Đây là một số bài toán chưa có lời giả trong box hình học THCS. Nếu bạn muốn thảo luận thì hãy vào đường link được dẫn tại số thứ tự của bài (trừ bài 33,34 do mình làm mất link). Các bài có số thứ tự màu xanh là đã được giải quyết.
Nào, bắt đầu thôi!
Bài 1: Thẳng hàng
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi E, F là trực tâm tam giác ABO, ACO. D là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Chứng minh D, E, F thẳng hàng.
Bài 2: APMO 2000
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AN. Đường vuông góc với AN tại N cắt AM , AB tại Q, P. Đưởng vuông góc với AB tại P cắt AN tại K. Chứng minh KQ vuông góc BC.
Bài 3: Thẳng hàng
cho tam giác ABC ,I là tâm đường tròn nội tiếp.qua A,B,C dựng các đường thẳng m,n,p.m cắt n tại C1.m cắt p tạí B1.Va n căt p tại A1.Goi M la điêm bất kỳ không thuộc AA1 ,BB1,CC1
CMR:tâm các đường tròn ngọai tiếp các tam giác MAA1,MBB1,MCC1 thẳng hang
Bài 4: Thẳng hàng
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có $\widehat{BAD}$ tù
Đường thẳng qua A vuông góc với AD,AB cắt CB,CD tại E,F.
Chứng minh rằng O,E,F thẳng hang
Bài 5: 2 đường thẳng Simson
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). MN là dây cung chuyển động nhưng độ dài không đổi. Chứng minh đường thẳng Simson của M và N với tam giác ABC hợp với nhau 1 góc không đổi.
Bài 6: Tứ giác nội tiếp
cho tam giác ABC nhọn đường cao AH vẽ ra phía ngoài tam giác hai tia Ax,Ay tạo với AB,AC hai góc nhọn bằng nhau gọi I và K là hình chiếu của B,C trên Ax,Ay M là trung điểm của BC cmr:
a> MI=MK
b>I,M,K,H cùng thuộc một đường tròn
Bài 7: Tìm điểm
Cho hình vuông ABCD.Giả sử E là trung điểm cạnh CD và F là một điểm ở bên trong hình vuông.Xác định điểm Q thuộc cạnh AB sao cho $\widehat{AQE} = \widehat{BQF}$
Bài 8: Thẳng hàng
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F . ( CDF) cắt (BCE) tại M. AC cắt BD tại N . CMR: M, N , O thẳng hàng.
Bài 9: Điểm cố định
cho tam giac ABC, điểm M tùy ý trên cạnh BC. Vẽ trung trực BM, CM tương ứng cắt AB ở P, Ac ở Q. c/m rằng đường thẳng qua M, vuông góc với PQ đi qua K cố định.
Bài 10: Đường tròn cố định-Cực trị
Cho đường tròn (O) bán kính R . A và B là hai điểm cố định trên đường tròn, (AB<2R) . Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn .
a) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt đường tròn (O) tại N . Gọi J là trung điểm của MN . Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường trỏn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định .
b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tam giác AMB lớn nhất .
Bài 11: Đường tròn
Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn . Dựng qua I hai dây cung bất kì MIN và EIF . Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF .
a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp .
b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi .
c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau . Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn nhất .
Bài 12: Cực trị
cho tam giac ABC. Tren tia AB, CB lay diem p va Q sao cho AP=CQ=p (p la nua chu vi cua tam giac ABC) . BK la duong kinh duong tron (O) ngoại tiếp tam giác ABC. (O',r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
a) C/m KO' vuong goc voi PQ
b) Gọi M là một điểm di động trên tia AB (M khac A va B) , N là điểm di động trên tia AC sao cho AM+AN=AB=AC không đổi. C/m trung điểm của MN luôn chay trên một đoạn thẳng cố định. Tìm vị trí của M,N để MN min
c) Qua O' kẻ các đường thẳng song song voi cac cạnh của tam giác. Mỗi đường thẳng này cắt hai cạnh còn lại của tam giác tao thành các đoạn thẳng MN, PQ, KL. C/m: $MN ^{2} +PQ ^{2} +KL ^{2} \geq 16r ^{2}$
Bài 13: Đ�ồng quy
Cho ABC, kẻ đường cao AH. Nửa đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB và AC ở C' và B' (MN thuộc BC)
CMR: AH, BB', CC' đ�ồng quy
Bài 14: Điểm Naghen
Cho ABC, Gọi $( O_{1}), ( O_{2}), (O_{3})$ lần lượt là các đường tròn bàng tiếp $\widehat{A} , \widehat{B} , \widehat{C}$ và các tiếp điểm tương ứng là A', B', C'
CMR: AA', BB', CC'đ�ồng quy tại M ( gọi là điểm Naghen)
Bài 15: Đẳng thức
cho $\vartriangle ABC$,I la giao diem cac duong phan giac trong tam giac .duong thang d qua I cat tia BC va cac doan AC,AB lan luot tai D,E,F.chung minh rang $\dfrac{BC}{ID} + \dfrac{AC}{IE} = \dfrac{AB}{IF}$
Bài 16: Tam giác
Cho tam giác ABC cân tại A. góc BAC bằng 30 độ. O là 1 điểm nằm trên đường trung tuyến AD sao cho AO=OC. Các đường BO,CO lần lượt cắt các đoạn AC,AB tại các điểm tương ứng E,F. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BO,OF,BF,CE.
1)Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp
2)Chứng minh tam giác MNQ đều
3)Gọi H là trực tâm của tam giác MNQ, chứng minh H,O,A thẳng hàng.
Bài 17: Tam giác cân
(O) (O') {M,N}. tiếp tuyến chung ngoài AB, cát tuyến CD qua M không song song với AB. AC cắt BD ở E, AN cắt CD ở P, BN cắt CD ở Q.
CM EPQ cân.
Bài 18: Bất đẳng thức
cho tam giac ABC vuông ở A.trên tia AB lấy E trên tia AC lấy F sao cho BE=CF=BC.trên đường tròn đường kính BC lấy điểmM.CMR:MA+MB+MC FE
Bài 19: Tứ giác nội tiếp
Cho hình thang ABCD, trên hai đường chéo AC, BD lấy M, N sao cho góc DMB bằng góc ANC. Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp.
Bài 20: Quỹ tích
Cho tứ giác ABCD.M di động trên đoạn AB. 2 đường tròn (MAC),(MBD) giao nhau M,N.
Tìm Quĩ tích N.
Bài 21: Trực tâm
Cho tam giác ABC.M thuộc tam giác,hạ MH,MI,MK vuông góc với CB,AC,AB.đg thg qua A vuông góc với IK cắt dg thg qua C vuông góc IH tại O.Biết góc HIK=90 độ.CMR:O là trực tâm tam giác BHK
Bài 22: Bất đẳng thức
cho tam giác ABC có a<b<c.O thuộc tam giác.OA,OB,OC cắt các cạnh đối tại M,N,P.Cm:
OM+ON+OP<a
Bài 23: Bất đẳng thức
Cho tứ giác ABCD có E là trung điểm AB,F là trung điểm CD,1 đường thẳng d bất kì cắt AD,BC,AC,BD,EF tại M,N,P,Q,R.Cm:
$\dfrac{MA}{MD} + \dfrac{NB}{NC} + \dfrac{PA}{PC} + \dfrac{QB}{QD} \geq 4 \dfrac{RE}{RF}$
Bài 24: Vuông góc
Cho hình vuông ABCD.Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì.AM cắt CD tại N.2 đường chéo hình vuông cắt nhau tại O.OM cắt BN tại P.CMR:CP vuông góc với BN.
Bài 25: Đ�ồng quy trong lục giác ngoại tiếp
cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường tròn O.CM:ba đường thẳng nối các đỉnh đối nhau đ�ồng quy
Bài 26: Song song
Cho hai đường tròn ngoài nhau$(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt (O) tại 4 điểm.Gọi B,C là 2 trong 4 điểm đó sao cho B,C nằm về 1 phía với $O_{1}O_{2}$.Chứng minh rằng BC song song với một tiếp tuyến chung ngoài của $(O_{1})$ và$(O_{2})$
Bài 27: Mở rộng định lý Napoléon
Cho hình lục giác ABCDEF có các cặp cạnh đối song song.phía ngoài dựng các tam giác đều trên mỗi cạnh.CM:Tâm đg tròn ngoại tiếp các tam giác đều tạo thành 1 hình lục giác có các cặp cạnh đối song song.
Bài 28: Song song
cho tam giác ABC,đg cao BE,CF.Hạ EM vuông góc AB,FN vuông góc AC.CMR:MN song song với BC
Bài 29: Quỹ tích
Cho tam giác ABC.M Chuyển động trên cạnh BC.Vẽ hình bình hành MEAF với E AB,F AC.Gọi N là điểm chia đoạn EF theo tỉ số 1/3.Tm giác ANK vuông cân tại N.Tìm tập hợp K
Bài 30: Đẳng thức
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A,B là tiếp điểm ) và một đưởng thẳng qua M cắt đường tròn tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E,F,K lần lượt là các giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO,MD,OI.
1) Chứng mình rằng $R^2 = OE.OM = OI.OK$
2) Chứng minh rằng 5 điểm M,A,B,O,I cùng thuộc một đường tròn
3) Khi CAD nhỏ hơn cung CBD, chứng minh rằng $\widehat{DEC}=2\widehat{DBC}$
Bài 31: Đẳng thức-Mở rộng
Từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PE,PF tới đường tròn (E,F là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường tròn tại hai điểm A,B ( A nằm giữa P và B) và cắt EF tại Q.
a) Khi cat tuyến đi qua O, Chứng minh : $\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{QA}{QB}$(1)
b) đẳng thức (1) có còn đúng không, khi cát tuyến trên không đi qua điểm O?
Hãy chứng minh điều đó.
Bài 32: Quỹ tích
Cho ABC nhọn . M di động trên[BC]. Đường tròn đường kính AM
cắt AB,AC ở P,Q. Tiếp tuyến của nó tại P,Q cắt nhau ở T.
Tìm quĩ tích T khi M di động
Bài 33: Điều kiện cần và đủ
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M,N lần lượt nằm trên [AB],[CA]. K là trung điểm
MN.d là trung trực [BC].(AMC) (ANB)={A,T}.
C/m:AT đi qua O d đi qua K.
Bài 34: Tứ giác nội tiếp-Tiếp xúc
Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác A.Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD = BE =BA. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 N.
a) Chứng minh rằng tứ giác BDNE nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau.
Bài 35: Thẳng hàng
Cho tam giác ABC có trực tâm H,M thuộc tam giác. Đường thẳng qua H vuông góc với AM cắt BC tại A'. Đường thẳng qua H vuông góc với BM cắt CA tại B'. Đường thẳng qua H vuông góc với CM cắt AB tại C',CMR:A',B',C' thẳng hang
Bài 36: Thẳng hàng
Cho ABC (AB<AC) có đường cao AH. HD và HE lần lượt với AB,AC.
DE cắt BC tại F. AH cắt BE tại I. IK AF, M là trung điểm BC.
CMR: K,I,M thằng hàng.
Bài 37: Đường tròn bàng tiếp
Xét hai đường tròn (O) và (I) tiếp xuc ngoài nhau tại T. Môt đường thẳng tiếp xúc với (I) tại X cắt (O) tại các điểm A và B.Gọi S là giao điểm thứ hai của (O) với XT. Trên cung TS ko chứa A và B chọn môt điểm C. Gọi CY là tiếp tuyến từ C đến (I) với Y thuộc (I) sao cho CY ko cắt ST.Gọi E là giao điểm của XY và SC .c/m E là tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC
Bài 38: Vuông góc
Cho (O) đường kính AB, trên cung AB lấy C,D sao cho cung AD>cung AC.Trên cung AB còn lại lấy E, CE AD tại I,OI EB tại K.
CM:KD vuông góc với CD
Bài 39: Bất đẳng thức
Cho tam giác ABC với trọng tâm G và nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Các đường trung tuyến AA' , BB' , CC ' kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại $A_1, B_1, C_1$. Chứng minh rằng :
$\dfrac {3}{R} \leq \dfrac{1}{GA_1} + \dfrac{1}{GB_1} + \dfrac {1}{GC_1} \leq \sqrt{3} ( \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{BC} + \dfrac{1}{CA} )$
Bài 40: Song song
C là một điểm nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn tâm O, khác A,B,O. Hai tia vuông góc với nhau qua C cắt nửa đường tròn tại D,E. Đường thẳng qua D vuông góc với DC cắt lại đường tròn tại K. Chứng minh rằng nếu K không trùng E thì KE song song AB
Bài 41: Định lý Pythagore
Cho tam giác ABC,đg cao BB',CC'.
L,M,N là trung điểm C'B',BC',CB'.
Đường thẳng qua M vuông góc với BL cắt đg thg qua N vuông góc với CL tại K.
CMR:KB=KC
Bài 42: Tia đi qua điểm
cho tam giác ABC có đường tròn (O) qua B và C cắt AB và AC lần lượt tại E và F.Một đường tròn(T) tiếp xúc với AE, AF và tiếp xúc ngoài với cung EF của đưởn tròn (T) tại M.chứng minh phân giac' góc BMC đi qua tâm đưởng tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 43: Đ�ồng quy
cho tứ giác ABCD, kẻ 2 đường thẳng song song với AC 1 đường cắt AB và BC lần lượt tại G và H,đường kia thì cắt CD và AD lần lượt tại E và F cm BD,GE và FH đ�ồng quy
Bài 44: Vuông góc
1.$\Delta ABC$Vẽ ra ngoài 2 $\Delta $ABE,ACF vuông cân tại A.M trđ? BC
CMR:$MA \bot EF$
2.$ \Delta ABC$Vẽ ra ngoài 3 $ \Delta $ABE,ACF,BCK đều.G trọng tâm BCK.
CMR:$GA \bot EF$
Bài 45: Trọng tâm-đối xứng
Cho lục giác ABCDEF. Các điểm M,N,P,Q,R,S lần lượt di chuyển trên các cạnh AB,BC,CD,DE,EF,FA sao cho:
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{CP}{CD}=\dfrac{DQ}{DE}=\dfrac{ER}{EF}=\dfrac{FS}{FA}$
Chứng minh rằng trọng tâm hai tam giác MPR và NQS luôn đối xứng nhau qua một điểm cố định
Bài 46: Tiếp xúc
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi K là trung điểm đường cao. Giả sử D là tiếp điểm của (I) với BC. Đặt N là giao của DK và (I).
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc với (I) tại N
Bài 47: Tam giác cân
Cho tam giác ABC.I là điểm bên trong tam giác ABC sao cho góc IBA bằng góc ICA .IM vuông góc với AB tại M,IN vuông góc với AC tại N.D là trung điểm BC.Cm tam giác DMN cân
Bài 48: Tâm đường tròn nội tiếp
Cho tam giác ABC nội tiếp đừơng tròn tâm O,điểm I nằm trong tam giác.Nối AI,BI,CI cắt đường tròn tại các điểm A',B',C'.Nối B'C',C'A',A'B' cắt các cạnh của tam giác lần lượt ở M,N,P,Q,E,F
Chứng minh rằng:Nếu AM=AN,BP=BQ,CE=CF đ�ồng thời thì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Bài 49: Trung điểm
Trong mặt phẳng cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau ở A và B.Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau ở K.M nằm trên (O1) ( A,B).AM cắt (O2) ở điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O1) ở điểm thứ hai C và đường thẳng AC cắt (O2) ở điểm thứ hai Q.CMR trung điểm PQ nằm trên đường thẳng MC
Bài 50: Đẳng thức
Cho ABC có góc A>góc B>góc C nội tiếp trong (O),ngoại tiếp (I).M là điểm chính giữa cung nhỏ BC.N là trung điểm BC.E đối xứng với I qua N.ME cắt (O) tại điểm thứ hai Q.CMR:BQ=AQ+CQ
Bài 51: Tứ giác nội tiếp-Tính góc-Vuông góc
Cho tam giác ABC vuông tại C. Đường tròn tâm O đường kính CD cắt AC ;BC TAI E ;F thứ tự (D là là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB). Gọi M là giao điểm thứ 2 của BE với (O). AC và MF cắt nhau tại K; P là giao điểm của EF và BK.
a) CM: B;M;F;P cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Giả sử D;M;P thẳng hàng. Tính $\angle BAC$
c) Giả sử D;M;P thẳng hàng. CM: CM vuông góc với đường nối tâm đường tròn ngoại tiếp 2 MEO;MFP.
Bài 52: Trung điểm
Cho hai đường tròn (01;R) và (02;r)cắt nhau tại A; B .Từ điểm C trên tia đối của tia AB vẽ các tiếp tuyên CD;CE với (01). D;E là các tiếp điểm ;E nằm trong đường tròn (02). AD;AE cắt (02) tại M;N .CMR: DE cắt MN tại trung điểm của MN.
Bài 53: Quỹ tích
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trong đường tròn. Cát tuyến thay đổi qua A cắt đường tròn tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại P. Tìm quĩ tích P.
Bài 54: Đ�ồng quy
Cho tam giác ABC. Trực tâm H. Kẻ AA', BB', CC' sao cho các tia phân giác của các góc A'AH, B'BH, C'CH song song với nhau. CMR các đường thằng AA', BB', CC' đ�ồng qui tại 1 điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 55: Đẳng thức
cho hình bình hành ABC. Trên BA và CD lấy M và K sao cho AM=CK. Trên AD lấy P tùy ý. MK cắt PB và PC tại E và F.
Chứng minh$S_{PEF}=S_{BME}+S_{CKF}$
Bài 56: Đẳng thức
cho tư giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi I là giao điểm của AC và BD.Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD . Qua I ,dựng đường thẳng d bất kì cắt Đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD và đường tròn ngọai tiếp tứ giác ABCD lần lượt tại 4 điểm M ,N,P,Q.Chứng minh MN = PQ
Bài 57: Quỹ tích
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.MN là một đường kính di động của đường tròn này.Gọi m là đường thẳng sim son được vẽ từ điểm M xuống các cạnh của tam giác ABC.Định nghĩa tương tự với đối với đường thẳng n(được vẽ bởi điểm N).Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng sim son m và n.Tìm quỹ tích của I.
Mình sẽ tiếp tục cập nhật. Các bạn hãy tham giải và thảo luận nào!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-02-2024 - 07:04