GIẢI TÍCH HÀM
Bắt đầu bởi Bui Xuan Quang, 23-08-2011 - 09:37
#1
Đã gửi 23-08-2011 - 09:37
Các bạn giúp tôi mệnh đề này nhé: Cho X là không gian Banach, chứng minh rằng nếu A là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X (A thuộc L(X)) và toán tử A có chuẩn nhỏ hơn 1 thì toán tử (I-A) là phép đồng phôi tuyến tính (I là toán tử đồng nhất)
I LOVE MATHS
#2
Đã gửi 23-08-2011 - 10:27
Bạn có thể làm như thế này được không nhỉ!
Để chứng minh (I-A) là phép đồng phôi tuyến tính thì ta chỉ cần chỉ ra tồn tại toán tử tuyến tính ngược $A^{-1}$ và $A^{-1}$ này bị chặn (tức là liên tục) thì xong!
Chứng minh tồn tại toán tử tuyến tính ngược $A^{-1}$
+ Giả sử Ax = 0 và vì ||A|| < 1 nên 0 = ||Ax|| > ||x||. Suy ra x = 0. Do đó A đơn ánh.
+ Hiển nhiên A toàn ánh (vì A thuộc L(X))
Vậy A song ánh. Suy ra tồn tại $A^{-1}$.
Đến đây bạn chỉ cần chứng minh $A^{-1}$ bị chặn là OK. (Điều này có thể kiểm tra $||A^{-1}x||<||x||$)
Để chứng minh (I-A) là phép đồng phôi tuyến tính thì ta chỉ cần chỉ ra tồn tại toán tử tuyến tính ngược $A^{-1}$ và $A^{-1}$ này bị chặn (tức là liên tục) thì xong!
Chứng minh tồn tại toán tử tuyến tính ngược $A^{-1}$
+ Giả sử Ax = 0 và vì ||A|| < 1 nên 0 = ||Ax|| > ||x||. Suy ra x = 0. Do đó A đơn ánh.
+ Hiển nhiên A toàn ánh (vì A thuộc L(X))
Vậy A song ánh. Suy ra tồn tại $A^{-1}$.
Đến đây bạn chỉ cần chứng minh $A^{-1}$ bị chặn là OK. (Điều này có thể kiểm tra $||A^{-1}x||<||x||$)
#3
Đã gửi 23-08-2011 - 11:10
Cảm ơn bạn vì đã quan tâm, nhưng theo mình thì cần chỉnh sửa lại là : thay vì chứng minh cho ánh xạ A^-1, mình cần chứng minh tồn tại (I-A)^-1 và ánh xạ này bị chặn. được không bạn?Bạn có thể làm như thế này được không nhỉ!
Để chứng minh (I-A) là phép đồng phôi tuyến tính thì ta chỉ cần chỉ ra tồn tại toán tử tuyến tính ngược $A^{-1}$ và $A^{-1}$ này bị chặn (tức là liên tục) thì xong!
Chứng minh tồn tại toán tử tuyến tính ngược $A^{-1}$
+ Giả sử Ax = 0 và vì ||A|| < 1 nên 0 = ||Ax|| > ||x||. Suy ra x = 0. Do đó A đơn ánh.
+ Hiển nhiên A toàn ánh (vì A thuộc L(X))
Vậy A song ánh. Suy ra tồn tại $A^{-1}$.
Đến đây bạn chỉ cần chứng minh $A^{-1}$ bị chặn là OK. (Điều này có thể kiểm tra $||A^{-1}x||<||x||$)
I LOVE MATHS
#4
Đã gửi 23-08-2011 - 23:22
Bạn giải thích rõ ràng chỗ A đơn ánh, toàn ánh và toán tử ngược bị chặn được không? Cảm ơn bạn
I LOVE MATHS
#5
Đã gửi 24-08-2011 - 12:25
Trong phần chứng minh đơn ánh, bạn có thể giải thích kỹ là tại sao chúng ta có bất đẳng thức đó không ạ? Tớ đang cần rất gấp mà không chứng minh được.
I LOVE MATHS
#6
Đã gửi 24-08-2011 - 14:53
Chứng minh đơn ánh dựa vào kerf = 0, tức là f(x) = 0 ta suy ra được x = 0 thì f(x) đơn ánh!
À, mà đó là bài tự giải của mình cũng không biết đúng không nữa!
Hay là bạn tìm quyển Giải Tích Hàm của Nguyễn Xuân Liêm (BGDĐT). Nội dung bạn hỏi là Định lí 7.5 trang 30, nhưng sao tôi thấy sách chứng minh mà ngán! he he
À, mà đó là bài tự giải của mình cũng không biết đúng không nữa!
Hay là bạn tìm quyển Giải Tích Hàm của Nguyễn Xuân Liêm (BGDĐT). Nội dung bạn hỏi là Định lí 7.5 trang 30, nhưng sao tôi thấy sách chứng minh mà ngán! he he
#7
Đã gửi 24-08-2011 - 22:39
Cảm ơn bạn. mình biết quyển của Nguyễn X Liêm nhưng muốn hỏi xem ai có cách tiếp cận khác. Trong bài chứng minh của bạn, mình không hiểu chỗ đánh giá bất đẳng thức thôi
I LOVE MATHS
#8
Đã gửi 24-08-2011 - 22:40
Vì sao ||A||<1 thì lại có ||Ax||>||x|| hả bạn?
I LOVE MATHS
#9
Đã gửi 24-08-2011 - 23:15
Xin lỗi, mình hơi lộn.$\\ ||x|| \le ||A^{-1}||||Ax|| \Rightarrow ||Ax||>\dfrac{||x||}{||A^{-1}}$Vì sao ||A||<1 thì lại có ||Ax||>||x|| hả bạn?
Từ điều trên ta cũng có thể suy ra x = 0 mà không cần đánh giá sai ||Ax||>||x|| của mình nữa!
P/s: Giờ mình tốt nghiệp Đại học rồi nên GTH có phần...........quên!
#10
Đã gửi 25-08-2011 - 22:41
Mình nghĩ là chỉnh sửa như thế vẫn chưa ổn lắm đâu. Vì toán tử A chưa hẳn đã có toán tử ngược mà bạn đánh giá vậy
I LOVE MATHS
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh