Đến nội dung

Hình ảnh

GIẢI TÍCH HÀM


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Bui Xuan Quang

Bui Xuan Quang

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
Các bạn giúp tôi mệnh đề này nhé: Cho X là không gian Banach, chứng minh rằng nếu A là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X (A thuộc L(X)) và toán tử A có chuẩn nhỏ hơn 1 thì toán tử (I-A) là phép đồng phôi tuyến tính (I là toán tử đồng nhất)
I LOVE MATHS

#2
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết
Bạn có thể làm như thế này được không nhỉ!
Để chứng minh (I-A) là phép đồng phôi tuyến tính thì ta chỉ cần chỉ ra tồn tại toán tử tuyến tính ngược $A^{-1}$ và $A^{-1}$ này bị chặn (tức là liên tục) thì xong!
Chứng minh tồn tại toán tử tuyến tính ngược $A^{-1}$
+ Giả sử Ax = 0 và vì ||A|| < 1 nên 0 = ||Ax|| > ||x||. Suy ra x = 0. Do đó A đơn ánh.
+ Hiển nhiên A toàn ánh (vì A thuộc L(X))
Vậy A song ánh. Suy ra tồn tại $A^{-1}$.
Đến đây bạn chỉ cần chứng minh $A^{-1}$ bị chặn là OK. (Điều này có thể kiểm tra $||A^{-1}x||<||x||$)

#3
Bui Xuan Quang

Bui Xuan Quang

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Bạn có thể làm như thế này được không nhỉ!
Để chứng minh (I-A) là phép đồng phôi tuyến tính thì ta chỉ cần chỉ ra tồn tại toán tử tuyến tính ngược $A^{-1}$ và $A^{-1}$ này bị chặn (tức là liên tục) thì xong!
Chứng minh tồn tại toán tử tuyến tính ngược $A^{-1}$
+ Giả sử Ax = 0 và vì ||A|| < 1 nên 0 = ||Ax|| > ||x||. Suy ra x = 0. Do đó A đơn ánh.
+ Hiển nhiên A toàn ánh (vì A thuộc L(X))
Vậy A song ánh. Suy ra tồn tại $A^{-1}$.
Đến đây bạn chỉ cần chứng minh $A^{-1}$ bị chặn là OK. (Điều này có thể kiểm tra $||A^{-1}x||<||x||$)

Cảm ơn bạn vì đã quan tâm, nhưng theo mình thì cần chỉnh sửa lại là : thay vì chứng minh cho ánh xạ A^-1, mình cần chứng minh tồn tại (I-A)^-1 và ánh xạ này bị chặn. được không bạn?
I LOVE MATHS

#4
Bui Xuan Quang

Bui Xuan Quang

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
Bạn giải thích rõ ràng chỗ A đơn ánh, toàn ánh và toán tử ngược bị chặn được không? Cảm ơn bạn
I LOVE MATHS

#5
Bui Xuan Quang

Bui Xuan Quang

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
Trong phần chứng minh đơn ánh, bạn có thể giải thích kỹ là tại sao chúng ta có bất đẳng thức đó không ạ? Tớ đang cần rất gấp mà không chứng minh được.
I LOVE MATHS

#6
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết
Chứng minh đơn ánh dựa vào kerf = 0, tức là f(x) = 0 ta suy ra được x = 0 thì f(x) đơn ánh!
À, mà đó là bài tự giải của mình cũng không biết đúng không nữa!
Hay là bạn tìm quyển Giải Tích Hàm của Nguyễn Xuân Liêm (BGDĐT). Nội dung bạn hỏi là Định lí 7.5 trang 30, nhưng sao tôi thấy sách chứng minh mà ngán! he he
:alpha

#7
Bui Xuan Quang

Bui Xuan Quang

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
Cảm ơn bạn. mình biết quyển của Nguyễn X Liêm nhưng muốn hỏi xem ai có cách tiếp cận khác. Trong bài chứng minh của bạn, mình không hiểu chỗ đánh giá bất đẳng thức thôi
I LOVE MATHS

#8
Bui Xuan Quang

Bui Xuan Quang

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
Vì sao ||A||<1 thì lại có ||Ax||>||x|| hả bạn?
I LOVE MATHS

#9
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết

Vì sao ||A||<1 thì lại có ||Ax||>||x|| hả bạn?

Xin lỗi, mình hơi lộn.$\\ ||x|| \le ||A^{-1}||||Ax|| \Rightarrow ||Ax||>\dfrac{||x||}{||A^{-1}}$
Từ điều trên ta cũng có thể suy ra x = 0 mà không cần đánh giá sai ||Ax||>||x|| của mình nữa!

P/s: Giờ mình tốt nghiệp Đại học rồi nên GTH có phần...........quên!

#10
Bui Xuan Quang

Bui Xuan Quang

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
Mình nghĩ là chỉnh sửa như thế vẫn chưa ổn lắm đâu. Vì toán tử A chưa hẳn đã có toán tử ngược mà bạn đánh giá vậy
I LOVE MATHS




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh