Chủ đề này có 84 trả lời

[Ispectorgadget]

Mọi người chém tiếp bài này. Một bài trong Báo THTT. ( từ lâu rồi)

Bài 27:
Cho $x;y$ là các số dương. Chứng minh rằng:
\[\dfrac{{2{x^2} + 3{y^2}}}{{2{x^3} + 3{y^3}}} + \dfrac{{2{y^2} + 3{x^2}}}{{2{y^3} + 3{x^3}}} \le \dfrac{4}{{x + y}}\]

Anh Việt post dùm em đáp án bài này nhé

[Tham Lang]

Theo anh nghĩ, có thể làm như sau :
$$BDT \Leftrightarrow \left (x + y\right )\left (\dfrac{2x^2 + 3y^2}{2x^3 + 3y^3} + \dfrac{2y^2 + 3x^2}{2y^3 + 3x^3}\right ) \le 4 (1)$$
TH1. $y = 0$ BDT hiển nhiên.
TH2. $y \# 0$, chia 2 vế của (1) cho $y^3$ ta có
$$(1) \Leftrightarrow (a + 1)\left (\dfrac{2a^2 + 3}{2a^3 + 3} + \dfrac{3a^2 + 2}{3a^3 + 2} \right ) \le 4$$
$$\Leftrightarrow 2 + \dfrac{2a^2 + 3a}{2a^3 + 3} + \dfrac{3a^2 + 2a}{3a^3 + 2} \le 4$$
Xét $$f(a) = \dfrac{2a^2 + 3a}{2a^3 + 3} + \dfrac{3a^2 + 2a}{3a^3 + 2}$$
Khảo sát $f(a)$ Suy ra ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 21-03-2012 - 18:22

[Dont Cry]

top pic nghỉ ngơi lâu quá. sắp thi đại học rồi mong mọi người cố gắng làm thật nhiều bài để chuẩn bị cho kì thi nhé.
Bài 32: Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=1$
Tìm GTLN của

$P=x^3+y^3+z^3−3xyz.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 28-06-2012 - 14:27

[Ispectorgadget]

top ic nghỉ ngơi lâu quá. sắp thi đại học rồi mong mọi người cố gắng làm thật nhiều bài để chuẩn bị cho kì thi nhé.
Bài 32: Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=1$
Tìm GTLN của

$P=x^3+y^3+z^3−3xyz.$

Lời giải:
$P=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)$
Áp dụng BĐT B.C.S ta có
$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow \sqrt{3}\geq x+y+z\geq -\sqrt{3}$
Đặt $t=x+y+z ( \sqrt{3}\geq t\geq -\sqrt{3})$
P trở thành $P=t.(1-\frac{t^2-1}{2})=t-\frac{t^3-t}{2}$
$f'(t) =\frac{6-6t^2}{4}$
$f'(t)=0$ suy ra $t=\pm 1$
Kẻ bảng biến thiên ta thấy f(t) mã bằng $\frac{3}{2}$ khi t=0 từ đây tìm được x,y,z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 29-03-2012 - 20:04

[Dont Cry]

Bài 33 : $x,y,z$ dương.Thoả mãn :
$(x+y+z)+18xyz=27$
Tìm GTNN của $P=x+y+z-9xyz$

[Ispectorgadget]

Bài 34: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $$y=\frac{sin(x-\frac{\pi}{4})}{sinx+\sqrt{1+2cos^2x}}(x\in [\frac{\pi}{2};\pi])$$
Thi thử ĐH chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2009
Bài 35: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f(x)=e^{2x}-4e^x+3$ trên $[0;ln4]$
Bài 36: VỚi x là số dương y là số thực tùy ý. Tìm min max của biểu thức $$A=\frac{xy^2}{(x^2+3y^2)(x+\sqrt{x^2+12y^2})}$$
Đề thi thử ĐH trường THPT Hồng Đức

[tieulyly1995]

Bài 35: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f(x)=e^{2x}-4e^x+3$ trên $[0;ln4]$

Đặt $e^{x}=t$ ; vì $x\epsilon \left [0; ln4 \right ]\Rightarrow t\epsilon \left [ 1;4 \right ]$
Xét :
$f(t) = t^{2}-4t +3$ liên tục trên $\left [ 1;4 \right ]$
có $f'(t)=2t-4=0\Leftrightarrow t=2$
Ta thấy : $f(1)=0; f(2)=-1; f(4)=3$
nên min $f(t)= f(2)=-1$ ; max$f(t)= f(4)=3$

[Ispectorgadget]

Bài 37: Cho x,y>0 thỏa $x^2+y^2=1$. Tìm GTLN của
$$P=y(x+y)$$
Bài 38:Cho $x,y\in[2010;2011]$. TÌm min, max của biểu thức $$P=\frac{x+y}{xy^2}(x^2+y^2)$$
Bài 39: Cho x,y,z>0 thỏa $x+y+z=1$. CMR:
$$\frac{1}{xz}+\frac{1}{zy}\geq 16$$
Bài 40: Cho$x,y,z\in [1006;2012]$. TÌm min, max của biểu thức $$P=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$$
Mọi người tích cực lên nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-05-2012 - 22:17

[Crystal]

top ic nghỉ ngơi lâu quá. sắp thi đại học rồi mong mọi người cố gắng làm thật nhiều bài để chuẩn bị cho kì thi nhé.
Bài 32: Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=1$
Tìm GTLN của

$P=x^3+y^3+z^3−3xyz.$

Ngay trong topic này: http://diendantoanho...ndpost&p=278030

---

[Ispectorgadget]

Bài 38:Cho $x,y\in[2010;2011]$. TÌm min, max của biểu thức $$P=\frac{x+y}{xy^2}(x^2+y^2)$$

Đặt $t=\frac{x}{y}$. Khi đó $P=\frac{(t+1)(t^2+1)}{t}$
Xét hàm số $f(t)=\frac{(t+1)(t^2+1)}{t};f'(t)=2t+1-\frac{1}{t^2}$
$f'(t)=0 \iff 2t^3+t^2-1=0$
Nếu $2010\leq x\leq y\leq 2011$ thì $\frac{2010}{2011}\leq t\leq 1$. Ta có: $f'(t)>0 \forall t\in[\frac{2010}{2011};1]$
$$P = \mathop {\max }\limits_{t \in [\frac{{2010}}{{2011}};1]} f(t) = f(1) = 4 \Leftrightarrow x = y$$
$P = \mathop {\min }\limits_{t \in [\frac{{2010}}{{2011}};1]} f(t) = f(\frac{{2010}}{{2011}}) = 3,999005965 \Leftrightarrow x = \frac{{2010y}}{{2011}}$
Nếu $2010\leq y\leq x\leq 2011$ thì $1\leq t\leq \frac{2011}{2010}$. Ta có $f'(t)>0,\forall t\in [1;\frac{2011}{2010}]$ và $P = \mathop {\min }\limits_{t \in [1;\frac{{2011}}{{2010}}]} f(t) = f(1) = 4 \Leftrightarrow x = y$

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Bài 37: Cho x,y>0 thỏa $x^2+y^2=1$. Tìm GTLN của
$$P=y(x+y)$$
Mọi người tích cực lên nhé

đặt $ x=sint, y=cost $

thì $ P=cost(sint+cost)=\frac{1}{2}sin2t+\frac{1}{2}cos2t+\frac{1}{2} $

từ đây xét hàm số hoặc dùng bunhia ta dễ dàng tìm được $ max P=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2} $

[khanh3570883]

Bài 39: Cho x,y,z>0 thỏa $x+y+z=1$. CMR:
$$\frac{1}{xz}+\frac{1}{zy}\geq 16$$

$\frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{zy}} \ge 16 \Leftrightarrow x + y \ge 16xyz$
$x + y = \left( {x + y} \right){\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 4\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)z = 4{\left( {x + y} \right)^2}z \ge 16xyz$
Vậy ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \frac{1}{4};z = \frac{1}{2}$

[khanh3570883]

Bài 33 : $x,y,z$ dương.Thoả mãn :
$(x+y+z)+18xyz=27$
Tìm GTNN của $P=x+y+z-9xyz$

$\begin{array}{l}
P = \frac{3}{2}\left( {x + y + z} \right) - \frac{{27}}{2} \\
{P_{\min }} \Leftrightarrow t = \left( {x + y + z} \right)\min \\
\end{array}$
Có:
$x + y + z + 18xyz = 27 \Rightarrow \frac{2}{3}{t^3} + t - 27 \ge 0\forall t$
Xét hàm:
$\begin{array}{l}
f\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^3} + t - 27 \\
f'\left( t \right) = 2{t^2} + 1 > 0 \\
\end{array}$
Vậy hàm f(t) đạt cực tiểu khi t nhỏ nhất, hay ${t_{\min }}$ là nghiệm của phương trình: $\frac{2}{3}{t^3} + t - 27 = 0$
Phương trình này có duy nhất một nghiệm sau:
$t = \sqrt[3]{{\frac{{324 + \sqrt {105008} }}{{16}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{324 - \sqrt {105008} }}{{16}}}}$

Được t min rùi thì thay vào được P min (lẻ quá)......

[Ispectorgadget]

Bài 41: Cho $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$. CMR
$$-\frac{\sqrt{3}}{18}\leq (a-b)(b-c)(c-a)\leq \frac{\sqrt{3}}{18}$$
Hàm số là 1 phương pháp mạnh để cm BĐT nếu như biết biến đổi linh hoạt

[Ispectorgadget]

Bài 42: Cho hàm số $y=e^x-sin x+\frac{x^2}{2}$. Tìm GTNN của hàm số $f(x)$ và chứng minh rằng phương trình $f(x)=3$ có đúng hai nghiệm.
Dự bị Khối B - 2004

[Tham Lang]

Bài toán 43.
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 28-06-2012 - 14:28

[Ispectorgadget]

Bài toán 43.
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$$

Giải

Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$ thì ta có $xyz=1$ và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
$$\sqrt{x+y+z-2}+\frac{8}{(x+1)(y+1)(z+1)} \geq 2$$
Chú ý rằng trong $3$ số $x,y,z$ luôn tồn tại ít nhất hai số không lớn hơn $1$ hoặc không bé hơn $1$, chẳng hạn $(x-1)(y-1)\geq 0$, suy ra $(x+1)(y+1)\leq 2(xy+1)$. Đặt $t=\sqrt{xy}$, khi đó ta có:
$$VT\geq \sqrt{2t+z-2}+\frac{4}{(z+1)(t+1)}=\frac{\sqrt{2t^3-2t^2+1}}{t}+\frac{4t^2}{(t^2+1)^2}$$

Ta cần chứng minh: $$\frac{\sqrt{2t^3-2t^2+1}}{t}+\frac{4t^2}{(t^2+1)^2}\ge 2$$
Hay $$\frac{\sqrt{2t^3-2t^2+1}}{t}-1\geq 1-\frac{4t^2}{(t^2+1)}$$
$$(t-1)^2(\frac{2t+1}{t\sqrt{2t^3-2t^2+1}+t^2}-\frac{(t+1)^2}{(t^2+1)^2})\geq 0$$
Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c \,\,\,\,\,\, \square$

[Ispectorgadget]

Bài 44: Chứng minh rằng $tan x\leq \frac{4}{\pi}x$ với mọi $x\in [0;\frac{\pi}{4}]$
Đề thi thử lần 5 khối B chuyên Thái BÌnh

[T M]

Bài 37: Cho x,y>0 thỏa $x^2+y^2=1$. Tìm GTLN của
$$P=y(x+y)$$

Một cách khác cho bài này

$$\text{Điều kiện}\Leftrightarrow x^2(1+t^2)=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{1+t^2}$$

Mà

$$y(x+y)=x^2(t+t^2)=\frac{1}{1+t^2}.(t+t^2)=\frac{t^2+t}{t^2+1}=f(t)$$

Xét

$$f(t)=\frac{t^2+t}{t^2+1}\rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow t=1+\sqrt{2}......\Rightarrow .....$$

[T M]

Bài 36: VỚi x là số dương y là số thực tùy ý. Tìm min max của biểu thức $$A=\frac{xy^2}{(x^2+3y^2)(x+\sqrt{x^2+12y^2})}$$
Đề thi thử ĐH trường THPT Hồng Đức

Còn bài này chưa ai chém

Đặt $y=tx$

$$P=\frac{t^2}{(1+3t^2)(1+\sqrt{1+12t^2})}$$

Đến đây khảo sát hàm số là xong !