Chủ đề này có 3 trả lời

[Bui Xuan Quang]

Nếu f là một ánh xạ co từ không gian Banach X vào chính nó thì có một điểm bất động duy nhất, vậy nếu nó đi từ không gian banach X tới không gian banach Y thì sao ạ? Có khẳng định được duy nhất điểm bất động không ạ, và ánh xạ co từ không gian banach X tới không gian banach Y có gì đặc biệt không, đơn ánh toàn ánh chẳng hạn

[maxolo]

Nếu f là một ánh xạ co từ không gian Banach X vào chính nó thì có một điểm bất động duy nhất, vậy nếu nó đi từ không gian banach X tới không gian banach Y thì sao ạ? Có khẳng định được duy nhất điểm bất động không ạ, và ánh xạ co từ không gian banach X tới không gian banach Y có gì đặc biệt không, đơn ánh toàn ánh chẳng hạn

Trước hết, khi nói điểm bất động, tức là $F(x)= x$ và do đó, $F(x)$ và $x$ phải ở cùng một không gian. Từ đó, không thể định nghĩa điểm bất động cho $F:X \to Y$ nói chung. Về tính đơn ánh, toàn ánh cũng không suy ra được. Ví dụ ánh xạ $F(x) = 0$ với mọi $x$ không phải là toàn ánh. Nhìn chung, tính co lại thì không thể suy ra toàn ánh được, vì nó có thể co mất một số chiều nào đó trong $Y$. Cũng không có lý do gì để nói về tính đơn ánh cả.

[mimo91]

Mình có một câu hỏi liên quan đến ánh xạ co, vì chủ đề có sẵn rồi nên mình ngại mở chủ đề mới, xin phép được hỏi luôn ở đây.

Cho M là tập hợp con không rỗng của không gian Banach, f: M$\rightarrow$M, $f^n = f\circ ...\circ f$.

CMR: Nếu $f^n$ là ánh xạ co với $n \in \mathbb{N}$ thì f sở hữu một điểm bất động duy nhất. 

Theo định luật về ánh xạ co thì $f^n$ cũng sở hữu 1 điểm bất đồng duy nhất, giả sử là x*, tức là $f^n(x*)=x*$ . Vậy thì:

$\begin{Vmatrix} f(x*)-x* \end{Vmatrix}$ = $\begin{Vmatrix} f(f^n(x*))-f^n(x*) \end{Vmatrix}= \begin{Vmatrix} f^n(f(x*))-f^n(x*) \end{Vmatrix}< \alpha \begin{Vmatrix} f(x*)-x* \end{Vmatrix}$ với $\alpha \in (0,1)$ do $f^n$ là ánh xạ co.

Do vậy f cũng là ánh xạ co $\Rightarrow$ f sở 1 điểm bất động duy nhất trong M. 

Liệu chứng minh của mình có đúng hay không? 

[maxolo]

Hi vọng bạn đã tìm thấy chỗ không đúng trong suy luận. 

Một ánh xạ là co nếu có $\alpha \in (0,1)$ sao cho

$\quad \|F(x) - F(y)\| \leqslant \alpha \|x - y\|, \quad x, y \in X$.

Trong lời giải, không có chỗ nào suy ra bất đẳng thức trên.

Tuy nhiên, bạn đã chứng minh:

$\quad\|f(x^* ) -x^*\| \leqslant \alpha \|f(x^*) - x^*\|$,

và từ đó dễ dàng suy ra $ \|f(x^*) - x^*\| = 0$ hay $f(x^*) = x^*$.

Tức là $x^*$ cũng là điểm bất động của $f$.

 

Mình có một câu hỏi liên quan đến ánh xạ co, vì chủ đề có sẵn rồi nên mình ngại mở chủ đề mới, xin phép được hỏi luôn ở đây.

Cho M là tập hợp con không rỗng của không gian Banach, f: M$\rightarrow$M, $f^n = f\circ ...\circ f$.

CMR: Nếu $f^n$ là ánh xạ co với $n \in \mathbb{N}$ thì f sở hữu một điểm bất động duy nhất. 

Theo định luật về ánh xạ co thì $f^n$ cũng sở hữu 1 điểm bất đồng duy nhất, giả sử là x*, tức là $f^n(x*)=x*$ . Vậy thì:

$\begin{Vmatrix} f(x*)-x* \end{Vmatrix}$ = $\begin{Vmatrix} f(f^n(x*))-f^n(x*) \end{Vmatrix}= \begin{Vmatrix} f^n(f(x*))-f^n(x*) \end{Vmatrix}< \alpha \begin{Vmatrix} f(x*)-x* \end{Vmatrix}$ với $\alpha \in (0,1)$ do $f^n$ là ánh xạ co.

Do vậy f cũng là ánh xạ co $\Rightarrow$ f sở 1 điểm bất động duy nhất trong M. 

Liệu chứng minh của mình có đúng hay không?