Chủ đề này có 3 trả lời

[vghy94]

Bài 1. Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trong khoảng $\[\left[ { - 1;1} \right]\]$ thì đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của 1 hàm số chẵn và 1 hàm số lẻ
Bài 2. Tìm hàm số $\[f(x)\]$ biết $\[f(x) + f\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{a - x}}} \right) = x\]$
Bài 3. Cho biết $\[f(x + 2y) = f(x) + 2f(xy)\]$ và $\[f(1994) = a\]$ .Tính $\[f(1995)\]$
Bài 4. Cho m là nghiệm của phương trình $\[f(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + .... + {a_n}{x^n} = 0\]$ . Chứng minh rằng $\[\left| m \right| \le 1 + \left| {\dfrac{{{a_i}}}{{{a_j}}}} \right|,\left( {i,j \in \overline {0,n} } \right)\]$

Mình không được học nhiều về kiểu các bài này, mong các bạn phân dạng và giải giúp mình. (hình như bài 2 là phương trình hàm ? đúng không)

Mod. Công thức toán kẹp bởi

[latex][/latex]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 05-09-2011 - 15:40

[khanh3570883]

Bài 1. Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trong khoảng $\[\left[ { - 1;1} \right]\]$ thì đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của 1 hàm số chẵn và 1 hàm số lẻ

Không cần phải trong khoảng $\[\left[ { - 1;1} \right]\]$ đâu bạn, chỉ cần điều kiện là hàm số xác định trong khoảng $\[\left[ { - a;a} \right]\]$ là đủ.
Đặt: $g(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$
$hx)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$
Rõ ràng g(x) và h(x) cũng xác định trên $[-a,a]$.
Với mọi $-a\le x\le a$ thì:
$g(-x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x)$
$h(-x)=\dfrac{f(-x)-f(x)}{2}=-h(x)$
Suy ra g(x) là hàm chẵn, còn h(x) là hàm lẻ trên $[-a,a]$. Từ cách xây dựng hai hàm g(x) và h(x) suy ra: f(x) = g(x)+h(x)
Đó là đpcm.

[khanh3570883]

Bài 2. Tìm hàm số $\[f(x)\]$ biết $\[f(x) + f\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{a - x}}} \right) = x\]$

Đặt:
$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{{a - t}} = x \Rightarrow \dfrac{{at - {a^2}}}{t} = \dfrac{{{a^2}}}{{a - x}}\\\Rightarrow f\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{a - t}}} \right) + f\left( {\dfrac{{at - {a^2}}}{t}} \right) = \dfrac{{{a^2}}}{{a - t}}\end{array}$
Đặt:
$\begin{array}{l}\dfrac{{at - {a^2}}}{t} = z \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{a - t}} = \dfrac{{az - {a^2}}}{z}\\\Rightarrow f\left( {\dfrac{{az - {a^2}}}{z}} \right) + f\left( z \right) = \dfrac{{az - {a^2}}}{z}\end{array}$
Ta suy ra hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{a - x}}} \right) = x\\f\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{a - x}}} \right) + f\left( {\dfrac{{ax - {a^2}}}{x}} \right) = \dfrac{{{a^2}}}{{a - x}}\\f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{{ax - {a^2}}}{x}} \right) = \dfrac{{ax - {a^2}}}{x}\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}\Rightarrow 2f\left( x \right) = x + \dfrac{{ax - {a^2}}}{x} - \dfrac{{{a^2}}}{{a - x}}\\\Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3} - {a^2}x + {a^3}}}{{ax(x - a)}}\end{array}$
Đó là hàm số cần tìm.

[khanh3570883]

Bài 3. Cho biết $\[f(x + 2y) = f(x) + 2f(xy)\]$ và $\[f(1994) = a\]$ .Tính $\[f(1995)\]$

Chắc là $\[f(x + 2xy) = f(x) + 2f(xy)\]$ (1)
Do (1) đúng, nên trong (1) thay x=y=0 ta được f(0)=0 (2)
Thay trong (1), y=-1 ta có:
$f(-x)=f(x)+2f(-x) \Rightarrow f(x)=f(-x)$ (3)
Thay trong (1), $y=\dfrac{-1}{2}$, ta có:
$f(0)=f(x)-2f(\dfrac{-x}{2})$
Theo (2), (3) ta có:
$0=f(x)-2f(\dfrac{x}{2}) \Rightarrow f(x)=2f(\dfrac{x}{2})$ (4)
Xét x bất kì khác 0, thay trong (1) $y=\dfrac{t}{2x}$, ta có:
$f(x+t)=f(x)+2f(\dfrac{t}{2})$
Theo (4) ta có:
$f(x+t)=f(x)+f(t)$ (5)
Ta sẽ chứng minh: $f(nx)=nf(x)$, $\forall x, \forall n \in N$ (6)
Rõ ràng (6) đúng với n=1. Giả sử (6) đúng đến k, tức là:
$f(kx)=kf(x)$
Ta có: $f((k+1)x)=f(kx+x)=f(kx)+f(x)=kf(x)+f(x)=(k+1)f(x)$
Vậy (6) đúng với n=k+1.
Theo nguyên lý quy nạp thì (6) đúng $\forall x, \forall n \in N$
Ta chứng minh tiếp:
$f(\dfrac{m}{n}x)=\dfrac{m}{n}f(x)$, $\forall x, \forall m,n \in N$ (7)
Theo (6), ta có:
$f(\dfrac{m}{n}x)=f(m.\dfrac{x}{n})=mf(\dfrac{x}{n})$ (8)
Do: $f(x)=f(n.\dfrac{x}{n})=n.f(\dfrac{x}{n}) \Rightarrow f(\dfrac{x}{n})=\dfrac{1}{n}f(x)$ (9)
Thay (9) vào (8) suy ra (7) đúng.
Ta có:
$f(1995)=f(\dfrac{1995}{1994}.1994)=\dfrac{1995}{1994}f(1994)=\dfrac{1995a}{1994}$