22 replies to this topic

[Crystal]

Mình xin mở topic này để mọi người cùng đưa ra một số bài toán LG và ứng dụng của LG để giải toán rồi cùng thảo luận, góp một phần nhỏ cho VMF. Mong mọi người ủng hộ để pic hoạt động sôi nổi.

Thân!

Mở đầu là 2 bài toán.

Bài 1: Tính tổng các nghiệm $x \in \left[ {0;100} \right]$ của phương trình sau:
$\dfrac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x + t{g^2}x$
Bài 2: Giải phương trình: $7{\sin ^2}x + 2\sin 2x - 3{\cos ^2}x - 3\sqrt[3]{{15}} = 0$

[khanh3570883]

Mình xin mở topic này để mọi người cùng đưa ra một số bài toán LG và ứng dụng của LG để giải toán rồi cùng thảo luận, góp một phần nhỏ cho VMF. Mong mọi người ủng hộ để pic hoạt động sôi nổi.

Thân!

Mở đầu là 2 bài toán.

Bài 1: Tính tổng các nghiệm $x \in \left[ {0;100} \right]$ của phương trình sau:
$\dfrac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x + t{g^2}x$
Bài 2: Giải phương trình: $7{\sin ^2}x + 2\sin 2x - 3{\cos ^2}x - 3\sqrt[3]{{15}} = 0$

Bài 1:
ĐK: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi $
$\begin{array}{l}
\dfrac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x + {\tan ^2}x\\
\Leftrightarrow \cos x - 1 + 1 + {\tan ^2}x = \cos 2x + {\tan ^2}x\\
\Leftrightarrow \cos x = \cos 2x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = k\dfrac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\dfrac{{2\pi }}{3}
\end{array}$
Việc tính tổng chỉ là áp dụng tính chất của cấp số cộng

Bài 2: Đây là phương trình dạng $a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d$

[CD13]

Ongtroi tiếp xusinst 2 bài vậy:

Bài 3:
Giải phương trình: $cosx-3\sqrt{3}sinx=cos7x$

Bài 4:
Cho tam giác ABC, tìm GTLN của biểu thức:
$M=\dfrac{sin^2A+sin^2B+sin^2C}{cos^2A+cos^2B+cos^2C}$

[khanh3570883]

Bài 4:
Cho tam giác ABC, tìm GTLN của biểu thức:
$M=\dfrac{sin^2A+sin^2B+sin^2C}{cos^2A+cos^2B+cos^2C}$

Bài này dùng 2 bất đẳng thức:
$\begin{array}{l}
{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \le \dfrac{9}{4}\\
{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C \ge \dfrac{3}{4}
\end{array}$
Ta được $\max M = 3$

[Crystal]

Tiếp bài giải của khanh3570883 cho hoàn chỉnh.
Bài 1:
ĐK: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi $
$\begin{array}{l}
\dfrac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x + {\tan ^2}x\\
\Leftrightarrow \cos x - 1 + 1 + {\tan ^2}x = \cos 2x + {\tan ^2}x\\
\Leftrightarrow \cos x = \cos 2x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = k\dfrac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\dfrac{{2\pi }}{3}
\end{array}$
Do $0 \le x \le 100$ nên $0 \le k \le \left[ {\dfrac{{100}}{{\dfrac{{2\pi }}{3}}}} \right] = \left[ {\dfrac{{50}}{{\dfrac{\pi }{3}}}} \right] = 47 \Rightarrow S = \dfrac{{48\left( {0 + \dfrac{{47.2\pi }}{3}} \right)}}{2} = 752\pi $

Bài 2: Đây là phương trình dạng $a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d$

Chia 2 vế cho ${\cos ^2}x \ne 0$ ta được phương trình tương đương: $7t{g^2}x + 4tgx - 3 - 3\sqrt[3]{{15}}\left( {1 + t{g^2}x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {7 - 3\sqrt[3]{{15}}} \right)t{g^2}x + 4tgx - \left( {3 + 3\sqrt[3]{{15}}} \right) = 0\,\,\,\,\,(1)$

Ta có: $\Delta ' = 4 + \left( {7 - 3\sqrt[3]{{15}}} \right)\left( {3 + 3\sqrt[3]{{15}}} \right) = 25 + 12\sqrt[3]{{15}} - 9\sqrt[3]{{{{15}^2}}}$

Đặt: $t = \sqrt[3]{{15}} \Rightarrow {t^3} = 15 \Rightarrow \dfrac{5}{3}{t^3} = 25$, khi đó: $\Delta ' = \dfrac{5}{3}t\left( {t - 3} \right)\left( {t - \dfrac{{12}}{5}} \right)$

Dễ dàng thấy: ${\left( {\dfrac{{12}}{5}} \right)^3} < 15 < {3^3} \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{5} < t = \sqrt[3]{{15}} < 3 \Rightarrow \Delta ' < 0 \Rightarrow \left( 1 \right)$ vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

[khanh3570883]

- Chào các bạn trên diễn đàn!
- Cho mình hỏi cách giải bài lượng giác sin5xsin4x - sin2xsin6x - sin4xsin6x = 0 nhe?
- Mong các bạn reply sớm nhe, cảm ơn các bạn nhiều!

http://www.artofprob...p?f=39&t=436269

[Crystal]

Bài 5: Giải phương trình: $\cos x\cos 2x\cos 3x + \sin x\sin 2x\sin 3x = 1$

Bài 6: Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$: $2\sqrt {m + x} - \sqrt {m - x} = \sqrt {m - x + \sqrt {x\left( {m + x} \right)} } $

---------------------------------------------------------------------------------------------

P/s: Các bạn giải xong bài thì giúp mình post bài mới nhé. Hi vọng sẽ có nhiều mem tham gia vào topic này.

[hoangtrong2305]

</p>
Bài 5: Giải phương trình: $cos xcos 2xcos 3x + sin xsin 2xsin 3x = 1

cosxcos2xcos3x + sinxsin2xsin3x = 1
<=> (cos4x + cos2x)cos2x + (sin4x + sin2x)sin2x = 2</p>
<=> cos4xcos2x +sin4xsin2x +cos²2x + sin²2x = 2</p>
<=> cos2x = 1
<=> 2x = k2$\Pi$
<=> x = k$\Pi$ (k $\in$ Z)

Edited by hoangtrong2305, 08-10-2011 - 23:17.

[tolaphuy10a1lhp]

Xin phép anh Xu... nghen.
Cách 2 bài 5 và cách giải bài 6 trong này.

Attached Files

•  Luong_giac_UD.pdf   1.2MB   3584 downloads

[khanh3570883]

Bài 6: Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$: $2\sqrt {m + x} - \sqrt {m - x} = \sqrt {m - x + \sqrt {x\left( {m + x} \right)} } $

ĐK: $|x| \le m \Leftrightarrow x = m\cos t\left( {t \in \left[ {0;\pi } \right];m \ge 0} \right)$
Ta có:
$\begin{array}{l}
2\sqrt {m + t} - \sqrt {m - t} = \sqrt {m - t + \sqrt {t\left( {m + t} \right)} } \\
\Leftrightarrow 2\sqrt {m\left( {1 + \cos t} \right)} - \sqrt {m\left( {1 - \cos t} \right)} = \sqrt {m\left( {1 - \cos t} \right) + \sqrt {{m^2}\cos t\left( {1 + \cos t} \right)} } \\
\Leftrightarrow 2\sqrt {2m} c{\rm{os}}\dfrac{t}{2} - \sqrt {2m} \sin \dfrac{t}{2} = \sqrt {2m{{\sin }^2}\dfrac{t}{2} + \sqrt {2\cos t} mc{\rm{os}}\dfrac{t}{2}}
\end{array}$
Nếu m=0 thì x = 0
Nếu $m \ne 0$ thì:
$\begin{array}{l}
2\sqrt 2 c{\rm{os}}\dfrac{t}{2} - \sqrt 2 \sin \dfrac{t}{2} = \sqrt {2{{\sin }^2}\dfrac{t}{2} + \sqrt {2\cos t} c{\rm{os}}\dfrac{t}{2}} \\
\Leftrightarrow 8c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{t}{2} - 4\sin \dfrac{t}{2}c{\rm{os}}\dfrac{t}{2} + 2{\sin ^2}\dfrac{t}{2} = 2{\sin ^2}\dfrac{t}{2} + \sqrt {2\cos t} c{\rm{os}}\dfrac{t}{2}\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}\dfrac{t}{2} = 0 \Leftrightarrow t = \pi + k2\pi \Rightarrow t = \pi \\
8c{\rm{os}}\dfrac{t}{2} - 4\sin \dfrac{t}{2} = \sqrt {2\cos t} (*)
\end{array} \right.
\end{array}$
$\begin{array}{l}
(*) \Leftrightarrow 64c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{t}{2} - 64c{\rm{os}}\dfrac{t}{2}\sin \dfrac{t}{2} + 16{\sin ^2}\dfrac{t}{2} = 2\cos t\\
\Leftrightarrow 64\dfrac{{1 + \cos t}}{2} - 32\sin t + 16\dfrac{{1 - \cos t}}{2} - 2\cos t = 0\\
\Leftrightarrow 11\cos t - 16\sin t = - 20\\
\Leftrightarrow \sin \left( {\alpha - t} \right) = \dfrac{{ - 20}}{{\sqrt {377} }} < - 1(VN)
\end{array}$
Thử lại:
+m=0;x=0 thì PT thoã mãn
+$m \ne 0$ thì x=-m $ \Rightarrow - \sqrt {2m} = \sqrt {2m} \Leftrightarrow m = 0$ (loại)

Vậy với m=0 thì phương trình có nghiệm x=0, với $m \ne 0$ thì phương trình vô nghiệm.

[tolaphuy10a1lhp]

Ongtroi tiếp xusinst 2 bài vậy:

Bài 3:
Giải phương trình: $cosx-3\sqrt{3}sinx=cos7x$

$cosx-3\sqrt{3}sinx=cos7x$

$ \Leftrightarrow \cos x - \cos 7x - 3\sqrt 3 \sin x = 0$

$ \Leftrightarrow 2\sin 4x\left( {3\sin x - 4{{\sin }^3}x} \right) - 3\sqrt 3 \sin x = 0$

$ \Leftrightarrow \sin x\left[ {2\sin 4x\left( {3 - 4{{\sin }^2}x} \right) - 3\sqrt 3 } \right] = 0$


$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0 (1)\\
2\sin 4x\left( {3 - 4{{\sin }^2}x} \right) - 3\sqrt 3 = 0 (2)\end{array} \right.$

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4\sin 2x{\cos ^2}2x + 4\sin 2x\cos 2x - 3\sqrt 3 = 0$

Cos2x = 0 không phải là nghiệm, chia 2 vế cho ${\cos ^2}2x$

$ \Leftrightarrow 3\sqrt 3 {\tan ^2}2x - 4\tan 2x + 3\sqrt 3 - 4\sin 2x = 0$

$\Delta ' = 4 - 3\sqrt 3 \left( {3\sqrt 3 - 4\sin 2x} \right) = - 23 + 12\sqrt 3 \sin 2x < 0$
(2) vô nghiệm
Vậy sinx = 0$ \Rightarrow x = k\pi$

[tolaphuy10a1lhp]

P/s: Các bạn giải xong bài thì giúp mình post bài mới nhé. Hi vọng sẽ có nhiều mem tham gia vào topic này.

Tiếp vài bài giải phương trình cho topic của Anh Xusi....

$7){\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an2}}x - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an3}}x - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an5}}x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an2}}x\tan 3x\tan 5x$


$8){\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{a}}{{\rm{n}}^2}{\rm{2}}x - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{a}}{{\rm{n}}^2}{\rm{3}}x + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an5}}x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{a}}{{\rm{n}}^2}{\rm{2}}x{\tan ^2}3x\tan 5x$


$9)\tan x + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x + \cot x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x = 6$

[hoangtrong2305]

$9)\tan x + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x + \cot x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x = 6$

$9)\tan x + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x + \cot x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x = 6$

Điều kiện: $x\neq \dfrac{k\pi }{2} ,k\in\mathbb{Z}$

<=>$(tanx+cotx)+(tan^{2}x+2tanxcotx+cot^{2}x)+(tanx+cotx)(tan^{2}x+2tanxcotx+cot^{2}x-3)=8$

<=>$(tanx+cotx)+(tanx+cotx)^{2}+(tanx+cotx)[(tanx+cotx)^{2}-3)]=8$

Đặt $t=tanx+cotx$, phương trình thành

$t^{3}+t^{2}-2t-8=0$

=> $t=2$

<=>$tanx+cotx=2$

<=>$tan^{2}x-2tanx+1=0$

<=>$tanx=1$

<=>x=$\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,k\in\mathbb{Z} $ (nhận)

Edited by hoangtrong2305, 13-10-2011 - 12:43.

[Karl Vierstein]

mình có bài này muốn nhờ các bạn làm thử
 10,  Tìm Max Min
$y=\sqrt{3-2cosx+2cos2x}$

Edited by Karl Vierstein, 06-07-2013 - 08:26.

[CD13]

Từ khi WWW ra đi thì topic này lặng luôn! Hơn 5 năm tham gia với VMF, ngồi nhìn kẻ đến rồi đi cũng không khỏi chạnh lòng. Những người đã từng một thời là bạn giờ không biết "lưu lạc" nơi đâu!

Xin tiếp 2 bài vậy!

 

Bài 11: Giải phương trình $\sin \frac{5x}{2}=5\cos ^3x\sin \frac{x}{2}$.

 

Bài 12: Giải phương trình $\cos 3x-\sin x =1$.

[hoangviet123456]

Nhờ các anh giải giúp em với.Em cám ơn các thầy ạ.

 

Giai phương trình :  

[Toi yeu Toan hocc]

em có 1 bài một góp vào, mong nhận được sự trợ giúp ạ. em cảm ơn ạ

Cho 2022 số thực $a_{1},a_{2}...,a_{2022}$. Chứng minh rằng nếu

$a_{1}sinx+a_{2}sin2x+...+a_{2022}sin2022x=0$

thì với mọi $x \in [0;\pi]$ thì $a_{1}=a_{2}=...=a_{2022}=0$

Edited by Toi yeu Toan hocc, 05-10-2023 - 18:47.

[Konstante]

Trong đại số tuyến tính, bài này chính là việc chứng minh tập $\{ \sin x, \sin 2x, \dots \sin nx \}$ là độc lập tuyến tính trong $\mathcal{C}([0,\pi], \mathbb{R})$.

 

Với $1 \leq i \leq n$, đặt $$g_i(x) = \left(\sum\limits_{j=1}^{n} a_j \sin jx\right) \sin ix$$ thế thì $g_i(x) = 0$ với mọi $x \in [0, \pi]$, do vậy $\int\limits_{0}^{\pi} g_i(x) dx = 0$. Nhưng $\int\limits_{0}^{\pi} g_i(x) dx = a_i\frac{\pi}{2}$, do vậy $a_i = 0$.

Edited by Konstante, 06-10-2023 - 02:18.

[Toi yeu Toan hocc]

Trong đại số tuyến tính, bài này chính là việc chứng minh tập $\{ \sin x, \sin 2x, \dots \sin nx \}$ là độc lập tuyến tính trong $\mathcal{C}([0,\pi], \mathbb{R})$.

 

Với $1 \leq i \leq n$, đặt $$g_i(x) = \left(\sum\limits_{j=1}^{n} a_j \sin jx\right) \sin ix$$ thế thì $g_i(x) = 0$ với mọi $x \in [0, \pi]$, do vậy $\int\limits_{0}^{\pi} g_i(x) dx = 0$. Nhưng $\int\limits_{0}^{\pi} g_i(x) dx = a_i\frac{\pi}{2}$, do vậy $a_i = 0$.

dạ, em cảm ơn ạ. em có chút thắc mắc chỗ $g_i(x) = \left(\sum\limits_{j=1}^{n} a_j \sin jx\right) \sin ix$ ý ạ. Tại sao lại có cái $sin ix$ ở ngoài ngoặc vậy ạ. Mong anh giải đáp.

[Konstante]

Đấy chỉ là mẹo để khiến cho hàm $g_i(x)$ vẫn đồng nhất là $0$ trên đoạn $[0,\pi]$, nhưng tích phân cùa $g_i(x)$ trên đoạn đó lại liên quan đến duy nhất $a_i$. Do $$\int_{0}^{\pi} (\sin jx) (\sin ix) dx = \begin{cases}0 \ \text{khi} \ j \neq i \\ \frac{\pi}{2} \ \text{khi} \ j = i\end{cases}$$

Tại sao gọi nó là mẹo vì nó không liên quan mấy đến tính chất của các hàm $\sin jx$ (nó chỉ tận dụng tính chất tích phân của $(\sin jx)(\sin ix)$ trong đoạn $[0,\pi]$). Một kết luận mạnh hơn có thể chứng minh được nhờ vào Wronskian của các hàm này, khi đó ta có thể thay đoạn $[0,\pi]$ bằng một đoạn bất kỳ.

Edited by Konstante, 06-10-2023 - 21:22.