Chủ đề này có 125 trả lời

[Crystal]

Theo như mong muốn của khacduongpro_165, hôm nay mình xin mở một topic như đúng tiêu đề của nó. Topic này tập trung những bài toán về BĐT trong Tích phân nhằm phục vụ cho thi OLP Toán SV. Mình mong đây là nơi để các bạn có thể thảo luận về một góc nhỏ của Giải tích. Bạn nào có bài toán hoặc vấn đề nào đó liên quan thì post lên để cùng trao đổi. Mong mọi người ủng hộ nhiệt tình, tham gia sôi nổi để pic không bị chìm, giúp cho Forum Toán Đại Học Đại cương hòa nhịp với sự phát triển của VMF.

Chú ý:

* Không được spam.

* Trình bày lời giải rõ ràng, đầy đủ.

Sau đây, mình xin đưa ra bài toán mở đầu.

Bài toán 1: Cho f liên tục trên $\left[ {0;1} \right],\,\,0 \le f\left( x \right) \le 1\,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$. Chứng minh rằng:

$\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx \ge {\left( {\int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right)dx} } \right)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 02-01-2012 - 16:53

[Crystal]

Mọi nguời vào ủng hộ pic này nhé. Mình thấy các 4R Toán Đại học đang bị bỏ quên thì phải. Không có sự đồng bộ giữa các 4R. Chúng ta cần xem lại.

[peter1]

Mọi nguời vào ủng hộ pic này nhé. Mình thấy các 4R Toán Đại học đang bị bỏ quên thì phải. Không có sự đồng bộ giữa các 4R. Chúng ta cần xem lại.

bạn có thể cho một chút gợi ý cho bài này không ?

[tanlsth]

Nhìn sơ qua thì thấy bài toán sai với hàm $ f(x)=x $

[Crystal]

Mình đưa ra lời giải cho bài toán trên luôn. Tanlsth xem có vấn đề gì không.

Xét: $\varphi \left( x \right) = \int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right)} dt - {\left( {\int\limits_0^x {f\left( {{t^2}} \right)dt} } \right)^2},\,\,x \in \left[ {0;1} \right]$
$\varphi '\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right).2x - 2\int\limits_0^x {f\left( {{t^2}} \right)dt.f\left( {{x^2}} \right)} = 2f\left( {{x^2}} \right)\left[ {x - \int\limits_0^x {f\left( {{t^2}} \right)dt} } \right]$
Theo định lý giá trị trung bình của tích phân: $\exists \alpha \in \left[ {0;1} \right]:\,$
$\,\varphi '\left( x \right) = 2f\left( {{x^2}} \right)\left[ {x - xf\left( \alpha \right)} \right] = 2xf\left( {{x^2}} \right)\left[ {1 - f\left( \alpha \right)} \right] \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$
Vậy $\varphi $ là đơn điệu tăng trên $\left[ {0;1} \right]$. Do vậy $\varphi \left( 1 \right) \ge \varphi \left( 0 \right) = 0$
Ta suy ra $\int\limits_0^1 {f\left( t \right)} dt \ge {\left( {\int\limits_0^1 {f\left( {{t^2}} \right)dt} } \right)^2}$ đpcm.

[Crystal]

Bài 2: Cho $f$ là một hàm khả vi liên tục trên $\left[ {a;b} \right],f\left( a \right) = 0$ và $0 \le f'\left( x \right) \le 1,\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]$.
Chứng minh rằng: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \ge \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {f\left( b \right)} \right)}^2} - {{\left( {f\left( a \right)} \right)}^2}} \right]$.

P/s: Bài này đơn giản, mong mọi người tham gia nhiệt tình.

[tanlsth]

Bài trên mình nhìn nhầm dấu, sorry
Bài dưới thì chỉ cần thấy hàm $f(x)$ luôn dương trên đoạn $[a,b]$ và $\int_{a}^{b} f(x)dx \geq \int_{a}^{b} f(x)f'(x)dx $ thì ta có điều phải chứng minh thôi

[Crystal]

Bài trên mình nhìn nhầm dấu, sorry
Bài dưới thì chỉ cần thấy hàm $f(x)$ luôn dương trên đoạn $[a,b]$ và $\int_{a}^{b} f(x)dx \geq \int_{a}^{b} f(x)f'(x)dx $ thì ta có điều phải chứng minh thôi

Mình xin bổ sung.
f là hàm đơn điệu tăng trên $\left[ {a;b} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( a \right) = 0$. Do đó $f(x)$ không âm trên đoạn $[a,b]$ chứ không phải $f(x)$ luôn dương trên đoạn $[a,b]$.
Phần còn lại thì như tanlsth là chính xác rồi.

[CD13]

Bài 3: (Học sinh THPT có thể làm được, nhẹ nhàng)
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{\sqrt{2\pi }}sinx^2dx>0$

[Crystal]

Bài 3: (Học sinh THPT có thể làm được, nhẹ nhàng)
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{\sqrt{2\pi }}sinx^2dx>0$

Không ai làm cả, mình làm nốt để post bài khác.
Đổi biến: $y = {x^2}$ ta có: $\int\limits_0^{\sqrt {2\pi } } {\sin } {x^2}dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi } {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt y }}} dy = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt y }}} dy + \int\limits_\pi ^{2\pi } {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt y }}} dy} \right)$
Đặt $z = y - \pi $ trong tích phân $\int\limits_\pi ^{2\pi } {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt y }}} dy = - \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin z}}{{\sqrt {z + \pi } }}} dz$
$ \Rightarrow \int\limits_0^{\sqrt {2\pi } } {\sin } {x^2}dx = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt y }}} dy - \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin y}}{{\sqrt {y + \pi } }}} dy} \right) = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\sin y\left( {\dfrac{1}{{\sqrt y }} - \dfrac{1}{{\sqrt {y + \pi } }}} \right)} dy$
Ta có: $\sin y\left( {\dfrac{1}{{\sqrt y }} - \dfrac{1}{{\sqrt {y + \pi } }}} \right) > 0,\forall y \in \left( {0;\pi } \right)$. Từ đó có đpcm.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 4: Cho hàm số liên tục $f:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {1;2} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{3}{2}$. Chứng minh rằng: $\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{f\left( x \right)}}} < \dfrac{3}{4}$

[Crystal]

Bài 5: (Học sinh THPT thể làm được)
Chứng minh rằng: $$54\sqrt{2}\leq \int_{-7}^{11}\left ( \sqrt{x+7}+\sqrt{11-x} \right )dx\leq 108$$.

[tuithichtoan]

Đặt $y=\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x} $ với $x\in \begin{bmatrix} -7;11\end{bmatrix}$
Có $ y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+7}}-\dfrac{1}{2\sqrt{11-x}}$
Nên $ y'=0\Leftrightarrow \sqrt{11-x}=\sqrt{x+7}\Leftrightarrow x=2$ và y' không xác định tại x=-7 và x=-11
Vẽ BBT có $\sqrt{18}\leq y\leq 6$
$\Rightarrow \int_{-7}^{11}\sqrt{18}dx\leq \int_{-7}^{11}(\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x})dx\leq \int_{-7}^{11}6dx$
$\Leftrightarrow 54\sqrt{2}\leq \int_{-7}^{11}(\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x})dx\leq 108 $ (Đ.P.C.M)
Đẳng thức xảy ra khi $x\in (-7;2;11)$
p/s: Em không biết vẽ BBT. Anh Thành vẽ giúp em ha. Thanks anh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 11-11-2011 - 15:18

[tuithichtoan]

Quên mất topic này. Không thể để nó chết thế này được.
Xin góp một bài cho anh Thành.
Bài 6 (ĐHQG HN KA-96):
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{2+x+x^{2}}< \dfrac{\Pi }{8}$

[Crystal]

Mọi người cùng vào thảo luận những bài toán ở đây nào. Còn 2 bài chưa được giải quyết.

Bài 4: Cho hàm số liên tục $f:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {1;2} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{3}{2}$. Chứng minh rằng: $\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{f\left( x \right)}}} < \dfrac{3}{4}$

Bài 6 (ĐHQG HN KA-96):
Chứng minh rằng: $$\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{2+x+x^{2}}< \dfrac{\Pi }{8}$$

[Crystal]

Thêm bài này đơn giản, mọi người ủng hộ nhé (các bạn THPT có thể tham gia)

Bài 7: Chứng minh rằng: $$\int\limits_0^1 {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + x\sin x}}dx < 1 - \ln 2} $$

[Crystal]

Chào các bạn. Các bạn hãy cùng tham gia giải những bài toán ở đây nhé. Ủng hộ cho topic góp phần làm sôi nổi diễn đàn.

[Crystal]

Bài 8: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int_{1}^{e}\frac{(lnx)^{2009}}{x^{2}}dx>\frac{1}{2010.2011.2012}}$$

[dark templar]

Giờ mới kiếm ra cái topic vui thế này Trước giờ ít khi vô forum Đại Học ;P

Bài 6 (ĐHQG HN KA-96):
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{2+x+x^{2}}< \dfrac{\Pi }{8}$

Bài này quả thật không khó Để ý rằng $x \ge x^2;\forall x \in [0;1]$,suy ra:$\frac{1}{2+x+x^2} \le \frac{1}{2(1+x^2)}$
Vậy:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{2+x+x^2} \le \int_{0}^{1}\frac{dx}{2(1+x^2)}=\frac{1}{2}\arctan{x}\Big|_{0}^{1}=\frac{\pi}{8}$$

Thêm bài này đơn giản, mọi người ủng hộ nhé (các bạn THPT có thể tham gia)

Bài 7: Chứng minh rằng: $$\int\limits_0^1 {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + x\sin x}}dx < 1 - \ln 2} $$

Viết lại BĐT cần chứng minh dưới dạng sau:
$$\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+x\sin{x}} \right)dx <1-\ln 2$$
Hay:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x\sin{x}} >\ln 2$$
Sử dụng 1 kết quả quen thuộc sau:
$$\sin{x}<x;\forall x>0$$
Suy ra:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x\sin{x}} >\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2}=\arctan{x}\Big|_{0}^{1}=\frac{\pi}{4}>\ln 2$$

Bài 8: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int_{1}^{e}\frac{(lnx)^{2009}}{x^{2}}dx>\frac{1}{2010.2011.2012}}$$

Còn bài này tính hơi phê
Sử dụng 1 BĐT hiển nhiên sau:
$$\ln {x} >1-\frac{1}{x};\forall x>0$$
Suy ra:
$$\int_{1}^{e}\frac{\ln {x}^{2009}}{x^2}dx >\int_{1}^{e}\frac{\left(1-\frac{1}{x} \right)^{2009}}{x^2}dx$$
Đặt $$I=\int_{1}^{e}\frac{\left(1-\frac{1}{x} \right)^{2009}}{x^2}dx$$
Đỗi biến $t=\frac{1}{x} \rightarrow dt=\frac{-dx}{x^2}$
$x=1 \rightarrow t=1$
$x=e \rightarrow t=\frac{1}{e}$
Suy ra:
$$I=-\int_{1}^{\frac{1}{e}}(1-t)^{2009}dt=\frac{(1-t)^{2010}}{2010}\Big|_{1}^{\frac{1}{e}}=\frac{\left(1-\frac{1}{e} \right)^{2010}}{2010}>\frac{1}{2010.2011.2012}$$
Có vẻ như bài 8 em làm sai rồi,anh Thành kiểm lại giùm em nhé

Ủng hộ bài mới:
Bài 9: Chứng minh:
$$\frac{\pi}{6} \le \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2-x^3}} \le \frac{\pi \sqrt{2}}{8}$$
Bài này có thể tổng quát được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-01-2012 - 19:20

[hxthanh]

...
Suy ra:
$$I=-\int_{1}^{\frac{1}{e}}(1-t)^{2009}dt=\frac{(1-t)^{2010}}{2010}\Big|_{1}^{\frac{1}{e}}=\frac{\left(1-\frac{1}{e} \right)^{2010}}{2010}>\frac{1}{2010.2011.2012}$$

Bất đẳng thức cuối cùng làm sao chứng minh được vậy dark_templar?
Còn nữa Vì sao $\dfrac{\pi}{4}>\ln 2\;\;?$

[hxthanh]

Như thế này, không biết có đúng không:

$\sin x < 1, \forall x\in[0,1] \Rightarrow \dfrac{1}{1+x\sin x}> \dfrac{1}{x+1}$

Suy ra: $\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{1+x\sin x} >\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{1+x}=\ln 2$