c
Bài 2:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)P\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)P\left( x \right),\,\,\forall $
Chọn: $x = - 2 \Rightarrow P\left( { - 2} \right) = 0;\,\,\,x = - 1 \Rightarrow P\left( { - 1} \right) = 0$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \Rightarrow P\left( 0 \right) = 0;\,\,\,x = 1 \Rightarrow P\left( 1 \right) = 0$
Vậy $P\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)G\left( x \right)$
Thay P (x) vào (1) ta được:
$\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)x\left( {x + 1} \right)G\left( {x - 1} \right) = $
$ = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)G\left( x \right),\,\,\forall x$
$ \Rightarrow \left( {{x^2} + x + 1} \right)G\left( {x - 1} \right) = \left( {{x^2} - x + 1} \right)G\left( x \right),\,\,\forall x$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{G\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - x + 1}} = \dfrac{{G\left( x \right)}}{{{x^2} + x + 1}},\,\,\forall x \Leftrightarrow \dfrac{{G\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + \left( {x - 1} \right) + 1}} = \dfrac{{G\left( x \right)}}{{{x^2} + x + 1}},\,\,\forall x$
Đặt: $H\left( x \right) = \dfrac{{G\left( x \right)}}{{{x^2} + x + 1}}\,\,\,\,\left( {x \ne 0,\, \pm 1,\,\, - 2} \right)$
$ \Rightarrow H\left( x \right) = H\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\left( {x \ne 0,\, \pm 1,\,\, - 2} \right) \Rightarrow H\left( x \right) = C$
$ \Rightarrow G\left( x \right) = C\left( {{x^2} + x + 1} \right)$
Vậy $P\left( x \right) = C\left( {{x^2} + x + 1} \right)x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)$.
Thử lại thấy $P\left( x \right)$ thỏa mãn bài toán.
Bài 3: Mình nghĩ khá đơn giản để các bạn khác suy nghĩ. Đáp án: $f\left( x \right) = \dfrac{{28x + 4}}{{5x}}$ ( dùng hệ số bất định).
Cho em hỏi C là gì ạ ( ở phần H(x)= C )