Đến nội dung

Hình ảnh

Topic về Bất đẳng thức trong Tích phân

* * * * - 6 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 125 trả lời

#21
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bất đẳng thức cuối cùng làm sao chứng minh được vậy dark_templar?
Còn nữa Vì sao $\dfrac{\pi}{4}>\ln 2\;\;?$

$\frac{\pi}{4}> \ln 2$ cái này là bấm máy tính mà anh :D
Còn cái BĐT cuối cùng thì em nghĩ là nó đúng nhưng...... Cái này anh thử lên Wolffram Alpha bấm thử xem :P
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#22
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
@ Phúc: Đúng như thầy Thanh nói, để bài toán được giải quyết hoàn toàn thì em cần phải chứng minh được bất đẳng thức $\frac{{{{\left( {1 - \frac{1}{e}} \right)}^{2010}}}}{{2010}} > \frac{1}{{2010.2011.2012}}$ đúng :D

#23
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

@ Phúc: Đúng như thầy Thanh nói, để bài toán được giải quyết hoàn toàn thì em cần phải chứng minh được bất đẳng thức $\frac{{{{\left( {1 - \frac{1}{e}} \right)}^{2010}}}}{{2010}} > \frac{1}{{2010.2011.2012}}$ đúng :D

Vậy anh có nghĩ BĐT đó đúng không :P
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#24
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 9: Chứng minh:
$$\frac{\pi}{6} \le \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2-x^3}} \le \frac{\pi \sqrt{2}}{8}$$


Ta có $$x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow 0 \le {x^3} \le {x^2} \Rightarrow - {x^2} \le - {x^3} \le 0 \Rightarrow 4 - 2{x^2} \le 4 - {x^2} - {x^3} \le 4 - {x^2}$$
Suy ra $$\frac{1}{{\sqrt {4 - 2{x^2}} }} \ge \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }} \ge \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$$
Do đó: $$\underbrace {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} }_I \le \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }}dx \le \underbrace {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - 2{x^2}} }}dx} }_J} $$
Đặt $x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt$, suy ra $$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos t}}{{\sqrt {4 - {{\left( {2\sin t} \right)}^2}} }}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt = \frac{\pi }{6}} $$
Đặt $x = \sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = \sqrt 2 \cos tdt$, suy ra $$J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt 2 \cos t}}{{\sqrt {4 - 2{{\left( {\sqrt 2 \sin t} \right)}^2}} }}dt = \left. {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{8}} $$
Vậy $\frac{\pi }{6} \le \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }}dx \le } \frac{{\pi \sqrt 2 }}{8} \Rightarrow Q.E.D$.
------------------------
P/s: hơi lạm dụng dấu $ \Rightarrow $ :P

#25
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Vậy anh có nghĩ BĐT đó đúng không :P


Cái này thì anh chịu. Em hãy cho biết cách chứng minh :P

#26
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Ta có $$x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow 0 \le {x^3} \le {x^2} \Rightarrow - {x^2} \le - {x^3} \le 0 \Rightarrow 4 - 2{x^2} \le 4 - {x^2} - {x^3} \le 4 - {x^2}$$
Suy ra $$\frac{1}{{\sqrt {4 - 2{x^2}} }} \ge \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }} \ge \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$$
Do đó: $$\underbrace {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} }_I \le \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }}dx \le \underbrace {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - 2{x^2}} }}dx} }_J} $$
Đặt $x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt$, suy ra $$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos t}}{{\sqrt {4 - {{\left( {2\sin t} \right)}^2}} }}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt = \frac{\pi }{6}} $$
Đặt $x = \sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = \sqrt 2 \cos tdt$, suy ra $$J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt 2 \cos t}}{{\sqrt {4 - 2{{\left( {\sqrt 2 \sin t} \right)}^2}} }}dt = \left. {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{8}} $$
Vậy $\frac{\pi }{6} \le \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2} - {x^3}} }}dx \le } \frac{{\pi \sqrt 2 }}{8} \Rightarrow Q.E.D$.
------------------------
P/s: hơi lạm dụng dấu $ \Rightarrow $ :P

Bài này anh hãy thử làm bài tổng quát xem :D.
Tổng quát:TÌm các chặn trên và chặn dưới của :
$$I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{a-\sum\limits_{k=2}^{n}x^{k}}}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#27
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

@ Phúc: Đúng như thầy Thanh nói, để bài toán được giải quyết hoàn toàn thì em cần phải chứng minh được bất đẳng thức $\frac{{{{\left( {1 - \frac{1}{e}} \right)}^{2010}}}}{{2010}} > \frac{1}{{2010.2011.2012}}$ đúng :D

Rất tiếc là sai rồi thưa quý vị -> đây này

#28
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Rất tiếc là sai rồi thưa quý vị -> đây này

Nếu vậy chỉ còn mong anh Thành post lời giải thôi :( BUồn quá,giải sai rồi :(
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#29
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Ủng hộ tiếp 1 bài: :D
Bài 10:(Khó) Cho $n$ số thực $a_1;a_2;....;a_n$.Chứng minh rằng:
$$\left(\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k} \right)^2 \le \sum\limits_{i;j=1}^{n}\frac{ij}{i+j-1}a_{i}a_{j}$$
Gợi ý: Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz trong Tích Phân :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-01-2012 - 22:06

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#30
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Rất tiếc là sai rồi thưa quý vị -> đây này


Cái này em đâu biết đúng hay sai :D

#31
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 8: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int_{1}^{e}\frac{(lnx)^{2009}}{x^{2}}dx>\frac{1}{2010.2011.2012}}$$


Nếu vậy chỉ còn mong anh Thành post lời giải thôi :( BUồn quá,giải sai rồi :(


$\mathbf{\text{Lời giải:}}$
Trước hết ta chứng minh: $$\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}}}{{{x^2}}}dx} > \frac{1}{{2011.2012}}$$
Thật vậy, đặt $t = \ln x$, khi đó $$\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {{t^{2010}}{e^{ - t}}dt > \int\limits_0^1 {{t^{2010}}\left( {1 - t} \right)dt = \frac{1}{{2011.2012}}} } $$
Mặt khác: $$\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}}}{{{x^2}}}dx = \int\limits_1^e {{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}d\left( { - \frac{1}{x}} \right) = \left. {\left[ { - \frac{1}{x}{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}} \right]} \right|} } _1^e + \int\limits_1^e {\frac{1}{x}2010{{\left( {\ln x} \right)}^{2009}}\frac{1}{x}dx} $$
$$ = - \frac{1}{e} + 2010\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2009}}}}{{{x^2}}}dx > \frac{1}{{2011.2012}}} $$
Do đó: $$ \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2009}}}}{{{x^2}}}dx > \frac{1}{{2010.2011.2012}}} + \frac{1}{{2010e}} > \frac{1}{{2010.2011.2012}}\,\,\text{(đpcm)}$$

#32
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Thật là hay!

Mình cũng mới nghĩ ra cách tính chính xác luôn $I_n$, tương tự như vậy:

$I_n=\int\limits_1^e \dfrac{(\ln x)^n}{x^2}dx=-\dfrac{1}{e}+nI_{n-1},\;\;(1)$

Với $I_1=\int\limits_1^e \dfrac{\ln x}{x^2}dx=-\dfrac{1+\ln x}{x}\left|\begin{align*} ^e \\ _1\end{align*}\right.=1-\dfrac{2}{e},\;\;(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp biểu thức sau:

$I_n=n!-\dfrac{n!}{e}\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}$

Kết hợp với kết quả của Thành, ta có được một "ước lượng" khá "mỹ mãn" sau:

$\boxed{\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}< e-\dfrac{e}{(n+3)!}}$

#33
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Cảm ơn thầy Thanh và bạn Phúc. Mong hai người sẽ tiếp tục ủng hộ topic. Các bạn khác cùng tham gia nào.

Bài 11: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int\limits_1^2 {{x^x}dx.\int\limits_1^2 {\left( {1 + \ln x} \right)dx \leqslant 3} } }$$

#34
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Cảm ơn thầy Thanh và bạn Phúc. Mong hai người sẽ tiếp tục ủng hộ topic. Các bạn khác cùng tham gia nào.

Bài 11: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int\limits_1^2 {{x^x}dx.\int\limits_1^2 {\left( {1 + \ln x} \right)dx \leqslant 3} } }$$

Bài này chỉ cần tinh ý 1 chút :D
Để ý rằng:
$$VP=3=x^{x}\Big|_{1}^{2}=\int_{1}^{2}x^{x}(\ln{x}+1)dx$$
Nên ta có thể viết lại BĐT dưới dạng sau:
$$\int_{1}^{2}x^{x}dx,\int_{1}^{2}(\ln{x}+1)dx \le \int_{1}^{2}x^{x}(\ln{x}+1)dx(1)$$
Để ý rằng:$f(x)=x^{x}$ và $g(x)=\ln{x}+1$ đều là các hàm tăng trên $[1;2]$ nên (1) chính là hệ quả trực tiếp của BĐT Chebyshev trong Tích phân:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx.\int_{a}^{b}g(x)dx \le (b-a)\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx(b>a)$$.
Xong :D

Bài 12: Chứng minh rằng:
$$\int_{0}^{\pi}e^{\sin^2{x}}dx>\frac{3\pi}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 22-01-2012 - 08:01

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#35
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Bài 13: Chứng minh rằng: $$\frac{1}{{2\cos 1}}\int\limits_1^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{x}dx \leqslant \frac{{\ln \pi - \ln 2}}{{\pi - 2}}} $$

#36
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài 13: Chứng minh rằng: $$\frac{1}{{2\cos 1}}\int\limits_1^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{x}dx \leqslant \frac{{\ln \pi - \ln 2}}{{\pi - 2}}} $$

Tiếp tục Chebyshev :D
Để ý rằng:
$$\frac{\ln{\pi}-\ln{2}}{\pi-2}=\frac{\ln{x}\Big|_{1}^{\frac{\pi}{2}}}{2\left(\frac{\pi}{2}-1 \right)}=\frac{\int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x}}{2\left(\frac{\pi}{2}-1 \right)}$$
Nên BĐT:
$$\iff \left(\frac{\pi}{2}-1 \right)\int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}dx}{x} \le \int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x}.\cos{1}$$
Mặt khác,ta có:
$$\cos{1}=(-\cos{x})\Big|_{1}^{\frac{\pi}{2}}=\int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}dx$$
Nên BĐT:
$$\iff \left(\frac{\pi}{2}-1 \right)\int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}dx}{x} \le \int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x}.\int\limits_{1}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}dx(1)$$
Lại có hàm $f(x)=\sin{x}$ là hàm tăng trên $\left[1;\frac{\pi}{2} \right]$,trong khi hàm $g(x)=\frac{1}{x}$ là hàm giảm trên $\left[1;\frac{\pi}{2} \right]$ nên (1) cũng chỉ là hệ quả của BĐT Chebyshev trong Tích Phân ;)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#37
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Khởi động lại topic.

Bài 14. Chứng minh rằng $$\frac{1}{2} \leqslant \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^{2n}}} }}} \leqslant \frac{\pi }{6},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$$

#38
tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
Thấy $x^{2n}\geq 0\Rightarrow 1\leq \frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\geq \frac{1}{2}$ (Vế 1 được cm) Dấu "=" xảy ra khi x=1
Vì$ n\in \mathbb{N}*$,$ x\in [0;\frac{1}{2}]$
$\Rightarrow x^{2n}\leq x^{2} $
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Tính $ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Đặt x=sint $\Rightarrow dx=costdt$
Đổi cận $x\in [0;\frac{1}{2}]\Rightarrow t\in [0;\frac{\Pi }{6}]$
Khi đó: $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{costdt}{\sqrt{1-sin^{2}t}}dx= \int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}dt=\frac{\Pi }{6}$ (Vế 2 được cm)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow n=1$
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#39
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Tiếp tục ...

Bài 15. Chứng minh rằng:

Nếu$ \int_{0}^{1}f^{2}(x) dx\leq 1 $ thì $ \left|\int_{-1}^{1}f(x)\left\{\int_{-x}^{x}f(t)\hspace{1mm}\textrm{d}t\right\}\textrm{d}x\right|\leq\frac{2}{\pi}. $



#40
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Bài 16. Chứng minh rằng: $$\bf{2\sqrt{3}<\int_{-2}^{0}\sqrt{x^{3}-\frac{3x^{2}}{2}-6x+5}\; dx<\sqrt{34}} $$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh