Cực và đối cực
Cực và đối cực là một chủ đề được ứng dụng nhiều trong hình học phổ thông. Bài viết này xin trình bày những hiểu biết nhỏ xung quanh vấn đề này. Mong được sự góp ý của các bạn.
1. Đường tròn trực giao:
Bởi vì khái niệm cực và đối cực liên quan trực tiếp tới đường tròn trực giao nên ở đây xin nói qua những điều cơ bản của đường tròn trực giao.
Định nghĩa: hai đường tròn $ O_1$ và $O_2$ được gọi là trực giao với nhau nếu chúng có điểm chung A và góc giữa 2 tiếp tuyến tại A của chúng bằng 90 độ.
Định nghĩa trên được phát biểu theo góc giữa 2 đường tròn. Tất nhiên cũng có thể thấy là định nghĩa trên tương đương với việc $O_1A \perp O_2A$.
Một số tính chất:
_$O_1O_2^2=R_1^2+R_2^2$
_$P_{O_1 /(O_2 )} = R_1^2 ,P_{O_2 /(O_1 )} = R_2^2 $
_Đường kính của đường tròn này thị bị đường tròn kia chia điều hòa.
2. Cực và đối cực:
Ta hãy giải bài toán sau: Cho đường tròn (O) và điểm M. Hãy tìm tập hợp tất cả các điểm N sao cho đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O).
Giải: gọi H là giao điểm của OM với đường tròn đường kính MN.
Thế thì $R_2^2 = P_{O_2 /(MN)} = \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} $.
suy ra H cố định và N thuộc đường thẳng cố định qua H, vuông góc với OM.
Tập hợp các điểm N thỏa mãn được gọi là đường đối cực của điểm M đối với đường tròn (O) và điểm M được gọi là cực của đường thẳng này.
Một số tính chất:
1) Từ định nghĩa suy ra rằng nếu N thuộc đường đối cực của M thì M cũng thuộc đường đối cực của N.
2) Nếu M nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ tới đường tròn (O) thì do $MP \perp PO$ nên P thuộc đường đối cực của M. Tương tự thì ta có PQ là đường đối cực của M.
Từ tính chất này suy ra cách dựng đường đối cực tương đối đơn giản.
Nếu M nằm trong đường tròn (O) thì hãy hoán đổi vị trí của điểm M và điểm H và có cách dựng ìngược lại”.
3) Từ tính chất đường kính bị chia điều hòa của cặp đường tròn trực giao ta suy ra bài toán sau:
Cho MP, MQ là 2 tiếp tuyến của M với đường tròn (O). Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt PQ tại A, cắt đường tròn tại B, C. Ta luôn có (MABC) = -1.
4) Chú ý rằng H là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {MH} = P_{M/(O)} $, nên nếu từ O hạ đường vuông góc OK xuống MN thì $\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MK} = \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {MH} = P_{M/(O)} $.
Từ đây cũng có $\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {NK} = P_{N/(O)} $
Cộng lại ta được: $MN^2 = P_{M/(O)} + P_{N/(O)} $
3. Cực, đối cực với tứ giác nội tiếp:
Từ các tính chất trên ta thấy cực và đối cực có liên quan đến hàng điểm điều hòa mà hàng điểm điều hòa lại quan hệ chặt chẽ với tứ giác toàn phần. Đó là lý do có phần này. Trong phần này tôi cố gắng trình bày một số kết quả đã biết dưới cái nhìn của cực và đối cực.
Hãy xét tứ giác ABCD nội tiếp (O). Các cặp đường thẳng AB, CD; AC, BD; AD, BC cắt nhau lần lượt tại M, N, P.
Gọi X, Y là giao điểm của MN với AD, BC. Ta biết rằng (PXAD) = (PYBC) = -1 nên X, Y thuộc đường đối cực của P đối với (O). Cũng tức là MN là đường đối cực của P đối với (O).
Sự bình đẳng giữa M, N, P cho ta kết quả tương tự: NP, PM là các đường đối cực của M, N đối với (O).
Theo như tính chất 4) thì:
$ MN^2 = P_{M/(O)} + P_{N/(O)} $
$ NP^2 = P_{N/(O)} + P_{P/(O)}$
$PM^2 = P_{P/(O)} + P_{M/(O)} $
Đây là 1 bài toán rất quen thuộc.
Vì MN là đường đối cực của P đối với (O) nên $MN \perp OP$.Tương tự thì tức là O là trực tâm của tam giác MNP.
Nếu gọi K là giao điểm của OM và NP, chú ý rằng K chính là đường vuông góc hạ từ O xuống NP, thì theo tính chất 3) ta sẽ có:
$\overrightarrow {PN} .\overrightarrow {PK} = P_{P/(O)} = \overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PD} = \overrightarrow {PB} .\overrightarrow {PC} $
hay tứ giác NADK, NBCK nội tiếp.
Vì N, P bình đẳng nên các tứ giác PAKC, PBKD cũng nội tiếp.
Tất nhiên cũng có những kết quả tương tự phát biểu cho trường hợp giao điểm của ON, PM và OP, MN.
Từ tính chất 1) ta thấy nên MN sẽ đi qua cực của AD và BC. Đó là giao của 2 tiếp tuyến với (O) kẻ từ A, D và từ B, C (ký hiệu là I, J).
Cũng do MN là đường đối cực của P nên MN đi qua các tiếp điểm U, V của tiếp tuyến kẻ từ P tới (O).
Như vậy ta có 6 điểm sau thẳng hàng: M, N, I, J, U, V.
Ta cũng có những phát biểu tương tự cho các bộ điểm thẳng hàng khác nằm trên các đường thẳng NP, PM.
Nếu kẻ các tiếp tuyến tại các đỉnh A, B, C, D cho cắt nhau tạo thành tứ giác XYZT thì từ kết quả trên có thể suy ra AC, BD, XZ, YT đồng quy (tại N).
Đó là bài toán cũng quen thuộc. Nhưng nếu phát biểu đối với những đường đồng quy khác (tại M, P) có lẽ sẽ có những kết quả thú vị khác.
Ví dụ như bài toán sau: cho tam giác ABC, đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại M, N. Kẻ các tiếp tuyến BP, CQ với (O).$BP \cap AC = X,CQ \cap AB = Y$.Chứng minh rằng BC, MN, PQ, XY đồng quy.
Bây giờ nếu cho các tiếp tuyến tại A, C và BD đồng quy tức là BD đi qua cực của đường thẳng AC thì AC cũng phải đi qua cực của đường thẳng BD (tính chất 1) tức là AC và các tiếp tuyến tại B, D đồng quy.
Đây cũng là cơ sở của định nghĩa tứ giác điều hòa.
Để cho ìthay đổi không khí” ta phát biểu bài toán hơi khác đi chút ít: cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. $AD \cap (I) = K$
Chứng minh rằng BC, EF và tiếp tuyến tại K với (I) đồng quy.
Trên đây là một số kết quả liên quan đến cực và đối cực. Nhờ áp dụng tính chất 1) mà ta có thể quy 1 số bài toán chứng minh đồng quy về chứng minh thẳng hàng. Để kết thúc bài viết xin được đưa ra chứng minh sự tương đương giữa định lý Pascal và định lý Briăngxông để minh họa cho ý tưởng trên:
Định lý Pascal: chứng minh rằng giao điểm của các cặp cạnh đối của lục giác nội tiếp thẳng hàng.
Định lý Briăngxông: chứng minh các đường chéo của lục giác ngoại tiếp đồng quy.
Xét lục giác ABCDEF ngoại tiếp; M, N, P, Q, R, S là các tiếp điểm của các cạnh.
Gọi X, Y, Z là giao của các cặp đường thẳng MS và PQ; MN và QR; NP và RS.
Nhận thấy MS, PQ là các đường đối cực của A và D nên AD sẽ là đường đối cực của X.
Tương tự BE, CF là các đường đối cực của Y và Z.
Nếu AD, BE, CF đồng quy tại K thì X, Y, Z sẽ nằm trên đường đối cực của điểm K này. Còn nếu X, Y, Z thẳng hàng thì AD, BE, CF sẽ đồng quy tại cực của đường thẳng đi qua X, Y, Z. Kết thúc chứng minh.
-------------
Thảo luận tại đây
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 14-06-2009 - 10:33
