gtqn thì $x_k - 2 > 0$ nên $\dfrac{x_k-2}{\sqrt{x_k+2}+2}$

Mà $(x_k + 1)^2 > 0$ với mọi $k > 0$ nên $x_{k+1} > 2$

Theo nguyên lí qui nạp thì $(1)$ đúng.

Vậy $x_n > 2$

Do dãy $x_n$ giảm và bị chặn dưới bởi $2$ nên tồn tại gh hữu hạn

Đặt $\lim x_n = t(2 \le t < 3)$ ta có:

$t^3 - 3t = \sqrt{t + 2} \to t = 2(\text{satisfied})$

Vậy $\lim x_n = 2$

 

P/s : ai ktra cho e phần tô đỏ vs ạ     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 18-03-2023 - 22:10

[Hoang72]

Ta có $x_{n+1}^3 - x_{n+1}  = \sqrt{x_n+2}$

$\to x_n = x_{n+1}^6 - 6x_{n+1}^7 + 9x_{n+1}^2 - 2$

Xét hàm $f(x) = x^6 - 6x^7  + 9x^2 - 2$ ta có 

$f'(x) = -42x^6 + 6x^5 + 18x$

$=(6x^5 - 6x^6) + (18x - 18x^6) - 18x^6$

$=6x^5(1-x) + 18x(1-x^5) - 18x^6$

Hàm $f$ nghịch biến với mọi $x > 1$

Với $x_n > 1$ thì dãy $x_n$ giảm

Đoạn này chưa đúng. Chẳng hạn giả sử $x_1 < x_2$. Ta có $f(x_2) = x_1 < x_2 = f(x_3)$. Mà $f$ nghịch biến nên $x_2 > x_3$, tức dãy cứ tăng, giảm, tăng, giảm,...

Bài này hình như có cách nhanh hơn là xét $(x_{n+1} - 2)(x_{n+1}+1)^2 = \frac{x_n-2}{\sqrt{x_n+2} + 2}\Rightarrow |x_{n+1}-2| < c|x_n-2|$, trong đó $c$ là hằng số nhỏ hơn $1$

$\Rightarrow \lim x_n - 2 = 0$.

[Ruka]

Đoạn này chưa đúng. Chẳng hạn giả sử $x_1 < x_2$. Ta có $f(x_2) = x_1 < x_2 = f(x_3)$. Mà $f$ nghịch biến nên $x_2 > x_3$, tức dãy cứ tăng, giảm, tăng, giảm,...

Bài này hình như có cách nhanh hơn là xét $(x_{n+1} - 2)(x_{n+1}+1)^2 = \frac{x_n-2}{\sqrt{x_n+2} + 2}\Rightarrow |x_{n+1}-2| < c|x_n-2|$, trong đó $c$ là hằng số nhỏ hơn $1$

$\Rightarrow \lim x_n - 2 = 0$.

 

Bn cho t hỏi cái này chút . Có phải ý bạn như này?

$(x_{n+1}-2)(x_{n+1}+1)^2 = \dfrac{x_n-2}{\sqrt{x_n+2}+2}$

 

$\to x_{n+1} - 2 = \dfrac{1}{(x_{n+1}+1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$

 

Dễ thấy $0 < \dfrac{1}{(x_{n+1} + 1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$

 

Đặt $c = \dfrac{1}{(x_{n+1}+1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$ ($ c \in (0;1)$  )

 

Khi đó : $x_{n+1} -2 = c(x_n - 2)$

$\to |x_{n+1} - 2| = c|x_n - 2|$

 

Mà $|x_{n+1} - 2| > 0$ , $c|x_n - 2| < 0$ ( do $c \in (0;1)$ )

 

Áp dụng định lí giới hạn kẹp suy ra  $\lim(x_{n+1} - 2) = 0 \to \lim(x_n - 2) = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 20-03-2023 - 18:13

[Hoang72]

Đặt $c = \dfrac{1}{(x_{n+1}+1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$ ($ c \in (0;1)$  )

Đoạn này $c$ phải là hằng số nên phải đặt $c = \frac{1}{2}$ thì $|x_{n+1} - 2| < \frac{1}{2}|x_n-2|$. 

[Ruka]

Đoạn này $c$ phải là hằng số nên phải đặt $c = \frac{1}{2}$ thì $|x_{n+1} - 2| < \frac{1}{2}|x_n-2|$. 

 

Sao bạn biết là $c = \dfrac{1}{2}$ mặc dù giá trị của $x_n$ có thể thay đổi?